2.1.2不等式的基本性质

2．1.2不等式的基本性质

与相等关系一样，不等关系也是现实世界普遍存在的一类关系．在现实生活中，人们经常遇到长与短、多与少、高与矮、轻与重、远与近、强与弱、亮与暗、快与慢等各种现象，实际上，这些都属于数学中要研究的客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，描述相等关系用等式，描述不等关系则用不等式．与相等关系一样，不等关系也是数学研究的重要内容．研究不等关系和不等式，都是我们认识世界的重要途径．

下面先看一个实际问题。

自来水管的横截面一般总制成圆形，而不是正方形，这在数学上怎样说明道理呢？实际上，当周长相等的时候，圆的面积比正方形的面积大，所以用同样的一块材料制成截面是圆形的水管，水流量大，也就是说，制成横截面是圆形的水管比较节省材料。我们知道，周长为C 的正方形的每边的长是4C ，它的面积为()24C ；周长为C 的圆的半径是2C π，圆的面积是

()

22C ππ ,要说明圆形截面水管的水流量大，就是要说明以下的不等式成立： ()22C ππ＞()2

4.C

从以上实际问题看到，在现实世界中，与不等式有关的问题是非常普遍的。

应该怎样去论证以上的不等关系呢？

为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质有必要的了解.

研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小关系。

设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B ．那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b （图x ）．

图x

关于实数a ，b 大小的比较，有以下的基本事实：

如果a －b 是正数，那么a ＞b ；如果a －b 等于零，那么a=b ；如果a －b 是负数，那么a ＜b ．反过来也对．

这个基本事实可以表示为：

a －

b ＞0 a ＞b;

a －

b = 0 ;

a －

b ＜0 ＜ .

以上基本事实是证明不等式的最基本的依据。

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小①．这是研究不等关系的一个出发点．

例1 比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小． 分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系．

解：因为

(x+3)(x+7)－(x+4)(x+6)

=(x 2

+10x+21)－(x 2+10x+24)

=－3＜0,

所以

(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6).

例2 已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证a 3+b 3＞a 2b+ab 2

分析：可以把不等式两边相减，通过适当的恒等变形，转化为一个能够明确确定正负的代数式．

证明：（a 3+b 3）－（a 2b+ab 2）=（a 3－a 2b ）－（ab 2－b 3）

=a 2(a －b)－b 2(a －b)

= (a 2－b 2)(a －b)

=(a+b)(a －b)2.

因为a ，b 都是正数，所以

a+b ＞0.

又因为a ≠b ，所以

(a －b)2＞0.

于是

(a+b)(a －b)2＞0，

即

（a 3+b 3）－（a 2b+ab 2）＞0.

所以

a 3+

b 3＞a 2b+ab 2.

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的．同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的①．例如，

不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等．

根据对于不等关系的规定，可以证明以下的不等式基本性质．

基本性质1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即

a＞b b＜a.

想一想，以上的基本性质又应该怎样证明呢？

基本性质2 如果a>b,b>c,那么a>c. 如果a

对基本性质2的第一种情况，可以证明如下：

由a>b,b>c得a－b>0,b－c>0,所以（a－b）+（b－c）>0，即a－c>0，所以a>c.

第二种情况，也可以完全类同加以证明。

把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A 与B和A1与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是以下的基本性质.

基本性质3如果a>b，那么a+c>b+c.

这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

由基本性质3可以得出，

a+b>c?a+b+(－b)>c+(－b)?a>c－b.

一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

基本性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc.如果a>b,c<0，那么ac

基本性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.如果a>b,c＜d,那么a－c>b－d.

基本性质5说明，两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.

对于基本性质5的第一个结论,可以证明如下：如果a＞b，c＞d，那么a－b＞0，c－d ＞0,两个正数的和是正数，所以（a－b）+（c－d）＞0，即（a+c）－（b+d）＞0，从而得到a+c＞b+d。

想一想，基本性质5的第二个结论应该是怎样证明？

基本性质6 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.

基本性质6说明，两边都是正数的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.

基本性质7 如果a>b>0，那么a n>b n (n∈Ｎ, n≥1).

基本性质7说明，当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.

