14.1平面及其基本性质doc

14.1平面及其基本性质

1、理解平面的概念，会画出平面和用字母表示平面。

教学目

标：

、能用集合符号表示点与直线，点与平面，直线与平面，平面与平面的关系。

2

3、掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用，会证明简单的共线和共面问

题。

教学重

平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论。

点：

教学难

三个推论的证明和共面问题的证明。

点：

教学过程：

一、预习反馈：

1、三个问题：

(1)你能画出一个四边形，使它的对角线所在的直线不相交吗?

空间四边形

(2)过任意一点，你能引出三条两两垂直的直线吗?

(3)你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗?

2、引出立体几何与平面几何的不同和联系。

(1) 从集合的观点看，立体图形和平面图形一样是点的集合，构成平面图形的点是在同一平面上的，而构成

立体图形的点不全在一个平面上；

(2) 立体几何研究的对象是空间图形，是平面几何的扩充。

(3) 立体几何和平面几何有着紧密的联系，平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形

依然成立，但在空间不一定成立。

例如：过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直(X)

过直线外一点只能作一条直线与它平行( “

垂直于同一条直线的两条直线必平行(X)

二、新课：

(一)、平面的概念：

1、生活中的桌面、墙面、湖面都是平面的形象，在数学中我们把平面抽象为:

无厚度、无边界在空间中可以无限延展的“平”的面，

注：直线是往两端无限延伸，而平面是可以往四面八方无限延伸的。

2、表示方法:

（1）字母表示：平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示，也可以用平面上的三个点（或三个以

上）的字母表示。比如：平面

M 平面：?，平面ABCD 等。

（2）图像： 画平面可以画它的局部，画出一个有一个角为

（3）点和直线、平面的位置关系符号表示:

点A 在直线| 上: A l ； 点B 不在直线|上：B - l 。 点A 在平面:-上: A 「工；点B 不在平面:-上: B ° （4）直线和平面位置关系:

1、 直线l 在平面o 上（或平面ot 经过直线| ）:直线I 所有的点都在平面 ?上，

记作：|「X

2、 直线I 与平面:-相交于点A :直线I 与平面〉有一个公共点A ,记作：I 'I = A

3、 直线|与平面:平行：直线|与平面〉没有公共点，记作：I 〔 - ?一 （or I l ；） 注：2, 3也叫做

直线|在平面「夕卜。 （5）完成课后练习14.1/1

（二）、公理1 :

1、公理1:如果直线I 上有两点在一个平面:-内，那么直线I 在平面〉上

集合语言表述： 若A ? I, B ? I,且A 三壮,B 三：￡ 「If 作用：1）判断直线是否在平面内的理论依据； （证明一条直线在一个平面内，只需证明直线上有两

点

在平面内）

2）也可鉴别一个面是否是平面（如木工检查工作物的表面是否平整，就用一把直尺紧靠表面

任意滑动，看直尺的边是否和表面处处密合）

2、书例1：已知若BW ：；,M 是AB 的中点，求证： M 三：；

（学生自己看书）

45的平行四边形。

垂直

3、完成课后练习14.1/2

4、作业：把14.1节内所有的图形画一遍。

补充：用符号表示下列语句，并画出示意图：

（1）直线a与平面〉相交于点A；

（2）直线a在平面〉夕卜；

（3）直线a在平面〉内，直线a不过点A；

（4）直线a与直线b相交于平面:-内一点P。

（三）、公理2:

1、平面与平面的位置关系：

（1）、对于空间不同的两个平面a, 0，如果它们有公共点，则称平面a与平面B相交, 记作：「■- 。

相交平面的画法：

（2）、如果两个平面a, 0没有公共点，则称平面a与平面B平行，/ ---------------- 7记作：：?'-- （orx 『■）。—------------ z

2、公理2:如果不同的两个平面:-,有一个公共点A,那么「，1的交集是过点A的直线I。

l

集合语言表述：若 A :

作用：1）说明两个不同平面相交于一条直线，有无数个公共点。

2 ）如果两个不同的平面有一个公共点，则必定有经过该点的一条交线。找交线只要找两个公共

点。（注意：不能写成点A二】n ［）

（四）、公理3:

1、公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面（有且只有一个）

集合语言表述：若C '直线AB二存在唯一的平面〉，使得x,B三? ：?。

作用：1）如何确定一个平面。

2 ）判断两个平面是否重合。

注：三点不共线问题：过空间一点，两点或者一直线上的三个点（或无数个点）能确定几个平面?

