平面直角坐标系

平面直角坐标系

教学目标:

①理解平面直角坐标系在实际问题中的简单应用;

②理解平面直角坐标系的建系原则;

③体会根据几何特征选择适当的直角坐标系的一般原则.

重点:平面直角坐标系的建系原则.

难点:平面直角坐标系在实际问题中的应用.

教学过程:

思考1:声响定位问题

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度340m/s，各相关点均在同一平面上）

思考2：怎样建立直角坐标系才有利我们解决这个问题

以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0) C(0,1020)，设P（x,y）为巨响声点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360。由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线

22

221

x y

a b

-=

用y=－x 代入上式，得

，∵|PA|>|PB|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450

距中心

处.

解决此类应用题的关键：建系－设点（点与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对应）－化简－说明

思考3：我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P 的位置，这种方法与用直角坐标系刻画点P 的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？

2.已知△ABC 的三边a,b,c 满足b 2+c 2=5a 2

,BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。

你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

课堂小结：

建系的原则一般

（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 解决应用题的关键：

建系－设点（点与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对应）－化简－说明

)0(13405680340568010201020,6802

222222222<=?-?=-=-=∴==x y x a c b c a 故双曲线方程为x =±6805y =10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即

作业 p8习题1.1 1，2，3 板书设计略

课后反思

平面直角坐标系中的伸缩变换

教学目标:

学生在函数的学习过程中对函数图象的平移变换、伸缩变换有了一定的了解，也接触了图形的变换。但是两者之间的联系并没有建立起来，特别是不知道用代数的方法表示图形变换的方法。本节课的教学任务是使学生在已有认识的基础上，明确在直角坐标系中，可以利用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化，使学生进一步理解坐标法。

重点:通过实例概括坐标伸缩变换公式，了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况。

难点:理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系。

教学过程:

问题1：怎样又y=sinx得到y=sin2x?

设计意图：从学生熟悉的伸缩变换入手，启发学生由关注整体图形的横向伸缩变换转为关注图形上任意点的横向伸缩变换，并思考如何利用坐标变换来表示图形变换。

问题2：你能回答课本第5页“思考”中的问题吗？

设计意图：引导学生观察、思考两个图象上对应点之间的坐标关系。

问题3：如果P（x,y），P’(x＇,y＇)分别是曲线y=sinx,y=sin2x上的点，这两个点之间的坐标之间有什么关系？

设计意图：引导学生得出x＇=0.5x,y＇=y,并明确它可以用来表示曲线y=sinx得到y=sin2x 的图象横向伸缩变换。

问题4：怎样由y=sinx得到y=sin(0.5x)?你能写出对应的坐标变换公式吗？

设计意图：使学生完整的理解图象横向伸缩变换与坐标横向伸缩变换之间的关系。

问题5：怎样由y=sinx得到y=3sinx?

设计意图：使学生明确可以用坐标变换x＇=x;y＇=3y来表示正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx的图象纵向伸缩变换。

问题６：怎样由y=sinx得到y=3sin2x?

设计意图：使学生认识到y=sinx的图象经伸缩变换得到y=Asinwx的图象，可以概括为坐标伸缩变换x＇=0.5x;y＇=3y

问题７：如何把前面的问题一般化？

设计意图：体会从特殊到一般的归纳细想，给出平面直角坐标系中的坐标变换的定义

问题８：阅读第7页例2，你能发现什么结论，你能证明字节发现吗？

设计意图：给学生思考与发现的机会，体会“获取信息，发现结论，证明结论”的数学思维过程。

问题9：对第8页的“思考”你有什么结论，你能证明你的结论吗？

设计意图：让学生进一步体会与尝试用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法

课堂小结

1、图形的伸缩变换公式

2、坐标法

作业 p8习题1.1 4，5，6

板书设计略

课后反思

极坐标系

教学目标

在以往的学习中，学生对直角坐标系已经非常熟悉。在实际生活中，所给出的条件经常用“方位角”和“距离”表示，这时用直角坐标刻画点的位置就不方便，因此需要建立一种以“角度”和“距离”为参照的坐标系，即极坐标系。

本节的基本任务是使学生认识极坐标系，具体的说是要使学生能够在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

重点：认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互

化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。 教学过程

问题1：现实生活中，经常需要用方位和距离刻画点的位置。你能完成第9页的第一个思考吗？

设计意图：引起学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。 问题2：你能回答第9页的第二个“思考”中的问题吗？ 设计意图：引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系。 教师引导学生回顾建立直角坐标系的过程，坐标x,y 的意义，以及用直角坐标刻画点的位置关系的方法，再让学生自己尝试建立用角和距离刻画点的位置的关系，并说明为什么可以这样做。

给出极坐标系的有关概念：极点、极轴、极径、极角、极坐标

1111,,,,35,2,,4,

, 3.5,64

3A B C D E F ππ

π-?????

