旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5

3

．

【解析】

【分析】

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

【详解】

解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADC+∠ADG＝90°

∴F、D、G共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，

即∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，

故答案为：EF＝BE+DF；

②成立，

理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC+∠ADG＝180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝BE+DF；

（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

由勾股定理得：BC22

AB AC

+4，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，

则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ， ∵∠DAE ＝45°，

∴∠FAD ＝∠FAB +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD ＝∠DAE ＝45°，

在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =??

∠=∠??=?

，

∴△FAD ≌△EAD （SAS ）， ∴DF ＝DE ， 设DE ＝x ，则DF ＝x ， ∵BC ＝4，

∴BF ＝CE ＝4﹣1﹣x ＝3﹣x ， ∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°， ∴∠FBD ＝90°，

由勾股定理得：DF 2＝BF 2+BD 2， x 2＝（3﹣x ）2+12， 解得：x ＝53

， 即DE ＝

53

． 【点睛】

本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．

2．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(

)

090a α?

<

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32

2

=． 【解析】 【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=a

∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32 ∴CE=CF+FE=CF+

12AF 922

= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：

同理，CE=EF －CF 32

2

= 【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．

3．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．

（1）求证：APQ QCE ??≌； （2）证明：DF BQ QF +=；

（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ?的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当22

2x =-+//QF CE ；

AQF S ?442=-+．

【解析】 【分析】

（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将

ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?，再证明()F AQ FAQ SAS '??≌；

（3）连结AC ，设QF

CE ，推出QCF ?是等腰直角三角形°，再证明

()ABQ ADF SAS ??≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，

22.5QAB DAF ∠=∠=?，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出

△AQF 的面积． 【详解】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=?， ∵BP BQ =，

∴PBQ ?是等腰直角三角形，AP QC =， ∴45BPQ ∠=?， ∴135APQ ∠=? ∵CE 平分DCM ∠， ∴45DCE ECM ∠=∠=?， ∴135QCE ∠=?， ∴135APQ QCE ∠=∠=?， ∵AQ QE ⊥，

∴90AQB CQE ∠+∠=?． ∵90AQB BAQ ∠+∠=?． ∴BAQ CQE ∠=∠．

∴()APQ QCE ASA ?≌． （2）由（1）知APQ QCE ??≌． ∴QA QE =． ∵90AQE ∠=?，

∴AQE ?是等腰直角三角形， ∴45QAE ∠=?． ∴45DAF QAB ∠+∠=?，

如图4，将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?，

其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，

则45F AQ '∠=?，F A FA '=，AQ AQ =， ∴()F AQ FAQ SAS '??≌． ∴QF QF BQ DF '==+．

（3）连结AC ，若QF CE ，

则45FQC ECM ∠=∠=?． ∴QCF ?是等腰直角三角形， ∴2CF CQ x ==-， ∴DF BQ x ==．

∵AB AD =，90B D ∠=∠=?， ∴()ABQ ADF SAS ??≌．

∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=?， ∴AC 垂直平分QF ，

∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=?，2FQ QN =， ∴22FQ BQ x ==．

在Rt QCF ?中，根据勾股定理，得2

2

2

(2)(2)(2)x x x -+-=． 解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）． 当22

2x =-+QF

CE ．

此时，QCF QEF S S ??=，∴21

2

QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ?????+=+==， ∴()

2222111

222

AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ???=-=

-=- ()

222

112(2)4244222x x x x ??=

+--=?==-+?

? 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．

4．请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．

李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC 的边长为__________； 问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．

【答案】（17；（25【解析】

试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.

(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC ,旋转，到△BP’A ,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP ’=BP 2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长. （17

（2）将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A ，则△BPC ≌△BP′A ． ∴AP′=PC =1，BP=BP′2； 连接PP′，在Rt △BP′P 中， ∵BP=BP′2，∠PBP′=90°， ∴PP′=2，∠BP′P =45°；

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，

∵2

22

+=，即AP′2+PP′2=AP2；

125

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠B PC=∠AP′B=135°．

过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；

∴∠BPC=135°，正方形边长为5．

点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.

