西南交大峨眉校区数学建模第一次预选答案

西南交通大学峨眉校区2012年

全国大学生数学建模竞赛第一次预选赛专业：工机2班

姓名：吴一凡

（1）质点系的转动惯量（本题10分）

已知在平面上的n 个质点11,122,2,

(),(),...,()n nn P x yP x y P x y ，其质量分别为12,,...n m m m ，请你确定一个点(,)P x y ，使得质点系关于此点的转动惯量为最小。

转动惯量为最小，此时有0,0==dy

dJ dx dJ z

z i

i

i i i

i m y m y m x m x ∑∑=

=,，即取质心位置。

得到???

?

??∑∑i i i i i i m y m m x m P , （2）火箭发射问题（本题10分）

当火箭从地面发射后，它的质量以40千克/秒的速度减少，当火箭离地球中心6378

公里时，这时火箭的速度是100公里/秒，火箭的质量为3189千克,问这时的地球对火

箭的引力F 减少的速率是多少（已知地球的质量24

5.9810

M =?千克，引力常数11

6.6710

G -=?牛米2

/千克2

） 由m r

GM

F 2=，除以时间t ，推出：

代入数据，求得结果为s N dt

dF

v /73.1372-==

。

低碳经济的评价与科学预测

摘要

本文由实际出发，在所给数据中进行合理性的筛选，将表中数据通过评价系数来划分等次，通过加权系数进行处理，得到评价指数，具有良好的公平性。

问题一通过比较可以得知，在综合评价中北京>重庆>四川>上海。在分析各省低碳经济的发展变化中，北京的各项指标突出，低碳经济发展很好。上海正在大力推行低碳经济，它的评价指数在不断上升中。重庆与四川相对稳定，总体上没有太大波动。

问题二要预测2012年4个省的人均

C O排放量，通过数据量小的特点，利用改进

2

后的二次移动平均法建立预测模型，利用EXCEL软件求解。结果为：北京；上海；重庆；四川。通过拟合的方法验证模型是正确的。

问题三要满足目标，在查阅资料后找出与题中对应的我国十二五节能减排目标：

1)单位GDP二氧化碳排放降低17%

2)森林覆盖率提高到%

由此通过预测模型求解2015年以上两项的数值，加以比较，利用EXCEL软件求解。北京在四省市中节能减排最为明显，上海、重庆、四川不能达到单位GDP二氧化碳排放量减排目标，四川也没有达到森林覆盖率的既定目标。并就这些问题给出了相关建议。

本文最大的特色是利用评价系数系统地得到评价指数，具有良好的公平性。通过基于线性规划的二次移动平均法来预测数据，简单容易，比较准确。同时利用数值拟合与线性规划的方法进行验证。EXCEL软件对商务办公来说非常方便,既解决了传统手工进行统计预测的繁杂，又避免了未汉化SAS软件给普通用户带来的困难。对于日常研究，调研分析都有实际的参考意义。

关键词：评价系数、移动平均法、数值拟合、excel

一、问题提出

2009年联合国丹麦哥本哈根气候大会以来，“应对气候变化”成为全世界关注的最热门的话题。“低碳”的基本含义是较低地排放以二氧化碳为代表的温室气体。低碳经济，以减少温室气体排放为特征。发展低碳经济，必须在《联合国气候变化框架公约》的基础上，它需要国家的支持，需要每一个企业单位，每一个人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳贸易、低碳企业治理、低碳城市构建等方方面面，需要自然科学、技术科学、人文、社会、管理科学之间的融合与协调作战。

附录给出了2005～2009年北京、上海、重庆、四川4个省的相关数据，请你研究下面三个问题：

（1）根据所给数据建立数学模型对4个省的低碳经济竞争力进行综合评价，给出每个省在各年的低碳经济竞争力的排序结果，分析各省低碳经济的发展变化状况。

（2）根据所给数据建立数学模型预测2012年4个省的人均

C O排放量。

2

（3）温家宝总理在哥本哈根气候大会上庄严宣布，到2020年我国单位国内生产总排放在2005年基础上下降40%~45%的长期目标。为实现这一目标，国家“十二五值CO