?

? ?

??????

?

例如图在极坐标系中写出点的极坐标并标出点所在位置

5ππ7π12

2

12

()111,,,,1,0,44,,5,.,,112.23

A B C D E F ππ-????

- ? ?????

解由图可得点的极坐标分别为点的位置如图所示

2,,,,,,,,,.,A B C D E 例在下图中用点分别表示教学楼体育馆图书馆实验楼办公楼的位置建立适当的极坐标系写出各点的极坐标

2

π

2

5π7π

12

12

112

-图C

113

-图,(1),(113).

A A

B m -解以点为极点所在射线为极轴单位长度为建立极坐标系图()()3,,,,0,0,60,0,120,,,50,.324A B

C

D

E πππ??????

? ?

???????

点的极坐标分别为

问题3：直角坐标系下，点与它的坐标一一对应，在极坐标系下，点与它的极坐标是否也有一一对应的关系？

问题4：你能给出第11页“思考”的解答吗？

设计意图：引导学生认识建立两种坐标之间关系的基本思想。

235,

3M π

??

???

例将点的极坐标化成直角坐标

2525cos

,5sin 323x y ππ==-==解

5,2M ?- ??

所以点的直角坐标为

()

41M -例将点的直角坐标化成极坐标

2,ρ=

==解tan

θ=

==7,.6M πθ=

因为点在第三象限故7,2,.6

M π?? ???

因此点的极坐标为 [),(2).0,2.

πθπ∈把直角坐标转化为极坐标时通常有不同的表示法极角相差的整数倍一般只要取就可以了

课堂小结

极坐标与哪些知识有关系？极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有什么区别？极坐标与直角坐标的相互转化方式是什么？ 作业 P12 习题1.2 3、4、5 板书设计 略 课后反思

曲线的极坐标方程的意义

教学目标

1．理解极坐标方程的意义

2．能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

3．感受极坐标方程的意义

重点：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

难点：极坐标方程的意义

教学过程

一、知识回顾

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？

2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义

3、求曲线方程的步骤。

二、师生互动

1. 情境：以极点O为圆心, 5为半径的圆上任意一点的极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。因此, 以极点为圆心, 5为半径的圆可以用方程ρ=5来表示.

2. 问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程F(x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。

同理，在极坐标平面上, 曲线也可以用关于ρ、θ的二元方程f (ρ,θ)＝0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程。

3、定义：一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ,θ)＝0；反之, 极坐标适合方程

f (ρ,θ)＝0的点在曲线上, 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.

三、求曲线的极坐标方程：

类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。

例1求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程。

解：如图所示，在所求直线 l 上任取一点P(ρ,θ)，连结OP,

则 OP＝ρ，∠POA＝θ

在Rt△POA中，由于OA/OP=cosθ，

所以 2/ρ＝cos θ

所以 ρcos θ=2为所求直线的极坐标方程。

变式训练1：已知点p 的极坐标为(1,π)，那么过点p 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 例2: 求圆心在C(r,0),半径为r 的圆的极坐标方程

解：如图

设P （ρ,θ）为圆上任意一点，由于OP ⊥AP |OA|=2r ，∠POA ＝θ则 |OP|＝|OA|cos ∠POA 即 ρ＝2rcos θ

所以 所求圆的极坐标方程为 ρ＝2rcos θ

变式训练2：求圆心在C （r ,π/2), 半径为r 的圆的极坐标方程

解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。

设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A ，则A 点的极坐标为（２r, π /2)。 设圆上任意一点为P （ρ，θ），连结PA ，则 ｜OP ｜＝ρ，∠POx ＝θ

在Rt △POA 中，由于cos ∠POA=|OP|/|OA|， 所以cos(π /2-θ)= ρ/2r 即sin θ=ρ/2r 所以 ρ＝2rsin θ为所求圆的极坐标方程。 特别地

我们知道,在直角坐标系中，x=k(k 为常数)表示一条平行于y 轴的直线；y=k(k 为常数)表示一条平行于x 轴的直线。 我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，ρ＝k(k 为常数)表示圆心在极点、半径为k 的

A(2r,π)

圆；

θ＝k(k 为常数)表示极角为k 的一条直线（过极点）。 例3.

