概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

1.设随机变量μξ=)(E ，方差2

σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9

1 .

2.设n

ξξξ,,, 2

1

是n 个相互独立同分布的随机变量，

),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==

n

i i n

1ξξ，写出所满足的

切彼雪夫不等式 2

2

8

εεξεμξn D P =

≤≥-)(}|{| ，并估计

≥<-}|{|4μξP n

21

1-

. 3. 设随机变量1

2

9,,

,X X

X 相互独立且同分布, 而且有1i

EX

=, 1(1,2,

,9)i DX i ==, 令9

1i

i X X ==∑, 则对任意给

定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P

2

91ε- .

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2

()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有

2

2

{||}P X σμεε

-≥≤, 或者2

2{||}1.P X σμεε

-<≥-

由于随机变量1

2

9

,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i

i

EX DX i === 所以

99

9

111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑

99

9

2

111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑

4. 设随机变量X 满足：2

(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1

16

≤

. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2

(),()E X D X μσ==, 则对任意

的0ε>, 有2

2{||}.P X σμεε

-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤

= 5、设随机变量2

σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 4

3

.

6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松

分布，则

≤-∑=∞

→}{lim x n n P n

i i

n λ

λ

ξ

1

∞

--

x

t dt e

2

2 .

7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的

概率，则≈≤<}{b a P n η

?

-----)1()

1(2

221p np np b p np np a t dt e π

.

8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任

一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞

-<= 0 .

9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指

{}

=<->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}

=≥->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 0 。

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X 为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落 在75至85之间的概率不小于 .

解：()80,()16E X D X ==, 于是

169

(7585)(|80|5)1.2525

P X P X <<=-<≥-

=

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数，则250)(,500)(==X D X E

}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P

9.02500250

150)(1}50|)({|2

=-=-

≥≤-=X D X E X P

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解：

设X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

~(50,0.90).X B

由此 P(通信系统能正常工作)(4550)P X =≤≤

P =≤≤

(2.36)(0)0.99090.50.4909.ΦΦ≈-=-=

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6, 5.b np npq ξ==7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

{10}11(1.67)0.0475.

P ξΦΦ≥=-≈-=

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.

解：设去阅览室学习的人数为ξ, 要准备k 个座位

.

~(,),4900,0.1,49000.1b n p n p np ξ===?=

21.==

4900490{0}2121k P k ξΦΦΦΦ????--????

≤≤≈-=- ? ?????

490490(23.23)0.99.

2121k k ΦΦΦ--????=--≈= ? ?????

查(0,1)N 分布表可得490

2.3263,21 2.3263490538.8523

21k k -==?+=

539.≈

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.

5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设 η表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。

ξi ，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，…，6

ξ1， ξ2， … ，ξ6 相 互 独 立 ， 显 然 ηξ=

=∑i i 1

6

()()

235

2112

35449621612765432161

2

22=

==

-+++==+++++=

ηηξξD E D E i i {}{}12339≤-=≤≤ηηηE p p {}131>--=ηηE p

()9.0338

35

11691≈-=-

≥ηD 6. 设随机变量n ξξξ,,, 21 相互独立，且均服从指数分布

()0000

>??

?≤>=-λλλx x e x f x )( 为 使 10095101111

≥??????<-∑=λλξn k k n P ， 问： n 的最小值应如何 ？

解: E D k k ξλξλ

=

=11

2, ()21

211111,11λξξλξn D n n D n E n

k k n k k n k k ==??? ??=??? ??∑∑∑===

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

???? ?

?<-∑=λλξ101111n k k n P ,100951011

1101112

211≥??

? ??-≥??

????????

100

-

≥

n n , 从 而 n ≥ 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品

率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解：∴ 设n 为至少应取的产品数，X 是其中的次品数，则)1.0,(~n b X ，

9.0}10{≥>X P ，而9.0}9

.01.01

.0109.01.01.0{

≥???->???-n n n n X P

所以1.0}09.01.0109.01.01.0{

≤-≤???-n

n n n X P

由中心极限定理知，当n 充分大时， 有1.0)3.01.010(}09.01.0109.01.01.0{

=-Φ≈-≤??-n n

n n n n X P ，

∴ 由1.0)3.01.010(

=-Φn

n

查表得

28.13.01.010-=-n

n

147=∴n

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,100(~b X ，

990

1009.01.01009.010099085{}85100{}85{-≤???-≤-=≥≥=≥X P X P X P

}3

10

39035{≤-≤-=X P

由中心极限定理可知

))3

5

(1()310()35()310(

}85{Φ--Φ=-Φ-Φ=≥X P 95.0)35

(1)35()310(=Φ=-Φ+Φ=

(2)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,(~n b X

n

n

n n X n n P n X n P n X P 3.02.01.09.09.03.01.0{

)8.0()8.0(≤??-≤-=≤≤=≥

}3.09.03{}323.09.03{n

n

X n P n n n X n P -≤-=≤-≤-

= 95.0)3()3(1=Φ=-

Φ-=n

n

3

5

3=∴n 25=∴n

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm ，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：Φ( 0.6 ) = 0.7257；Φ( 0.63 ) = 0.7357。

解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 X i ( i = 1, 2, …, 10 ) E ( X i ) = 2 = μ, D( X i ) = σ2

= ( 0.05 )

2 ,

依题意 ，得合格品的概率为

??????≤-≤-∑=102010101..i i X P ?

?????≤?-?≤-=∑=630210050183163010

1.)(...i i X P

?

?

-

--

==63

.00

263

.063

.0222

21221dt

e dt

e t t π

π

4714.017357.02121263

.022=-?=-?=?

∞

--

dt

e t π

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是

相 互独立的随机变量，并且都在区间[- 0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772。

解：设 ξ1 ， ξ2 ， ， ξn 表示取整误差, 因它们在 [-

0.5 ，0.5 ] 上服从均匀分布 ， 故 有 E D i n i i ξξ===0112

12,

,,,,

根 据 同 分 布 的 中 心 要 极 限 定 理 ， 得

??

?

????

????????-

1

12001i i i i P P ξξ

???

?

???

???????

-<-=∑=11211200011200

1i i P ξ=Φ( 1 )-

Φ(- 1 ) = 2 Φ( 1 )- 1 = 2 ? 0.8413- 1 = 0.6826

11．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概 率 。已知 ：Φ(1) = 0.8413；Φ(2) = 0.9772 ； 当 x > 4 , Φ(x) =1。

解：设 ξ 为 掷 100次中出现正面的次数 ，它服从二项分布B ( 100， 1

2

)

这 里 np npq ====100

1250501

2

25, 由 隶 莫 佛 -- 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得

{}???

???-≤-<-=≤<2550100255025

506010060ξξP P

()()210105502P Φ-Φ=?

??

???≤-ξ<=

查 N ( 0， 1 ) 分 布 函 数 表 ， 得 P{ 60 < ξ ≤ 100 } = 1- 0.977 = 0.023 .

12 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯. 如果从中挑4杯, 能将甲种酒全部 挑出来, 算是成功一次.

(1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少？

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验10次, 成功3次. 试推断他是猜对 的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).

解：(1)设A ={试验成功一次}, 则有444

8C 1

().C 70

P A == (2)设X ：试验10次成功的次数, 则1~10,.70X B ?

? ???

由于3

7

34

10

169(3)C 3.163310.7070P X -????===? ? ?

????

因此随机事件{}3=X 是一个小概率事件, 根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件{}3=X 是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.