2

规划”也明确提出了阶段的约束性指标。请你查阅有关资料，提出你自己认为切实可行的完成这一目标的建议和意见。

二、基本假设

1、假设各省相关数据具有独立性，互不影响，各个指标也不相互影响。

2、假设各省相关数据具有良好的稳定性，没有特殊政策和突发情况的影响。

三、符号说明

四、问题分析

本题是评价并预测的题目。数据少，波动性小。

问题一首先进行数据分类，将所有数据处理成评价系数的形式。因为数据之间数量级的差距，故利用加权系数加以调整，得到合理的综合评价指数。

问题二则需要分析数据，根据散点图的趋势来采用合适方法进行预测，并利用数值拟合下的线性规划模型来相互印证预测的准确性。

问题三要查找资料，根据上问中得到的预测模型来预测各项指标，并分析是否完成预期目标，并给出相关建议。

五、模型的建立与求解

问题一模型建立与求解

问题一的分析

将表中数据通过评价系数来划分等次，评价系数与评价指数的关系是：

评价系数取值范围默认在（1-100）之间，取整数。

不在范围内的利用加权系数酌情处理。

表格中数据分析：

表1人均二氧化碳排放，最小，最大

表2森林覆盖率，最小%，最大%

表3人均城市绿地面积，最小，最大

表4单位建成区面积能耗，最小46016，最大108122

表5单位GDP二氧化碳排放，最小，最大

经过数据处理，使得系数处于一个适当范围内。

本次是要评价各省低碳经济竞争力，故表1，表4，表5所代表的指标应尽可能低，表2、表3代表的指标应该尽可能高。

问题一模型的建立

建立评价指数模型：

式中，Q为综合评价指数；t x是每组指标的评价指数；t a是每组指标给定的加权系数；n代表其年份。

问题一模型的求解

利用Excel软件计算，可以得到评价指数Q。当a=1时，可以得到以下排名：

问题一结果的分析及验证

根据所得到的评价指数我们得知四省市的指数排名为北京>重庆>四川>上海。 实际分析，可以通过对数据的分析得到该指数与实际情况呈正相关，故实际得到的排名为北京>重庆>四川>上海是合理的。

当a 取不同值时，虽然个别结果有差异，但总体上结果是一样的，a=1是最简情况。 各省低碳经济的发展变化状况：

北京的各项指标突出，低碳经济发展很好。上海正在大力推行低碳经济，它的评价指数在不断上升中。重庆与四川相对稳定，总体上没有太大波动。 问题二模型建立与求解 问题二的分析

通过散点图观察，发现观测值都趋于稳定。可以采用二次移动平均法预测。通过与平滑指数法和数值拟合进行互补比较，就可以说明预测的准确性。 问题二模型的建立

（1）一次移动平均法的预测模型：

式中，)

1(t M 是一次移动平均值；∑t x 是实际值之和，n 为取值的个数。

其中n 的取值很重要，当n 值较大时，灵敏度较差，有显着的“滞后现象”；当n

值较小时，可以灵敏地反映时间数列的变化；但n 值过小，又达不到消除不规则变动的目的。一般来说，可以采用不同n ，对时间数列进行试验，从中选择最优n 。

本题为了达到最大利用程度，选择n=3。

式中，2007M 是移动平均值；200720062005,,x x x 是实际值。 （2）一次平滑指数法的预测模型：

式中，t x 为t 年的实际值；()t F 为t 年的预测值；α是平滑系数，取值为10<<α。

首项的预测值可以取前三项的平均值。

（3）基于拟合的线性规划模型：

通过Excel中的趋势线来找到函数关系式，建立线性规划模型：

?