2、三条推论：

推论1 :一条直线和直线外一点确定一个平面。（证明看书完成）

推论2 :两条相交直线确定一个平面。

推论3 :两条平行直线确定一个平面。

（2，3的证明由学生课后作业完成）

3、1、共面问题

书例2 :已知直线|仆|2和13两两相交，且三线不共点，求证：直线"J和13在同一个平面上。

证明：因为直线l1, l2和l3两两相交，所以设1汨12二A，l^]l3 = B，l^ll3=C，

由推论2知，相交的直线^和l2可确定平面:，

即l l =〉，l2 = :?，又因为l2,C ? l3,

所以B,C ?〉，且B,C ? l3，

由公理1知：l^ :-，即直线l1, l2和l3在同一个平面:-上

问题：如果没有规定三线不共点，那么三条直线两两相交能确定几个平面?

练习：如果四条直线两两相交，且无三线共点呢?

4、完成课后练习14.2

思考：已知a// b// c,d与a,b,c分别交于A, B, C. 求证：a,b,c,d 共面。

5、作业：习题册14.1/A、B组

补充题：判断下列命题的真假，并把假命题改成真命题。

1、两平面:■,-有一个公共点A,就说平面:-,-相交于过A的任意一条直线。

2、平面ABC与平面DBC相交于线段BC

3、两平面■,:有一个公共点A,就说平面:,:相交于点A,记作H := A。

4、若A, B, C ?〉，又A, B, C -，则平面:,1重合。

5、如果两个平面有A,B两个公共点，那么直线AB上的所有点都是这两个平面的公共点。

6、四边形是平面图形。

7、若四点不共面，则它们中任何三点都不在一直线上。

(五)、证明问题:

2、三点共线

提示：要证明各线共点，只要证明两线相交一点，而这个点在交线上，即第三条直线.

结论：三个平面两两相交于三条直线，若三条直线不平行，则它们相交于一点

共点”共线”共面”问题

理论依据：

(1) 公理i ：判断或证明直线是否在平面内

(2) 公理2:确定两个平面的交线，判定两平面相交( 点共线” 线共点”) (3) 公理3,推论1、2、3:

确定平面；证点、线共面的依据；也是作辅助面的依据

(六)、做交线，截面

例1、已知：- - l 画出过A 、B C 三点的平面 与〉,:的交线

求证:O, B, C 三点共线.

Ai/^

B /

提示：要证明各点共线，只要证明它们是两个平面的公共点

D

C

A / /

A

B

3、三线共点

y

例1:在正方体 ABCD -A i B i C i D i 中,P,Q,R 分别在棱 AB,BB i ,CC i 上，且DP,QR 相交于0,

例4:空间四边形 ABCD 中 ,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点，已知EF 与HG 相交于Q 点, 求

证:EF,HG,AC 三线共点.

例2:如图，P,Q,R分别是空间四边形ABCD勺边AB,AD,BC上的点，且PQ与BD不平行，试画出平面PQR与平面BCD的交线.

例3、在长方体ABCD -A J BQQ J中，画出

1）平面A1C1D与平面BDD的交线

2）平面AC.B与平面A耳D的交线

例4:1 ）在正方体ABCD - ABC i D i中的棱A i B, B i B, D i C i A上分别有三点M,P,N,过三点作截面与各个面的交线.

2）正方体中，试画出过其中三条棱的中点

A

\D

C ,确定其

P,Q,R的平面截得正方体的截面形状.