江苏省苏北六市2021届高三第二次调研测试数学(文科)试题

江苏省苏北六市【最新】高三第二次调研测试数学（文科）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合U ＝{﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，2}，则A U

＝_______．

2．已知复数1z a i =+，234z i =-，其中i 为虚数单位，若1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为_______．

3．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，

上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．

4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为_______．

5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为____．

6．在△ABC 中，已知AB ＝1，AC

，B ＝45°，则BC 的长为_______．

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2

2

13

y x -=有公共的渐近线，且

经过点P(﹣2

，则双曲线C 的焦距为_______．

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α﹣β)的值为_______．

9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396,,S S S 成等差数列，且83a =，则5a 的值为________．

10．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______．

11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C

上的点都在不等式组33030

x x x ≤??

+≥??

++≥?表示的

平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为_______．

12．设函数31

0()2320

x e x f x x mx x ，，-?->?=?

?--≤?(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是_______．

13．在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ?的值为________

14．已知a 为常数，函数(

)f x =2

3

-

，则a 的所有值为____．

二、解答题

15．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，

，()sin cos b ββ=-，，12c ??=- ? ??

?

，． （1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值； （2）设5π

6

α=

，0πβ<<，且()

//a b c +，求β的值． 16．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的短轴端

点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为3

y x时，线段PB1

的长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

18．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以1l为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：以1l为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l或2l垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

19．设等比数列1a ， 2a ， 3a ， 4a 的公比为q ，等差数列1b ， 2b ， 3b ， 4b 的公差为d ，且q≠1，d≠0．记i i i c a b =+ (i =1，2，3，4)． （1）求证：数列1c ， 2c ， 3c 不是等差数列；

（2）设11a =，q ＝2．若数列1c ， 2c ， 3c 是等比数列，求2b 关于d 的函数关系式及其定义域；

（3）数列1c ， 2c ， 3c ， 4c 能否为等比数列？并说明理由． 20．设函数()sin (0)f x x a x a =->．

（1）若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）设a ＝

1

2

，()()ln 1g x f x b x =++(b R ∈，0b ≠)，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的x ＞0，()g x '＞0，求证：存在0x ，使0()g x ＜0；

②若1212()()()g x g x x x =≠，求证：12x x ＜24b ．

参考答案

1．{}1,3 【解析】

{}10123U =-，，，，，{}102A ，，=-

则{}13U C A =，

2．

43

【解析】

()()()()1234343434343425

a i i z a i

a ai i z i i i +++++-===--+ 1

2

z z 为纯虚数， 340a ∴-=

则43

a = 3．30 【解析】 由题意可得：

()400.0150.0300.0250.0051030?+++?=

则成绩不低于60分的人数为30人 4．125 【解析】

1S =，14i =<

155S =?=，1124i =+=< 5525S =?=，2134i =+=<

255125S =?=，314i =+=，结束循环

则输出的125S = 5．

13

【解析】

设AC x =，则12BC x =-，矩形的面积为2

(12)12S AC BC x x x x =?=-=-.

∵21232x x -> ∴48x <<

由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于232cm 的概率为841

123

P -==. 故答案为

1

3

. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解； （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

6 【解析】

222

cos 2AB BC AC B AB BC +-=

?

即212

22BC BC

+-=

化简得：210BC -=

解得2

BC =

7．【解析】

2

2

13

y x -=的渐近线方程为y =

设双曲线C 的方程为22

221x y a b

-=，代入(2-

2243

1a b

b a

?-=???

?=??，解得2239a b ?=?=? 则212c =

，c =， 则双曲线C

的焦距为2c =8．

9

7

【解析】

由题意得：tan 2α=，1tan 5

β=

()1

295tan 2715

αβ-

-=

=+ 9．6- 【分析】

解法1 根据等比数列的前n 项公式，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362,1S S S q =+=明显不适合，所以有(

)()()9

3

6

11

1

1112111a q a q a q q

q q

---?=+---，解得3

1

2

q

=-或31q = (舍去)，

可求得5a ；

解法2由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即

()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得

31

2

q =-，可求得5a .

【详解】

解法1 设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362,1S S S q =+=明显不适合，所以有(

)()()9

3

6

11

1

1112111a q a q a q q

q q

---?

=+---，整理得6

3210q

q --=，解得

31

2

q =-或31q = (舍去)，又83a =，故3583(2)6a a q -==?-=-.

