平面向量综合题
平面向量
一、选择题
1．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点P 与△ABC 的关系为是 （ ）
A ．P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部
C. P 在AB 边所在直线上
D.P 在△ABC 的AC 边的一个三等分点上
2．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== （ ）
A ．)35(2121e e +
B ．)35(2121e e -
C ．)53(2112e e -
D ．)35(2
112e e - 3．设平面上有四个互异的点ABCD ，已知（则,0)()2=-?-+△ABC 的形状（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
4．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是 （ ）
A ．-2
B ．-2
C ．-
D ．- 5．对于菱形ABCD ，给出下列各式：
①= ②||||BC AB = ③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+2其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．已知|→p |=22，|→
q |=3，→p 、→q 的夹角为45°，则以→a =5→p +2→q ，→b =→p -3→q 为邻边的平行四边形过→a 、→b 起点的对角线长为（ ）
A ．14
B ．15
C ．15
D ．16
7．已知A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是
（ ） A ．)10
10,10103(-= B.)1010,10103()1010,10103(--=或 C.)2,6(-=e D.)2,6()2,6(或-=e
8．已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
9．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e
)4
3,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③
10．若32041||-=-，5||,4||==，则与的数量积为 （ ）
A ．103
B ．－103
C ．102
D ．10
11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ）
A ．),(k k =
B ．),(k k --=
C ．)1,1(22++=k k
D ．)1,1(22--=k k
12．已知12||,10||==b a ，且36)5
1)(3(-=，则b a 与的夹角为（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
二、填空题
13．已知向量,的夹角为
3
π，=-?+==||||,1||,2||b a b a b a 则 ． 14．已知)2,3(=，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .
15．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 . 三、解答题
17、已知(0,0),(5,4),(7,10)O A B ,若)(OB OA OP R ∈+=→→→λλ
当λ为何值时,点P 在第一、三象限角平分线上？
18、设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ， 试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．
19、设→a ,→b 是不共线的两个向量,已知→AB =2→a +k →b ,→BC =→a +→b ,=→CD →a -2→b ,
若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.
20、已知向量→a =（1,2），→b =（-3,2）
（1）若K →a +2→b 与2→a -4→b 平行，求实数k 的值；
（2）若K →a +2→b 与2→a -4→b 垂直，求实数k 的值.
21、已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）
⑴若|c |52=，且//，求的坐标；
⑵若||=
,25且2+与2-垂直，求与的夹角θ.
三角函数与向量综合题练习
平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(
平面向量综合试题(含答案)
B A C D 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．若非零向量AB 与C D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→ a → b → c ，则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4． 若 ，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A ． C. 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（ ） A. B. C. D. 6． 己知 (2,－1) .(0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.( ,3) D.(2,－7) 7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10． 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于 ( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ， 的夹角为 60，1a b ==，则() a a b -= ． 12．向量2411()()，， ，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ． 13．向量a 、b a b =1，b 3-=3，则 b +3 =
向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷
阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．
平面向量综合试题(含答案)
A C 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①= -②= +③2 - = 其中正确 ．．结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．0个 2．下列命题正确的是（） A．向量的长度与向量的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若 → a → b → c，则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A． B.6 C. D.3 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.(,3) D.(2,－7) 7．设， a b是非零向量，若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线，则必有（） A．⊥ a b B．∥ a b C．|||| = a b D．|||| ≠ a b 8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 （A） 2 AC AC AB =?（B）2 BC BA BC =? （C） 2 AB AC CD =?（D）2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10．设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，的夹角为 60，1 a b ==，则() a a b -=． 12．向量2411 ()() ，，， a=b=．若向量() λ ⊥ b a+b，则实数λ
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形 一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （ ） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距 离 等 于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是 （ ） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为
（ ） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2） D ．（ ， ） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称 （ ） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （ ）
向量和三角函数综合试题(卷)
向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）
平面向量综合试题(含答案)
A 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．若非零向量AB 与C D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→ a → b → c ，则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4． 若 ，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A ． C. 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（ ）A. B. C. D. 6． 己知 (2,－1) . (0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.( ,3) D.(2,－7) 7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2 AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10． 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ， 的夹角为 60，1a b ==，则() a a b -= ．
三角函数及平面向量测试题
姓名________ 成绩________ 三角函数和平面向量综合测试题 160分 公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 令βα=得αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +?=________. 2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ?+?=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____. 3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________. 4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b += ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ． 6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ?面积的值等于 ． 7．已知向量a 与b 的夹角为0 120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是 _______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________. 12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=??其中为向量a 和b 的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= . 13 在______,02 =∠=+??A AB ABC 则中，若.
