对鲁棒控制的认识
对鲁棒控制的认识 赵呈涛
专业:
学号: 092030071
姓名:
鲁棒控制（ RobustControl ）方面的研究始于 20 世纪 50 年代。在过去的 20 年
中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的 品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固
定控制器称为鲁棒控制器。
定性，具有代表性的是 Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故
障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了
以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。 控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法， 际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制 器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。
鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息 和它的变
化范围 , 一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒 控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析 及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系 统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满 足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有：
1) Kharitonov 区间理论；
2） H 控制理论；
3）结构奇异值理论 理论。
面就这三种理论做简单的介绍。
1 Kharitonov 区间理论 1.1 参数不确定性系统的研究概况
对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black 采用大回路增益的反馈控制
技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性， 由于采用大回路增益 , 所以设计的系 统常常不稳定；1932年,Nyquist 给出了判断系统稳定性的频域判据,在控制系统设计时, 用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode 首次提出灵敏度函数的概念, 对系统的参数不确定性进行定量的描述。 在此基础上 ,Horowitz 在1962年提出一种参数 不灵敏系统的频域设计方法， 此后, 基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参 数不确定性的主要工具。不过 , 这种方法是基于无穷小分析的 , 在实际系统的设计中并 不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外 灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值 , 这在实际中往往也难以做到。于是 , 人们开 始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性 , 出现了鲁棒辨识方法。 此法给出的辨识结果 不是一个确定值 , 而是参数空间中的一个域 （如超矩形、凸多面体、椭球等 ）。相应地 ,
鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（
SISO ）的在微小摄动下的不确
现代鲁棒 其设计目标是找到在实
不确定系统的参数空间设计方法也得到广泛而深入的研究。1984年,Barmish将前苏联学者Kharitonov的区间多项式鲁棒稳定性的著名结果一一四多项式定理。引入控制界, 掀起了在参数空间中研究系统鲁棒性的热潮。
1.2 关于区间多项式的几个重要定理
参数摄动通常表现为独立摄动、线性相关摄动和多线性相关摄动 3种模式。判断在
相应的参数摄动模式下系统鲁棒稳定性的主要定理分别是 : 四多项式定理、棱边定理和映射定理。