解法2 设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即

()96362S S S S -=-，

即()()7894562a a a a a a ++=-++，即(

)()6

2

3

2

11

211a q q q

a q q q ++=-++，

因为1

0a ≠，

0q ≠，且210q q ++>，

所以3

12

q =-

，又83a =，故3

583(2)6a a q -==?-=-. 故答案为：6-. 【点睛】

本题考查等比数列的通项和前n 项的和之间的转化求解问题，以及等差数列的等差中项的相应运用，属于基础题. 10．8 【解析】

()4abc a b =+

()4a b c ab

+∴=

()

444448a b a b c a b a b ab

b a +++=++

=++

+≥=+= 11．22(1)4x y -+= 【解析】

如图：

可得不等式组表示的平面区域，围成的三角形为等边三角形，则面积最大的圆为三角形内切

圆，圆心为()10

，，半径为2，所以圆C 的标准方程为()2

214x y -+= 12．()1,+∞

【解析】

当0x >时，存在一个零点，故当0x ≤有两个零点，()3

32f x x mx =-- ()′2

33f x x m =-，若0m ≤时，()′

0f x ≥，函数()f x 在0x ≤时单调递增，不会有两个

零点，故舍去；当0m >时函数()f x 在区间(∞-，

上单调递增，在区间()

上

单调递减，又()020f =-<所以(0f >时有两个零点，解得1m > 故m 的取值范围是()1,+∞

点睛：本题考查了分段函数零点问题，由题目条件可以得到一个零点，然后利用导数，求导，根据单调性，满足当极大值点大于零时存在另外两个零点即可，本题重点考察了导数的运用，属于中档题 13．10 【解析】

因为AB +BC =DA +DC =5，所以将四边形放入椭圆内，A 、C 为左右两个焦点，不妨令椭圆方

程为()22

2210x y a b a b

+=>>，设()()1122,,,B x y D x y ，则2a =5，

由焦半径公式得121,3ex a ex a +=+=，两式相减得()212e x x -=， 而()212

22410AC BD c x x c a e

?=-=?

==.

点睛：本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度. 14．1

44

， 【解析】

由题意得函数()f x 为奇函数.

∵函数(

)f x =

∴

()f x

=

'

令()0f x '==

，则2

1

a x a =

+. ∵函数()f x 的最小值为23

- ∴0a >

∴()0f x '>，得2(1)[(1)]0

a a a x --

+>.

①当01a <<时，函数()f x

的定义域为[，由()0f x '>

得x ≤<

x ≤，由()0f x '<

得

x <<()f x

在[

，

上为增函数，在(

上为减函数.

∵(f =

，f =

， ∴min 2

()13

f x f a ===-

-，则14a = ②

当1a >时，函数(

)f x 的定义域为[1,1]-，由()0f x '>得

x <<

，()0

f x '<得1x -≤<

1x <≤，函数()f x

在(

上为增函数，在[1,

-

，为减函数.

∵(f =(1)f =

∴min 2()13

f x f a ==-=--，则4a =. 综上所述，1

4

a =或4a =. 故答案为4，

14

. 15．（1）1sin ()2αβ-=-；（2）π2

β=.

【分析】

（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可． 【详解】

解：（1）因为()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()

12c =-，

所以1a b c ===，

且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ?=-+=-. 因为a b c +=，所以2

2a b

c +=，即22

21a a b b +?+=，

所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．

（2）因为5π6

α=

，所以()

312=-，a ．

依题意，1sin cos 2b c ββ??

+=--+ ? ???

，．

因为()

//a b c +，所以)(

)11cos sin 022

ββ---=．

化简得，11sin 22

ββ=，所以()π1

sin 32β-=．

因为0πβ<<，所以ππ2π

333β-<-<．

所以ππ36β-=，即π

2

β=．

【点睛】

本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力，属于中档题. 16．(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】

试题分析：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB //1CC ，由1AF CC ⊥可推出1AF BB ⊥，再根据1AE BB ⊥，可证1BB ⊥平面AEF ，从而可证平面AEF ⊥平面11BB C C ；（2）根据1AE BB ⊥，1AF CC ⊥，ABE ACF ∠=∠，AB AC =，可证Rt AEB ?≌Rt AFC ?，结合（1），可推出四边形BEFC 是平行四边形，即可证明BC //平面AEF ． 试题解析：证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB //1CC ． ∵1AF CC ⊥ ∴1AF BB ⊥

又∵1AE BB ⊥，AE AF A ?=，AE ，AF

?平面AEF . ∴1BB ⊥平面AEF

又∵1BB

?平面11BB C C ∴平面AEF ⊥平面11BB C C

（2）∵1AE BB ⊥，1AF CC ⊥，ABE ACF ∠=∠，AB AC = ∴Rt AEB ?≌Rt AFC ? ∴BE CF =

又由（1）知，BE //CF ．

∴四边形BEFC 是平行四边形，从而BC //EF ． 又∵BC ?平面AEF ，EF ?平面AEF ∴BC //平面AEF ．

17．（1）221189

x y +=；

（2）2 【解析】

试题分析：()1由3y x =+中，令0x =，得3y =，求出b ＝ 3，然后1PB =()2

182a = QB 1的斜率为10

03

QB x k y =-

-，表示直线QB 1的方程和QB 2的方程，求出两点

坐标关系，代入

1212

1

PB B QB B S x S x ??=

，求出结果 解析：设()00P x y ，

，()11Q x y ，． （1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b ＝ 3．

由222193

x y a y x ，?+=???=+?