（1）化在直角坐标方程x 2+y 2

-8y=0为极坐标方程，

（2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-π/3) 为直角坐标方程。 变式训练3：

1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1) ρc o s θ=4, (2) ρ=5, (3) ρ=2r s i n θ （1）解：把代入上式，得它的直角坐标方程x =4 （2）解：两边同时平方，得ρ2=25

把ρ2=x 2+y 2代入上式，得它的直角坐标方程x 2+y 2=25

(3)解：两边同时乘以ρ，得ρ2=2r ρs i n θ, 把ρ2=x 2+y 2 , ρs i n θ=y 代入上式，得它的直角x 2+y 2=2r y 即x 2+(y -r )2=r 2

课堂小结

1. 在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置.

2. 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法. 作业 P15习题1.3 1 板书设计 略 课后反思

直线的极坐标方程

教学目标

1．了解掌握极坐标系中直线的方程 2．巩固求曲线方程的方法和步骤

教学重点：求直线的极坐标方程

教学难点：极坐标下直线的一般方程 教学过程

新课引入：

思考1：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x 轴垂直的直线方程为____;过点(3,3)且与x 轴垂直的直线方程为______ 2、过点(a,b)且垂直于x 轴的直线方程为____

特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。 思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？

与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ,θ)=0 ，再化简并讨论。 新课讲授

例1：求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程 分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是π/4，

其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为 引申1：求过极点, 倾角为5π/4的射线的极坐标方程 引申2：求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 原因在ρ≥0

为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为

例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L 的极坐标方程。 求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；

2、设点M(ρ,θ)是直线上任意一点；

3、连接MO ；

4、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简；

5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习：设点P 的极坐标为A(a,0)，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α, 求直线l 的极坐标方程。 解：如图，

(0)

4

π

θρ=≥5()()44

R R ππθρθρ=∈=∈或

设点M(ρ,θ), 为直线l 上异于A 的点,连接OM ，在△MOA 中有

即

显然A 点也满足上方程. 例 3 设点P 的极坐标为(ρ1,θ1,) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α,求直线l 的极

坐标方程。

解：如图，设点M(ρ,θ),为直线上除点P 外的任意一点，连接OM …

显然点P 的坐标也是它的解

课堂小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点

2、过某个定点，且垂直于极轴

3、过某个定点，且与极轴成一定的角度 作业 P15 习题1.3 2 （1），（2）5 板书设计 略 课后反思

o

M

o

sin()sin()a

ρπααθ=

--sin()sin a ραθα-=11sin()sin()ραθραθ-=-

圆的极坐标方程

教学目标

1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同.

2、掌握各种圆的极坐标方程.

3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形

教学重点：

极坐标方程是涉及长度与角度的问题, 列方程实质是解直角或斜三角形问题, 要使用旧的三角知识.

教学难点：极坐标下圆的一般方程

教学过程

一、回顾曲线的极坐标方程

1. 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(ρ,θ)=0有如下关系

(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(ρ,θ)=0 ；

(２)方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。

则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0 。

二、探究

如图,半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标

(ρ,θ)满足的条件？

例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？

例2、若圆心的坐标为M(ρ0,θ0)，圆的半径为r，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些

特殊位置的圆的极坐标方程。

练习1: 求下列圆的极坐标方程

(１)中心在极点，半径为2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,π/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(ρ0,θ０)，半径为r。

2

ρ2+ ρ02 -2 ρρ0 cos( θ- θ０)= r

练习2: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少

练习3: 以极坐标系中的点(1,1)为圆心, 1为半径的圆的方程是 ( )

例3：在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。 练习4: 在极坐标系中, 已知圆C 的圆心C(3, π /6),半径r=3 ① 求圆C 的极坐标方程。

② 若Q 点在圆C 上运动 ,P 在的延长线上,且OQ:OP=3:2, 求动点P 的轨迹方程。 课堂小结：

（１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程 课后作业 P15 2（3）、（4）；4 板书设计 略 课后反思

()().2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ???

?=-=- ? ?????=-=-

圆锥曲线的极坐标方程

教学目标

1．进一步学习在极坐标系求曲线方程

2．求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程

教学重点

1．圆锥曲线极坐标方程的统一形式

2．方程中字母的几何意义

教学难点：圆锥曲线统一方程的推到

教学过程

一、问题情境

情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？

情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？

二、知识回顾

1．求曲线方程的方程的步骤;

2．两种坐标互化前提和公式;

3．圆锥曲线统一定义：

平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线（准线l）的距离之比为常数（离心率e）的点的轨迹。

1、圆锥曲线的统一方程

设定点F到定直线l的距离为P，求到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程.