2结构奇异值理论（理论）
2. 1 结构奇异值理论的产生和L定义
当系统中的不确定性可以用一个范数有界的摄动块来刻画时 , 系统对确定性的最大容限（鲁棒性）可以用小增益定理来描述。若只考虑定的传递函数和稳定摄动时 ,小增益定理用矩阵奇异值给出的系统鲁棒性估计是无保守性的。但在许多实际问题中 , 仅用一个范数有界的摄动块来刻画系统的未建模动态是不够精细的。因为我们常常可以获得未建模动态中的部分内部结构信息 ,若此时仍用小增益定理来估计系统的鲁棒性 ,所得结论的保守性可能会很大。于是Doyle于1982年首次提出了结构奇异值
SSV(StructuredSingularValue) 的概念,再经 Doyle 自己及 Packard 等的进一步研
究及整理便上升为研究动态不确定性鲁棒控制的结构奇异值理论（亦称L理论）。这一理论的基本思想是 :将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为块对角摄动结构 ,然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件。这一理论同时兼顾了系统的稳定鲁棒性和性能鲁棒性,是鲁棒控制理论中的一个重要分支。
2. 2 几个重要定理及L综合
小L定理、主环定理和L综合问题。L综合的任务就是寻找正则控制器 K,使得式得到满足。著名的L综合算法是Doyle在1985年提出的K- D迭代算法,它将L综合问题转化为标准的 H 优化问题及标准的凸优化问题。
2. 3 混合L问题
求取相应系统的结构奇异值就是所谓的混合L问题。对于混合L,似乎可以将其中的实参数摄动当作复摄动来处理，但具体数值计算表明：随着$中实参数数目的增多，复L 与混合L之间的比值可以任意大。因此，必须采取新的方法来求解混合L问题。Doyle于 1985年首先用L方法考虑了实参数不确定性问题，找到了计算混合 L上界的有效方法;
田玉平、冯纯伯将popov判据进行推广，来判断系统的鲁棒绝对稳定性，并利用 popov 乘子的思想和回路变换的方法来研究混合 L的上界问题。另外,混合L的上界问题可以转化成LMI的求解问题。
2. 4 回路成形法 (LoopShaping)
回路成形法也是一种处理动态不确定性的有效方法。其基本思想是：通过选择权函数来改善开环奇异值频率特性 , 以实现系统的闭环性能 , 并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定
性之间进行折衷。在因此，回路成形控制器的设计就是要寻找一个正则控制器K,使L
满足低频高增益,高频低增益。McFarlane等在1992年给出了具体的设计步骤。
2. 5 尚待解决的两个问题
(1) 对于多项式族的鲁棒稳定性问题 , 当参数摄动超出凸多面体摄动的范围时 , 目前尚无十分有效的手段来检验多项式族的鲁棒稳定性。在实际问题中 ,参数摄动常以多线性和多项式映射的形式出现。虽然通过映射定理可以将参数空间中的满足一定条件的超矩形映射为复平面上的凸多边形 ,利用剔零算法给出多项式族鲁棒稳定的充要条件但我们尚不清楚满足条件的超矩形是否包括了所有此类多线性映射。
⑵对于L问题,min K
||F1(GK) II L算法的完善及坏条件数系统的L分析方法都是尚需研究的问题。目前有效的综合方法是K- D迭代法。该算法复杂，收敛性也难以保证。因此，有必要寻找更有效的L综合方法。参H鲁棒控制理论是在H空间(即Hardy空间)通过某些反映性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论, H 空间是在开右半
平面解析且有界的矩阵函数空间。
3H 控制的发展概况
控制界将H鲁棒控制理论的发展过程分为两大阶段,分别以Zame和Doyle等发表的两
篇著名论文为标志。前一阶段的理论被称为经典 H 鲁棒控制理论 , 后一阶段的理论被称
为状态空间 H 鲁棒控制理论。本人将 H 控制理论的发展大致分为 3个时期 :酝酿诞生
期、发展完善期和推广应用期。
3. 1 酝酿诞生期（1981年?1984年）
20世纪60年代发展起来的LQG线性二次高斯型）反馈设计（H2控制）方法在许多实
际控制系统的设计中没能获得较好的应用 , 因它忽略了对象的不确定性并对系统所存在的
干扰信号作了苛刻要求。针对LQG寸干扰信号所作的不合理限制,Zames于 1981年在文中
提出了著名的 H 鲁棒控制思想：对于一个属于有限能量的信号集的干扰信号 ,设计一个
控制器 , 使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。文的发表标志着