得()222319x x a ++=，所以20269a x a =-+． 因为

10PB x =

=，

所以22

69a a

=+，解得2

18a =． 所以椭圆的标准方程为22

1189

x y +=．

（2）直线PB 1的斜率为100

3

PB y k x -=

，由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003

QB x k y =-

-． 于是直线QB 1的方程为：

033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0

033

x y x y =-

-+． 联立两直线方程，消去y ，得2010

9

y x x -=．

因为()00P x y ，在椭圆221189x y +=上，所以22001189

x y +=，从而22

0092x y -=-．

所以0

12

x x =-，所以

1212012PB B QB B S x S x ??==． 18．(1)

r

=(2)【解析】

试题分析：（1）设所得圆柱的半径为 r dm ，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm ，即可求得r

的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，根据题意得2

20.x a a x ?≤???

?≤??，.方法一：表示出正

四棱柱的体积3

2

04

400

x x V a x x x

?

<≤??=≤?

?>??

，，，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最

大值，从而得体积最大值及x 的值；方法二：表示出x 的范围，从而得到a 的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及x 的值.

试题解析：（1）设所得圆柱的半径为 r dm ，则()2π24100r r r +?=，

解得

r =

（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2

1004x a a a x ?≤????≤-??，，即220.x a a x ?

≤???

?≤??

， 方法一：

所得正四棱柱的体积3

2

04

400

x x V a x x x

?

<≤??=≤?

?>??，

，

记函数(

)3

04400

x x p x x x

?

<≤??

=?

?>??

，，则

()p x 在(0

上单调递增，在)

?+∞?

上单调递减.

∴当

x =时，()max p

x =．

∴

当x =，a =

时，max V = 3． 方法二：

20

2

a x a

≤≤

，从而a

所得正四棱柱的体积22

2020V a x a a a ??

=≤=≤

???

∴当a =，x =时，max V = 3．

答：（1dm ；

（2）当x 为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． 19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】

试题分析：()1假设数列123c c c ，

，是等差数列，推出123a a a ==，这与1q ≠矛盾，假设不成立()2求出12n n a -=，根据题意得2213c c c =，代入化简得到2

23b d d =+，算出结果()

3设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列,列出关系式，解得11a c =，代入推出矛盾

解析：（1）假设数列123c c c ，

，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．

因为12b b ，

， 3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+． 又因为12a a ，

， 3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．

所以数列123c c c ，

，不是等差数列． （2）因为11a =，2q =，所以1

2n n a -=．

因为2213c c c =，所以()()()2

222214b b d b d +=+-++，即2

23b d d =+，

由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．

又0d ≠，所以2

23b d d =+，定义域为{}

120d R d d d ∈≠-≠-≠，

，． （3）设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则()()2

2

11111a q c q -=-，⑤

将①+③－2×②得，()()2

2

111111a q q c q q -=-，⑥

将②+④－2×③得，()()22

111111a q q c q q -=-，⑥ 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．

代入①得10b =． 再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．

点睛：本题考查了数列的证明，运用反证法证明数列不是等差数列，反证法一般步骤，先假设成立，然后代入计算、化简，推导出和条件或者其他有矛盾的地方，然后假设不成立，故原命题成立，本题在最后一问里的计算较为复杂，也是推出矛盾，本题有难度． 20．（1）01a <≤；（2）见解析 【解析】

试题分析：()1求导得()1cos f x a x =-'，由单调性推出a 的取值范围()2①得

()1sin ln 12

g x x x b x =-++，求导，讨论0b <和0b >，代入30e b x -

=得出结论②由函数

sin y x x =-单调递增得2121sin sin x x x x ->-，证得21

21

2ln ln x x b x x -->

-，下面证明

21

21

ln ln x x x x ->-

解析：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立，

因为0a >，所以1

cos x a

≥对x R ∈恒成立， 因为()max cos 1x =，所以1

1a ≥，从而01a <≤．

（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b

g x x x

=-+'．

若0b <，则存在02b -

>，使11cos 0222b b g ????

-=---'< ? ?????

，不合题意，

所以0b >．取3

e

b

x -=，则001x <<．

此时()30000111

sin ln 11ln 10222

b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．

所以存在00x >，使()00g x <．

②依题意，不妨设120x x <<，令

2

1

x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．

因为()()12g x g x =，所以11122211

sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++， 所以()()()2121212111

ln ln sin sin 22

b x x x x x x x x --=--->-．

所以21

21

20ln ln x x b x x -->

>-．

下面证明2121ln ln x x x x ->-

1ln t t

->

，只要证明()ln 0*t <． 设(

))ln 1h t t t =>，所以(

)

2

10h t '-=<在()1+∞，

恒成立． 所以()h t 在()1+∞，

单调递减，故()()10h t h <=，从而()*

得证． 所以2b ->

即2124x x b <．

点睛：本题考查了导数的综合运用，尤其在证明不等式的过程中，运用了放缩的方法将结果求证出来，在证明2

124x x b <时，也是利用了不等式关系构得到21

21

2ln ln x x b x x -->

-，然后构

造新函数证明出结果，综合能力较强，本题较难．