分析：

①建系

②设点

③列出等式

④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程

说明：

⑴为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的方向为极轴的正方向。

⑵表示离心率，表示焦点到准线距离。

2、例题讲解

例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

变式训练1

已知抛物线y 2

=4x的焦点为F。

①以F为极点, x轴正方向为极轴的正方向, 写出此抛物线的极坐标方程；

②过取F作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|＝16,运用抛物线的极坐标方程, 求直线l 的倾斜角。

例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。

变式训练2

设P 、Q 是双曲线 上的两点，若OP ⊥OQ 。

1、 求证：

为定值； 2、 求△AOB 面积的最值

课堂小结 圆锥曲线统一定义及其应用 课后作业 P15 习题1.3 5 板书设计 略 课后反思

2211||||OP OQ +

22

22

1(0)x y a b a b -=<<

柱坐标系与球坐标系简介

教学目标

借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.

重点：用柱坐标系、球坐标系表示空间中的点

难点：柱坐标、球坐标与平面直角坐标的相互转化 教学过程

一、柱坐标系

思考如图在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？

上图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区·

·····十二区。我们设圆形体育场第一排与体育场中心O 的距离为30 m 每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.6m ，现在需要确定第九区第三排正中 的位置A ，如何描述这个位置？

类比平面极坐标系，以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系，那么，A 与体育场中轴线OZ 的距离为303m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转1712

π

，就是OA 在地面上的射影；A 离地面的高度为1.8m ，因此我们可以用数组17303 1.812

π

（，

，）

表示A 的准确位置。

y

一般的，如图建立空间直角坐标系OXYZ ，设P 是空间任意一点它在OXY 平面上射影为Q ，用

2)ρθρθπ≥≤<（，）（0，0表示点Q 在OXY 山的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组

,Z ρθ∈（，）（Z R)表示，这样我们就建立了空间的点与有序数对,Z ρθ∈（，）（Z R)之间一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标叫做柱坐标系，有序数组

,Z ρθ∈（，）（Z R)叫做点P 的柱坐标，记作2,)Z R ρθρθπ≥≤<∈（，）（0，0，柱

坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的。

空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与柱坐标,Z ρθ（，）

之间的变换公式为cos sin x y z z ρθ

ρθ=??

=??=?

思考：

1、 给定一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，建立柱坐标系利用柱坐标描述圆柱侧面以及底

面山的位置。

2、 举例说明柱坐标系在日常生活中的应用。 二、球坐标系

思考：在航空航天领域人们怎样确定航天器的准确位置呢？

如上图，为了确定航天器在某时刻的位置需要在地球上建立若干个固定和流动的地面遥感观测站监测航天器的运行数据，并将这些数据汇总到监测中心，由监测中心根据数据计算出某时刻航天器到地球表面的距离r,以及此时航天器所在位置的经度?和纬度θ，从而可以用有序数组(,,)r ?θ表示此时航天器的具体位置。

那么如何建立坐标系才能方便的得出,,r ?θ的值呢？并由有序数组(,,)r ?θ找到航天器的具体位置呢？

在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点，且与零子午线相交的射线OX 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上取以O 为端点且经过北极的射线OZ （垂直赤道平面）为令一极轴，这样就与前面建立的平面极坐标系一起建立了空间坐标系。在这个坐标系中，

,,r ?θ的值都有明确意义，从而便于我们得出,,r ?θ的值，并由有序数组(,,)r ?θ找到航天

器的具体位置。

零子午线是指经过英国格林威治天文台的经线。

一般的如图建立空间直角坐标系OXYZ ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP|＝ｒ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为?，设P 在OXY 平面上的射影为Q ，OX 轴按逆时针方向旋转到OQ 时，所撰过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ?θ表示，这样空间的点与有序数组(,,)r ?θ之间建立了一种对应关系，我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或者叫做空间坐标系），有序数组(,,)r ?θ叫做点P 的球坐标，记作(,,)r ?θ其中

0,0,02r ?πθπ≥≤≤≤<。

空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与球坐标(,,)r ?θ之间的变换关系为sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ

?θ?=??

=??=?

。

球坐标系在地理学，天文学中有着广泛的应用，在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P (,,)r ?θ的方位角，90?-称为高低角。

思考：在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？

至此我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等知识。可以看到，坐标系时联系形与数的桥梁，利用坐标系可实现几何问题与代数问题互相转化，不同的坐标系由不同的特点，在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、直观、简洁的研究问题。 思考：

1、 请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位置。

2、 举例说明球坐标系在日常生活中的应用。 课堂小结：

什么是柱坐标系，怎样用柱坐标表示空间中的一点。 什么是球坐标系，怎样用求坐标表示空间中的一点。 作业

板书设计 略 课后反思