通过语言叙述可以加深理解上述基本性质．例如，基本性质4可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号不变向；不等式两边同乘一个负数，不等号改变方向.你能用自己的语言叙述上述各条性质吗？

另外，请同学们完成对以上各个不等式的基本性质的证明。

上述关于不等式的基本事实是解决不等式问题的基本依据，不等式基本性质是研究不等式问题的基本工具，一定要正确理解，熟练掌握。

例3已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证

＞.

证明：因为c＞d＞0，所以

cd＞0，c－d＞0，＞0.

于是

－= ＞0，

因此

＞＞0.

由a＞0，根据不等式基本性质4，得

＞＞0.

由a＞b＞0，＞0，根据不等式基本性质4，得

＞＞0.

根据不等式基本性质2，得

＞.

在研究不等关系时，把不等关系和相等关系作比较是有意义的。任何两个实数或者相等，或者不等，相等关系和不等关系组成了一个完整的整体。确定了相等关系，也就否定了不等关系，反之也然。由相等关系，就可以得到一系列的不等关系。所以，可以通过研究相等关系，来达到研究不等关系的目的。从一个确定的相等关系式出发，就可以得到相应的不等关系式。

例如，考虑乘积

(a2+b2)(c2+d2) （a,b,c,d为实数），

它涉及到4个实数，并且形式上也与平方和有关。展开这个乘积，整理得

(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.

由于

a2c2 + b2d2+ a2d2+ b2c2=(ac+bd)2+(ad－bc)2,

即

（a2+b2）(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad－bc),

而(ad－bc)2≥0，因此

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. ①

①反映了4个实数的特定数量关系，不仅排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感，在许多领域有应用价值，这个不等式是柯西不等式(Cauchy inequality)的最简形式，即二维形式的柯西不等式。想一想，这个不等式的一般形式又会是怎样的呢？

练习

1.举出几个现实生活中与不等式有关的例子．

2.用不等式表示下面的不等关系：

（1）a 与b 的和是非负数；

（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4 m ”；

（3）如图，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿

地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．

3.比较下面两组数的大小：

（1）2+ 与4； （2） + 与 + .

4.比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）x 2+5x +6与2x 2+5x +9； （2）(x －3)2与(x －2)(x －4)；

（3）当x ＞1时，x 3与x 2－x +1； （4）x 2+y 2+1与2(x +y －1).

5．,,a b c R ∈，用不等号“＞”或“＜”填空：

（1）a b >，_____c d a c b d

（2）0a b >>，0_____c d ac bd <

（3

）0a b >>?；

（4） 22110_____a b a b

>>?

． 习题2.1

A 组

5．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

6. 已知x ＞0，求证 ＜1+ .

7．已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），糖水变甜了，试将这一事实表示为一个不等式．

8. 已知a ＞b ，证明： (1).2a b a b +>

>； （2）.22a b a b a b ++-=-.

9. 判断下列各命题的真假，并说明理由：

（1）如果a ＞b ，那么ac ＞bc ；

（2）如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2;

（3）如果a ＞b ，那么a n ＞b n (n ∈N +);

（4）如果a ＞b ，c ＜d ，那么a －c ＞b －d.

第1（3）题图

B 组

4.某种杂志原来以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，要求提价后销售的总收入不低于20万元，用不等式表示以上总收入的要求。

复习题

1．,,a b c R ∈，用不等号“＞”或“＜”填空：

（1）若a b >，且

11a b

>，则_____0ab ； （2）若0c a b >>>，则_____a b c a c b

--； （3）若0a b c >>>，则_____a a c b b c

++． 2. 如果a ＞b ，c ＞d ，是否一定能得出ac ＞bd ？并说明理由.

3. 求证： （1）如果a ＞b ，ab ＞0，那么 ＜ ；

（2）如果a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，那么ac ＜bd.

4. 在实数范围内的不等式0f ≥有一个等价的等式：||f f =，请类似地写出与以下不等式等价的一个等式：

（1）0;f ≤ （2） 0;f >

（3）0;f < （4）

0.f ≠

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部分习题解答

习题2.1

5. 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．

根据题意，应有如下的不等关系：

（1）截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；

（2）截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；

（3）截得两种钢管的数量都不能为负．

可用下面的不等式组来表示

B组

4．若杂志的定价为x元，则销售的总收入为x万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式

x≥20．