Y+

=

b

ax Array式中，Y?为预测值，a，b是拟合得到的

系数，x是自变量，根据表格而定。

问题二模型的求解

利用excel加载宏中的“数据分析”，首先以北京为例，可以得到以下结果：

指数平滑法

问题二结果的分析

观察图表发现误差在20%以上，一次移动平均法与平滑指数法在数据量小的情况下

所得预测值不准确。

问题二模型的改进

由一次移动平均法进行二次移动平均，使数据得到进一步修匀，使其呈现线性趋势。

在二次移动平均值的基础上，可以建立线性模型：

式中，τ是预测超前期数。

通过查表（多项式模型参数估算公式）可知：

问题二改进模型的求解

采用最近年份的数据进行预测，代入预测模型中，各项移动平均值见附录。

经整理后，可以得到最后的式子：

问题二改进模型的比较分析

通过数值拟合的方式来比较改进模型的科学性，同时对数据进行了一定处理。

上海：y = + 北京：y = +

重庆：y = + 四川：y = +

经过数值拟合后，将拟合所预测值同预测模型得到的预测值进行比较。

由于两种预测模型和线性拟合均有误差，数据量小，会存在一定误差。而相似率在94%以上说明预测值可信度很高。

问题三的分析

（1）气候大会目标：2020年比2005年单位GDP二氧化碳排放下降40%~45%。

首先由散点图可知，总体趋势是向下的，有一定的线性关系，需要进行预测。（2）“十二五”规划中节能减排目标：

查找相关资料后得知题中数据有两个指标在十二五规划内。只需要预测2015年前单位GDP二氧化碳排放量是否降低16%；森林覆盖率是否提高到%，同时预测值要基于2009年进行比较。

问题三模型的建立与求解

利用二次移动平均法基础上得到的线性预测模型：

（1）气候大会目标：

因为考虑到实际情况，北京、上海的单位GDP排放量应该维持在一个较小的正值上。

（2）“十二五”规划中节能减排目标：

利用二次移动平均法基础上得到的线性预测模型：

6??

2009

200920156

2009?+==+b a Y Y 单位GDP 二氧化碳排放量（单位：吨/万元）

森林覆盖率（单位：%）

问题三结果的分析及验证

对于预测数据我们可以知道，北京在四省市中节能减排最为明显，上海、重庆、四

川不能达到单位GDP 二氧化碳排放量减排目标。四川在森林覆盖率上不能达到预期要求。为此上海、重庆、四川要加快推动节能减排政策，同时四川应该大力实行有关植树的各项政策，确保各省市在十二五结束前完成既定目标。

该预测模型在问题二中得到验证，可以认为模型预测出的数据是可靠的。

六、模型的评价与推广

模型的评价

基于二次移动平均法的线性模型能够较好地消除数据中的不稳定波动，方法简单易懂，N 值应尽量取大，可以得到令人满意的效果。在预测相对稳定的数据时准确率高。而通过数值拟合来验证该模型的科学性也得到了证明。然而该模型在预测实际情况时需要灵活调整。在波动幅度较大的数据时，可以多次取移动平均值来调整好数据的波动。

ττt t t b a Y +=+?，()()212t

t t M M a -=，()()()

211

2

t t t M M N b --=

以上公式对线性预测效果明显，但不适用于非线性预测。在实际应用于仅作为参考。

模型的推广

基于二次移动平均法的线性预测可以广泛地适用于预测具有稳定趋势的各种数据。在实际应用中可以作为一种参考。用Excel来处理统计预测方法，简便易行，快速准确，既解决了传统手工进行统计预测的繁杂，又避免了未汉化SAS软件给普通用户带来的困难。对于商务办公，调研分析都有实际的参考意义。

七、参考文献

[1] 姜启源等, 《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月

[2] 沈恒范，《概率论与数理统计教程》（第五版），高等教育出版社，2011年6月

[3] 隐含在Excel中的统计预测方法研究，孙艳玲，2002年1月

八、附录附录1：问题一中评价系数

附录2：问题二中移动平均法数据

附录3：问题三中的移动平均法数据