5．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；

（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出

∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.

（3）根据和求解即可.

试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.

（3）如图3，连接GB、GE.

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

过点B作BH⊥AE于点H.

∵AB=2，∴. ∴..

设点G到BE的距离为h.

∴.

∴.

∴点G到BE的距离为.

考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．

6．综合与实践 问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中

90,2,2ACB DCE AC CD ?∠=∠===.

观案发现

（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度； 操作证明

（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现

（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为(

)

0180αα??

<<，

DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.

（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.

【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =；（4）AD BE ⊥ 【解析】

【分析】

（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；

（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ???，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；

（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；

（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】 （1）

,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=?，

BE AD ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点， //,//HF AD FG BE ∴， AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=?；

（2）证明：如下图，连接AD BE ，，

由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=?， 又∵AC=BC ，

()ACD BCE SAS ∴???，

AD BE ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点，

11

,22

FH AD FG BE ∴==，

FH FG ∴=；

（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥??，，都是等腰直角三角形，

2CD =1CF DF ∴==，

2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=

31BD BF DF ∴=-=，

G 是BD 的中点，31

DG -∴=

31BD BF DF ∴=-=；

（4）AD BE ⊥.

连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，

∵ECD ?是等腰直角三角形， ∴F 是ED 中点， 又∵H 是AE 中点， ∴AD ∥HF ， ∵HF ⊥ED ， ∴AD BE ⊥. 【点睛】

本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.

7．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．

（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标； （2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ． ①求证△ADB ≌△AOB ； ②求点H 的坐标．

（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）D （1，3）；（2）①详见解析；②H （

17

5

，3）；（3）303344-≤S ≤30334

4

+． 【解析】 【分析】

（1）如图①，在Rt △ACD 中求出CD 即可解决问题； （2）①根据HL 证明即可；

②，设AH=BH=m ，则HC=BC-BH=5-m ，在Rt △AHC 中，根据AH 2=HC 2+AC 2，构建方程求出m 即可解决问题；

（3）如图③中，当点D 在线段BK 上时，△DEK 的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，△D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】

（1）如图①中，

∵A（5，0），B（0，3），

∴OA=5，OB=3，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD=22

AD AC

=4，

∴BD=BC-CD=1，

∴D（1，3）．

（2）①如图②中，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵点D在线段BE上，

∴∠ADB=90°，

由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+（5-m）2，

∴m=17

5

，

∴BH=17

5

，

∴H（17

5

，3）．

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值

=1

2

?DE?DK=

1

2

×3×（5-

34

2

）=30334

4

-，

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积

=1

2

×D′E′×KD′=

1

2

×3×（5+

34

2

）=30334

4

+．

综上所述，30334

-

≤S≤

30334

+．

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

8．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形

ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF '的长最大值为2

22

+

，此时0315α=． 【解析】 【分析】

（1）延长ED 交AG 于点H ，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；

②当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=2

2

+2，此时α=315°． 【详解】

(1)如图1,延长ED 交AG 于点H,

∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点， ∴OA=OD ，OA ⊥OD ， ∵OG=OE ，

在△AOG 和△DOE 中，

90OA OD AOG DOE OG OE =??

∠=∠=???=?

， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO=∠DEO ， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠GAO+∠DEO=90°， ∴∠AHE=90°， 即DE ⊥AG ；

(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=1

2

OG=

1

2

OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=OA

OG

=

1

2

，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°°，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°?30°=150°.

综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.

②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA=OD=OC=OB=

2

2

，

∵OG=2OD，

∴2，∴OF′=2，

∴2

+2，

∵∠COE′=45°，

∴此时α=315°.

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．

9．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是；

结论2：DM、MN的位置关系是；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=1

2

AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=

1

2

AF，从而得到DM，MN数量

相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，

DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=1

2

AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=1

2

AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，

同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

10．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD．将

△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′．

（1）如图1，当α=30°时，求证：B′C=DE；

（2）连接B′E、DE′，当B′E=DE′时，请用图2求α的值；

（3）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．