三角函数与平面向量(好)
三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则
三角函数、平面向量综合题六类型
三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .
2021年三角函数、向量、解三角形、数列综合测试(含答案)之欧阳学文创编
三角函数、向量、解三角形、数列综 合测试（含答案） 欧阳光明（2021.03.07） 大冶一中 孙雷 一、选择题(每题只有一个正确选项，共 60分) 1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),2 3 , 21(则( ) A.30° B.60° C. 120° D. 150° 2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(PC PB PA +?的最小值是( ) A.-8 B. -14 C.-26 D.-30 3.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.5 185 8 -+ B.7 4718- + C.5 8 518- + D. 7 18 74-+
4.已知）2π-απ-(523- αsin -αcos <<=，则=+α ααtan -1) tan 1(2sin ( ) A.7528- B.7528 C.7556- D. 75 56 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( ) A.6- B.5- C.3- D.2- 6.已知α为锐角，且2)8 π -α(tan =，则=α2sin ( ) A. 10 2 B. 10 23 C. 10 27 D. 4 2 3 7.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4 πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则 =)4 π -αcos(( ) A.21- B.2 1 C.2 3- D. 2 3 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.1:3:2 D. 2: 3:1 9.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，
三角函数与平面向量综合题的六种类型
第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．
高一三角函数与平面向量综合题
讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. ,sin()sin ,sin cos 22 A B C A B C A B C π++=-+== 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方. A>B a>b sinA>sinB ??，60?o A,B,C 成等差数列B= 2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::； ()sin ,sin ,sin 222a b c ii A B C R R R = == ； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3.余弦定理：2 2 2 2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定 三角形的形状. 4.面积公式： 222111222 111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2 ==========++=a b c S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2 a b c p ++=）. 5.射影定理： a ＝ b ·cos C ＋ c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ． 特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
2013年高考数学 热点专题专练 专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题 理
专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x )＝lgsin ? ?? ??π4－2x 的一个增区间为( ) A.? ????3π8，7π8 B.? ?? ??7π8，9π8 C.? ????5π8 ，7π8 D.? ????－7π 8 ，－3π8 解析 由sin ? ????π4－2x >0，得sin ? ????2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又 f (x )＝lgsin ? ????π4－2x 的增区间即sin ? ????π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ? ?? ??2x －π4在定义域 内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π
平面向量与三角函数、解三角形的综合习题
三角函数与平面向量、解三角形综合题 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =?r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r ，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈， 且函数()y f x =的图象经过点( ,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
《三角函数与平面向量》单元测试题
《三角函数与平面向量》测试题 班级 姓名 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 1．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝ sin ? ????x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.2π3 C.4π3 D.11π6 2．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x 2 的一个单调增区间是( ) A.? ????－π2，π2 B ．(0，π) C.? ????π2，3π2 D.? ????－π4 ，3π4 3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(k π，0)}(k ∈Z) D ．? 4．函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，1] C ．[－54，－1] D ．[－1，54 ] 5．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( ) A ．－1－m 2 B.1＋m 2 C ．－1＋m 2 D.1－m 2 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2 7．函数f (x )＝2sin(2x ＋π4 )，给出的命题： ①函数f (x )在区间[ π2，5π8]上是减函数； ②直线x ＝π8 是函数 f (x )的图象的一条对称轴； ③函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移 π4个单位得到．其中正确的是( )
角函数、平面向量综合题九种类型
三角函数与平面向量综合题的九种类型
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 A＋B＋C＝π.若向量→p ＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）求函数 y＝2sin2B＋cosC－23B的最大值.
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32 ，2π)，且→a ⊥→b ．
α （Ⅰ）求 tanα 的值；（Ⅱ）求 cos( 2 ＋ 3 )的值．
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例 3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求 cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－ 2 ＜β＜0＜α＜ 2 ，且 sinβ＝－153，求 sinα 的值.
题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例 4】（2010 年高考安徽卷）已知 0 ， 为 f (x) cos(2x ) 的最小正周期，
4
8
ar
(tan(
r ), 1),b
(cos, 2), ar
r b
m
，求
2 cos2
sin
2(
)
的值．
4
cos sin
练习：设函数 f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m，cosx)，→b ＝(1＋sinx，1)，x∈R，且 f( 2 )＝2.（Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值.
题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题