学八级数学每日一练

每日一练(1)

1.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．

2．把下列多项式因式分解

（1）x3﹣4xy2 （2）（a﹣1）（a+3）+4．

3．先化简，再求值：，其中x是满足不等式﹣（x﹣1）≥的非负整数解．

4．解方程：=+1．

5．某学校九年级举行乒乓球比赛，准备发放一些奖品进行奖励，奖品设为一等奖和二等奖．已知购买一个一等奖奖品比购买一个二等奖奖品多用20元．若用400元购买一等奖奖品的个数是用160元购买二等奖奖品个数的一半．

（1）求购买一个一等奖奖品和一个二等奖奖品各需多少元？

（2）经商谈，商店决定给予该学校购买一个一等奖奖品即赠送一个二等奖奖品的优惠，如果该学校需要二等奖奖品的个数是一等奖奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买两个奖项奖品的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个一等奖奖品？

6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．

7．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线

（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．

（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB=8，BC=10，求EF的长度．

（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．

每日一练(2)

1．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．2．分解因式：

①﹣a4+16 ②6xy2﹣9x2y﹣y3

3．先化简，再求值：，其中a=

4．解分式方程：﹣=1

5．某市对一段全长2000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原来计划提高效率25%，就可以提前5天完成修路任务．

（1）求修这段路计划用多少天？

（2）有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？

6．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．

7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

每日一练(3)

1．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．

2．先化简再求值：÷（﹣1），其中x=．

3．先化简，再求值：÷x，其中x=．

4．解分式方程：﹣=1．

5．为了保障市民安全用水，我市启动自来水管改造工程，该工程若甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．若甲、乙队先合做施工45天，则余下的工程甲队单独施工还需23天才能完成．这项工程的规定时间是多少天？

6．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C=45°，BD=4时，联结DF，求线段DF的长．

7．如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

（1）试说明：BF=DE；

（2）试说明：△ABE≌△CDF；

（3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）

每日一练(4)

1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

2．化简：（﹣x+1）．

3．已知|x﹣2+|+=0，求（）÷的值．

4．学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？

5．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．

（1）求证：DM=（AC﹣AB）；

（2）若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．

6．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB边的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．

（1）求证：EF=AB；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；

（3）若AB=2，求△AEG的周长．

八年级数学每日一练1-4

参考答案与试题解析

一．解答题（共28小题）

1．解不等式组：

【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，

解不等式﹣＜1，得：x＞﹣9，

则原不等式组的解集为﹣9＜x＜3．

2．解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．

【解答】解：，

由①得，x≥，

由②得x≥﹣1，

故此不等式组的解集为x≥，

在数轴上表示为：

．

3．把下列多项式因式分解

（1）x3﹣4xy2

（2）（a﹣1）（a+3）+4．

【解答】解：（1）x3﹣4xy2，

=x（x2﹣4y2），

=x（x+2y）（x﹣2y）；

（2）（a﹣1）（a+3）+4，

=a2+2a﹣3+4，

=a2+2a+1，

=（a+1）2．

4．先化简，再求值：，其中x是满足不等式﹣（x﹣1）≥的非负整数解．

【解答】解：∵﹣（x﹣1）≥，

∴x﹣1≤﹣1

∴x≤0，非负整数解为0

∴x=0

原式=÷（﹣）

=×

=

=

5．解方程：=+1．

【解答】解：（x+1）（x﹣2）=x﹣1+（x﹣1）（x﹣2）

x2﹣x﹣2=x﹣1+x2﹣3x+2

x=3

经检验：x=3是原方程的解，

所以原方程的解是x=3．

6．某学校九年级举行乒乓球比赛，准备发放一些奖品进行奖励，奖品设为一等奖和二等奖．已知购买一个一等奖奖品比购买一个二等奖奖品多用20元．若用400元购买一等奖奖品的个数是用160元购买二等奖奖品个数的一半．

（1）求购买一个一等奖奖品和一个二等奖奖品各需多少元？

（2）经商谈，商店决定给予该学校购买一个一等奖奖品即赠送一个二等奖奖品的优惠，如果该学校需要二等奖奖品的个数是一等奖奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买两个奖项奖品的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个一等奖奖品？

【解答】解：（1）设购买一个二等奖奖品需x元，则购买一个一等奖奖品需（x+20）元，

根据题意得：=?，

解得：x=5，

经检验，x=5是原分式方程的解，

∴x+20=25．

答：购买一个二等奖奖品需5元，购买一个一等奖奖品需25元．

（2）设该学校可购买a个一等奖奖品，则可购买（2a+8）个二等奖奖品，

根据题意得：15a+5（2a+8﹣a）≤670，

解得：a≤21．

答：该学校最多可购买21个一等奖奖品．

7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．

【解答】证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF．

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF．

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO．

8．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线

（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB=8，BC=10，求EF的长度．

（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．

【解答】解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，

∴DE=BC，DE∥BC，

∴∠DEB=∠EBC，

∵BE是∠B的角平分线，

∴∠DBE=∠EBC，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=DB=AB，

∴AB=BC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）由（1）得，DE=BC=5，DF=AB=4，