H 鲁棒控制理论的诞生。在这一时期 , H 控制理论主要使用逼近方法和插值方法。
前者使用Nevaniinna-Pick插值理论及矩阵形式的Sarason理论，后者借助于AAK1论。Doyle等对当时的控制进行了总结,形成了“ 1984年方法”。其基本思路是：通过稳定化
控制器的Youla参数，将在控制器集合中寻求使传递函数矩阵的H范数最小化问题变换
成模型匹配和广义距离问题 , 然后再将其变换为 Nehari 问题来求解。求解过程涉及到
Youla参数化、内外分解、谱分解及最佳 Han kel逼近等运算。计算量相当大，且每步都
要增加状态。为保持系统兼有鲁棒稳定性和良好性能 , H 控制优化设计问题由灵敏度
极小化问题发展为混合灵敏度优化问题；采用Kwakernaak多项式方法可将该问题转化为
多项式方程或矩阵方程的求解问题。
3．2 发展完善期（1985年?1988年）
在这一时期 , H 控制理论取得了突破性进展。Francis和Doyle对当时的卜3控制的发展状况作了详尽的总结 , 并着重介绍了逼近方法。Ball 和 Cohens ball 和 Helton 的几何理论进行简化 , 把 H 控制的求解问题化为谱和J- 谱的分解问题 , 从而获得 3个Raccati方程。此方法对后来的J-谱分解法、（J , J ）无损分解法的形成和完善起了重
要作用,并沟通了它与插值方法，多项式方法之间的联系。Kimura采用方向性插值解决了2块问题,提出了“共轭化” (conjugation)概念,创立了(J , J )无损分解方法。
Limebeer等对2块问题的控制器阶次的上界进行了研究,提出可得到状态数不超过广义对象阶次的控制器。为了分析含有不确定性系统的鲁棒稳定性问题 ,Khargonekar 等创立了 H 控制的代数Riccati方程解法(ARE),研究了 H状态反馈控制问题,建立了 H 控制和二次镇定、线性二次微分对策之间的联系 , 这对后来的微分对策方法的产生和发展起到了促进作用。在这一时期,最具有突破性的成果是Doyle等人在著名的“ DGK论文”中提出的“ 2-Riccati 方程”解法 , 它标志着 H 控制理论的成熟。这一解法表明 : 对于标准的 H 控制问题求解 ,只需求解两个非耦合的代数 Riccati 方程便可获得阶次不超过广义对象的McMillan 阶次的 H 控制器。他们进一步给出更简单的 H 控制器的
求解方法 , 指出 H 状态反馈控制问题可通过求解一个代数 Ric2cati 方程来获得。到此,
H 控制问题在概念和算法上均被大大简化, 再加上含有上述解法的软件包 , 如Robust_control_box,Matrix 和Xmath等的出现,使得H控制理论成为真正实用的工程设计理论。
3. 3 推广应用期(1989年?今)
在这一时期,H控制理论向着实用化的方向发展。Green等发展了 Ball和Cohen 的工作，将H控制问题转化为2个J-谱分解问题,并给出了系统的解法。Glover等采
用扩展(Dilation)和全通嵌入方法讨论了广义距离问题；不过,推导过程比较复杂。Kwakernaak的多项式方法也得到了发展,将H控制转化为对一有理多项式函数分子和分母的
2个J-谱分解。1988年之后,开始出现H控制的纯时域解法。主要有微分对策方法和极大值原理方法。这两种方法不仅可以解决线性时不变系统的 H 控制问题, 还可以用来处理时变系统、分布参数系统、非线性系统及奇异摄动系统等的 H 控制问题。多目标 H 优化问题也受到人们的关注。从 Khargonekar 和 Rotea,Bern2stein 和
Haddad及Glover和Mustafa(极小熵H控制)在这方面的工作便可窥见一斑。在这一
H 控制理论（缺点）
棒性保守；
问题；
3）对控制器带有摄动的鲁棒性问题。
时期前后,还出现了其它一些 H 控制算法,如 Whittle 的临界敏感控制 ,Green 的 J 无 损分解,Dym 等的最大熵方法及Georgiou 的Gap 度量等。时也出现了一些关于H 控制 理论在应用方面的报导。 众多的研究方法及在一些工程领域方面的应用都意味着 H 控 制理论的进一步完善和成熟。
H 控制理论（优点）
提法基于输入输出、频域描述、工程上易于接受；
2）
摄动是非结构的 （未建模动态摄动 ），用 H 范数刻划； 3） 4）
状态空间解 --Riccati 方程—
LMI ； 对控制器综合有效； 5） 理论与H2优化控制理论平行，完美。
1）摄动是非结构的 （ 未建模动态摄动
），用 H 范数刻划，考虑了最坏的情形，鲁 2）状态空间解 --Riccati 方程 --LMI 理论上的可解性问题，适时控制 -- 计算速度