离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)

离散数学辅助教材

概念分析结构思想与推理证明

第一部分

集合论

刘国荣

交大电信学院计算机系

离散数学习题解答

习题一（第一章集合）

1. 列出下述集合的全部元素：

1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}

2）B={x|x∈N∧4+x=3}

3）C={x|x是十进制的数字}

[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}

2）B=?

3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

2. 用谓词法表示下列集合：

1）{奇整数集合}

2）{小于7的非负整数集合}

3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}

[解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}；

2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；

3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：

1）???

2）?∈?

3）??{?}

4）?∈{?}

5）{a，b}?{a，b，c，{a，b，c}}

6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})

7）{a，b}?{a，b，{{a，b，}}}

8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}

[解]1）真。因为空集是任意集合的子集；

2）假。因为空集不含任何元素；

3）真。因为空集是任意集合的子集；

4）真。因为?是集合{?}的元素；

5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；

6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；

7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；

8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：

1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。

3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：

1）如果A∈B∧B?C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B?C，则A?C。

3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A?B∧B∈C，则A?C。

[解] 1）真。因为B?C??x（x∈B?x∈C），因此A∈B?A∈C。

2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B?C，但A?C。

3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A?B∧B∈C，但A?C。

4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A?B∧B∈C，但A?C。6．求下列集合的幂集：

1）{a，b，c}

2）{a，{b，c}}

3）{?}

4）{?，{?}}

5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}

[解] 1）{?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}

2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}

3）{?，{?}}

4）{?，{?}，{{?}}，{?，{?}}}

5）{?，{{a，b}}}

7．给定自然数集合N的下列子集：

A={1，2，7，8}

B={ x|x2＜50}

C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}

D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}

列出下面集合的元素：

1）A∪B∪C∪D

2）A∩B∩C∩D

3）B\（A∪C）

4）（A′∩B）∪D

[解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此

1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，

30，32，64}

2）A∩B∩C∩D=?

3）B\（A∪C）={4，5}

4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}

8．设A、B、C是集合，证明：

1）（A\B）=A\(B\C)

2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）

3）（A\B）\C=(A\C)\B

[证明] 1）方法一：（A\B）\C

=（A∩B′）∩C′（差集的定义）

=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）

=A∩（B∪C）′（deMorgan律）

=A\（B∪C）（差集的定义）

方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则x?C，同时，x∈A\B，x∈A，x?B，所以，x∈A，x?B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\C?A\（B∪C）。

反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且x?B∪C，也就是说x?A，x?B，x?C。所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）?（A\B）\C。

因此A\（B\C）。

2）方法一：（A\B）\C

=A\（B∪C）（根据1））

=A\（C∪B）（并运算交换律）

=A\（（C∪B）∩Ⅹ）（0—1律）

=A\（（C∪B）∩（C∪C′））（0—1律）

=A\（C∪（B∩C′）（分配律）

=（A\C）\（B∩C′）（根据1）

=（A\C）\（B∩C）（差集的定义）方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x?B，x?C，x∈A\C。又由x?B，x?B\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。所以（A\B）\C?（A\C）\（B\C）。

反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，x?B\C。由x∈A\C，可知x∈A，x?C。又因为x?B\C及x?C，可知x?B。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C?（A\B）\C。

由此可得（A\B）\（B\C）?（A\B）\C。

3）方法一：（A\C）\C

=A\（B∪C）(根据1))

=A\（C∪B）（并运算交换律）

=（A\C）\B （根据1））方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x?B，x?C。由为x∈A，x?C，所以，x∈A\C。又由x?B，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C?（A\C）\B。

同理可证得（A\C）\B?（A\B）\C。

9. 设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：

A?B?A′∪B=X?A∩B′=?

[解](采用循环证法)

(1)先证A?B?A′∪B=X；

方法一：A′∪B=A′∪(A∪B) （因为条件A?B及定理4）=(A′∪A)∪B （∪的结合律）

=(A∪A′)∪B （∪的交换律）

=X∪B （互补律）

=X （零壹律）

方法二：A?B?A∪B=B （定理4）?B=A∪B （等号=的对称性）

?A′∪B=A′∪(A∪B) （两边同时左并上A′）

?A′∪B==(A′∪A)∪B （∪的结合律）

?A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律）

?A′∪B=X∪B （互补律）

?A′∪B=Ｘ（零壹律）

方法三：因为A′?X且B?X，所以根据定理2的3'）就有A′∪B?Ｘ；

另一方面，由于B?A′∪B 及根据换质位律可得B′?A′?A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3'），可得X=B∪B′?A′∪B，即X?A′∪B；

所以，A′∪B=Ｘ。

(2)次证A′∪B=X?A∩B′=?；

A′∪B=X?(A′∪B)′=X′（两边同时取补运算′）

?(A′)′∩B′=X′（de Morgan律）

?A∩B′=X′（反身律）

?A∩B′=X′（零壹律）

(3)再证A∩B′=??A?B；

方法一：A=A∩X (零壹律) =A∩(B∪B′) (互补律)

=(A∩B)∪(A∩B′) (分配律)

=(A∩B)∪?(条件A∩B′=?)

=A∩B (零壹律)

?B （定理2的3)）

方法二：A∩B′=??B=B∪?(零壹律)

=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=?）

=(B∪A)∩(B∪B′) (分配律)

=(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律)

=(A∪B)∩X (互补律)

=A∪B (零壹律)

?A?B （定理4的2)）

10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？

1）A∪B=A∪C?B=C

2）A∩B=A∩C?B=C

[解] 1）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。显然有

A∪B=A∪C，但B≠C。

2）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。显然有

A ∩B=A ∩C ，但

B ≠

C 。

11．设A ，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：

1） A\B=B 2） A\B=B\A 3） A ∩B=A ∪B 4） A ⊕B=A

[解] 1）A\B=A ∩B ′，由假设可知A\B=B ，即A ∩B ′=B 。由此可知B=A ∩B ′?B ′，

故此B=B ∩B ′=?。

由假设可知A=A\?=A\B=B=?。所以当A\B=B 时有A=B=??。 反之，当A=B=?时，显然A\B=B 。 因此A\B=B 的充分必要条件是A=B=?。

2）设A\B ≠∈?，则有元素a ∈A\B ，那么，a ∈A ，而由假设A\B=B\A 。所以a ∈B\A ，从而a ?A ，矛盾。所以A\B=，故A ?B 。另一方面由B\A=A\B=?。可得B ?A 。因此当A\B=B\A 时，有A=B 。 反之，当A=B 时，显然A\B=B\A=? 因此，A\B=B\A 的充要条件是A=B 。

3）由于A ∪B=A ∩B ，从而A ?A ∪B=A ∩B ?B ，以及B ?A ∪B=A ∩B ?A 故此A ∪B=A ∩B ，有A=B 。

5） 根据定理6的1）有A ⊕?=A ，由已知条件A ⊕B=A ，可得A ⊕B=A ⊕?。 从而由对称差的消去律可得B=?。 反之，若B=?，则A ⊕B=A ⊕?=A 。 所以A ⊕B=A 的充分必要条件为B=?。 12. 对下列集合，画出其文图：

1） A ′∩B ′ 2） A\（B ∪C ）′ 3） A ∩（B ′∪C ） [解]

A

B

A ′∩

B ′

A \ (

B ∪

C ) ′ B

C

A ∩ (

B ′∪

C )

A C

B

A X

X

X