第一章习题(基本题)

第一章 多项式习题

基本题

一、填空题

1.用2()2g x x x =-+除4()25f x x x =++，商式为 ；余式为 。

2.当,,m p q 满足关系 时，241|x mx x px q ++++.

3.4322()(441,1)d x x x x x x x =--++-+= ；存在()u x 注＝ ，()v x ＝ ，使得()()()()()d x f x u x g x v x =+.

4.设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x d -+-=-+-+-+，则,,,a b c d 的值为 。

5.当t 满足 时，32()31f x x x tx =-+-有重根。

6.3()f x x px q =++有重根的条件是 。

7.42()4751f x x x x =---的有理根集合为 。

8. 当f (x )与g (x ) 时，由f (x )|g (x )h (x )可推出f (x )|h (x ).

9. 数域P 的非零不可约多项式f (x )的因子为 与 。

10. 若2x -是多项式f (x )的3重因式,则2x -是''()f x 的 重因式。

二． 判断题

1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数关于数的四则运算是数域。 ( )

2．数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数关于数的四则运算是数域。 （

） 3. 若f (x )|g (x )+h (x ),f (x )|g (x ),则f (x )|h (x ). （

） 4. 如果f (x )在有理数域上是可约的，则f (x )必有有理根。 （

） 5. 若p (x )是'()f x 的k 重因式，则p (x )是f (x )的k +1重因式。 （

） 6. 若f (x )|g (x )h (x ),且f (x )|g (x ),则(f (x ),h (x ))=1. ( )

7. 奇次数的实系数多项式必有实根。 （

） 8. 如果f (x )没有有理根，则它在有理数域上不可约。 （

） 9.如果在有理数域有f (x )|/g (x )，则在实数域f (x )|/g (x ). （

） 10．不可约多项式必为本原多项式。 （ ）

三．选择题

1. 以下数集按照数的四则运算构成数域的是 （

）

（A ）{|,a bi a b +是有理数，i 2= -1}； （B ） {是整数b a bi a ,|+，i 2= -1}；

（C ）{}是有理数b a b a ,|2+； （D ）全体有理数。

2.关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）

（A ）若f (x )|g (x )h (x ),且f (x )|/g (x )则f (x )|h (x )；

（B ）若g (x )|f (x ),h (x )|f (x ),则g (x )h (x )|f (x )；

（C ）若f (x )|g (x )+h (x )，且f (x )|g (x )，则f (x )|h (x )；

（D ）若f (x )|/g (x )，f (x )|/h (x )，则f (x )|/g (x )h (x ).

3.关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）

（A ）若f (x )|g (x )h (x ) 且f (x )|g (x ) ,则（f (x ),h (x )）=1；

（B ）若存在u (x )，v (x )，使得f (x )u (x )+g (x )v (x )=d (x )，则d (x )是f (x )和g (x )的最大公因式；

（C ）若d (x )|f (x ),且有f (x )u (x )+g (x )v (x ) =d (x )，则d (x )是f (x )和g (x )的最大公因式；

（D ）若(f (x )g (x ),h (x ))=1，则(f (x ),h (x ))=1且(g (x ),h (x ))=1.

4.关于多项式的根，以下结论正确的是

（ ） （A ）如果f (x )在有理数域上可约，则它必有理根；

（B ）如果f (x )在实数域上可约，则它必有实根；

（C ）如果f (x )没有有理根，则f (x )在有理数域上不可约；

（D ）一个三次实系数多项式必有实根。

5.关于多项式的重因式，以下结论正确的是

（ ） （A ）若f (x )是'()f x 的k 重因式，则p (x ) 是f (x )的k+1重因式；

（B ）若p (x )是f (x )的k 重因式，则p (x ) 是f (x )，'()f x 的公因式；

（C ）若p (x )是'()f x 的因式，则p (x )是f (x )的重因式；

（D ）若p (x )是f (x )的重因式，则p (x )是))

(),(()(x f x f x f '的单因式。 6. 关于多项式的分解，下列说法正确的是

（ ） （A ）任一多项式在数域P 上都可以分解成一次因式的乘积；

（B ）任一多项式在数域P 上的因式分解在不计排列顺序和常数因子的情形下是唯一确定的；

（C ）任一多项式在有理数域可以分解成一次或两次因式的乘积；

（D ）任一多项式的分解式中必有一次因式。

7.设f (x )=x 3-3x+k 有重根，那么k =

（ ） （A ）1； （B ）-1； （C ）±2； （D ）0.

8.设f (x )=x 3-3x 2+tx -1是整系数多项式，当t 为下列何值时，f (x )在有理数域上可约。

（ ） （A ）1； （B ）0； （C ）-1； （D ）3或-5.

9.设f (x )=x 3+t x 2+3x -1是整系数多项式，当t 为下列何值时，f (x )在有理数域上可约。

（ ） （A ）1； （B ）-1； （C ）0； （D ）5或-3.

10.关于不可约多项式p (x ),以下结论不正确．．．的是

（

） （A ）若p (x )|f (x )g (x )，则p (x )|f (x )或p (x )|g (x )；

（B ）若q (x )也是不可约多项式，则（p (x ),q (x )）=1或p (x )=cq (x ) (c ≠0)；

（C ）p (x )是任何数域上的不可约多项式；

（D ）p (x )是有理数域上的不可约多项式。

一、 计算题

1.计算以下多项式的最大公因式：

（1） ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f

（2）()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=

3. 求多项式2()31g x x x =++除53()21f x x x x =++-所得的商和余式。

4. 设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323，求.,,,d c b a [提示:应用综合除法]

5. 求一个次数小于4的多项式)(x f ,使2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f .

6. 实数q p m ,,满足什么条件时，多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++

7. 决定k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。 8. b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

（1）;33b ax x ++ （2）.44b ax x ++

9.（1）求()1222345-++--=x x x x x x f 在 [x ]注

内的标准分解式； （2）求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在 [x ]注

内的标准分解式。 10.判断多项式43()223f x x x x =-+-在有理数域上是否可约。

二、 证明题

1.设((),())1f x g x =，证明：

（1）((),()())1f x f x g x +=； （2）(()(),()())1f x g x f x g x +=；

（3）((),())1n n f x g x =； （4）((),())1n n

f x

g x =.

2.设(),()f x g x 不全为0，()((),())()()()()d x f x g x f x u x g x v x ==+，若

11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x == 且11(),()f x g x 的次数都大于1.

（1） 问(),()u x v x 是否唯一；

（2） 求证：((),())1u x v x =；

（3） 求证：11((),())1f x g x =.

3．设()f x 是首一多项式，且次数大于1。证明下列命题等价：

（1）()f x 是某个多项式的方幂；

（2）对于任意多项式()g x ，必有((),())1f x g x =，或者存在某一个整数m ，使得()|()m f x g x ；

（3）对于任意多项式(),()g x h x ，由()|()()f x g x h x 可推出()|()f x g x ，或者存在整数m ，使得()|()m

f x h x . 4．证明：22()|()()|()f x

g x f x g x ?.

5．如果()|()n f x f x ，求证()f x 是常数或单位根。

6．如果(1)|()n x f x -，求证(1)|()n n x f x -.

7.设.1),(=g f 令n 是任意正整数，证明：.1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有.1),(=n

m g f 8.令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x xg x f +可以被12++x x 整除。证明:.0)1()1(==g f

9.设 [x ]注

中多项式0)(≠x f 且)(|)(n x f x f ,n 是一个大于1的整数。证明:)(x f 的根只能是零或单位根。（提示:如果c 是)(x f 的根,那么 ,,,32n n n c c c 都是)(x f 的根）。

10.设)(x f 是一个整系数多项式。证明:若)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根。

11．设)(x f 是一个复系数多项式,用()f x 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式。证明:(1)若g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ；

(2)若)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那么)(x d 是一个实系数多项式)。

注：这里 表示实数域， 表示复数域， 表示有理数域。f )(x 、g )(x 、()u x 等均表示多项式。

编辑：邹群

地址：南昌航空大学数信学院 邮箱：jxzouq@https://www.360docs.net/doc/5a7787060.html,

2009．5．20