∴EF=DE﹣DF=1；

（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF=（BC﹣AB）；

当点F在线段DE的延长线上时，EF=（AB﹣BC）．

9．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．

【解答】解：，

由①解得x≤3

由②解得x＞﹣2

不等式组的解集在数轴上表示如图所示

所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3

不等式组的最小整数解为﹣1．

10．分解因式：

①﹣a4+16

②6xy2﹣9x2y﹣y3

【解答】解：①﹣a4+16

=（4﹣a2）（4+a2）

=（2+a）（2﹣a）（4+a2）；

②6xy2﹣9x2y﹣y3

=﹣y（y2﹣6xy+9x2）

=﹣y（y﹣3x）2．

11．先化简，再求值：，其中a=

【解答】解：原式=

=

=

=a2﹣3a

当a=时，原式=3﹣3

12．解分式方程：﹣=1

【解答】解：化为整式方程得：x2+2x+1+2=x2﹣1，

化简得：2x=﹣4，

解得：x=﹣2，

经检验当x=﹣2时，1﹣x2≠0，

所以x=﹣2是原方程的根．

13．某市对一段全长2000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原来计划提高效率25%，就可以提前5天完成修路任务．

（1）求修这段路计划用多少天？

（2）有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？

【解答】解：（1）设原计划每天修x米，由题意得

﹣=5

解得x=80，

经检验x=80是原方程的解，

则=25天

答：修这段路计划用25天．

（2）设甲工程队至少要修路a天，则乙工程队要修路20﹣a天，根据题意得

120a+80（20﹣a）≥2000

解得a≥10

所以a最小等于10．

答：甲工程队至少要修路10天．

14．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．

【解答】证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，

∴F是AD中点，

∵AE=EB，

∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，

∴EF=BD．

15．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

在△AEG和△AEC中，

∴△AGE≌△ACE（ASA）．

∴GE=EC．

∵BD=CD，

∴DE为△CGB的中位线，

∴DE∥AB．

∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形．

（2）解：BF=（AB﹣AC）．

理由如下：

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴BF=DE．

∵D、E分别是BC、GC的中点，

∴BF=DE=BG．

∵△AGE≌△ACE，

∴AG=AC，

∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．

16．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．【解答】解：解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，

解不等式＜1，得：x＜3，

∴原不等式解集为﹣1≤x＜3，

∴原不等式的非负整数解为0，1，2．

17．先化简再求值：÷（﹣1），其中x=．

【解答】解：原式=÷

=?

=﹣（x﹣1）

=1﹣x，

当x=时，原式=．

18．先化简，再求值：÷x，其中x=．

【解答】解：当x=时，

原式=+÷x

=+1

=

=﹣2

19．解分式方程：﹣=1．

【解答】解：化为整式方程得：3x﹣（4﹣x2）=x（x﹣1），

化简得：4x=4，

解得：x=1，

经检验x=1时，x（x﹣1）=0，原方程无意义，

所以x=1是原方程的增根，

所以原方程无解．

20．为了保障市民安全用水，我市启动自来水管改造工程，该工程若甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．若甲、乙队先合做施工45天，则余下的工程甲队单独施工还需23天才能完成．这项工程的规定时间是多少天？

【解答】解：设项工程的规定时间为x天，

根据题意得：+=1，

解得：x=83，

经检验，x=83是原方程的解，且符合题意．

答：这项工程的规定时间是83天．

21．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE

至点F，使得BE=BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C=45°，BD=4时，联结DF，求线段DF的长．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，

∴四边形BDEF为平行四边形；

（2）解：∵∠C=45°，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，

∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BE=BD=2，

作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：

则△BFM是等腰直角三角形，

∴FM=BM=BF=2，

∴DM=6，

在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF==2，

即D，F两点间的距离为2．

22．如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

（1）试说明：BF=DE；

（2）试说明：△ABE≌△CDF；

（3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ODE=∠OBF，

∵EF垂直平分BD，

∴OB=OD，

在△OBF和△ODE中，

，

∴△BOF≌△DOE（ASA），

∴BF=DE；

（2）∵四边新ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，

∵BF=DE，

∴AE=CF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

（3）解：∵EF垂直平分BD，

∴BF=DF，

∵△ABE≌△CDF，

∴DF=BE，AE=CF，

∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，△ABE的周长也是15，

①当P在AB上，Q在CD上，

∵AB∥CD，

∴∠BPO=∠DQO，

∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，

∴△BPO≌△DQO，

∴BP=DQ，

=BP+DF+CF+CQ

=DF+CF+CQ+DQ

=DF+CF+CD

=15

②当P在AE上，Q在CF上，

∵AD∥BC，

∴∠PEO=∠QFO，

∵△EOD≌△FOB，

∴OE=OF，

∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，

∴PE=QF，

∵AE=CF，

∴CQ=AP，

m+n

=AB+AP+DF+PQ

=CD+CQ+DF+FQ

=DF+CF+CD

=15；

③当P在BE上，Q在DF上，

∵AD=BC，AE=CF，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴BE=DF，BE∥DF，

∴∠PEO=∠FQO，

∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，

∴△PEO≌△FQO，

∴PE=FQ，

=AB+AE+PE+DQ

=CD+CF+QF+DQ

=DF+CF+CD

=15．

23．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，

解不等式＜，得：x＞﹣7，

则不等式组的解集为﹣7＜x≤1，

将解集表示在数轴上如下：

24．化简：（﹣x+1）．

【解答】解：原式=（﹣）?

=?

=．

25．已知|x﹣2+|+=0，求（）÷的值．

【解答】解：（）÷

=

=

=xy，

∵|x﹣2+|+=0，

∴x﹣2+=0，y﹣2﹣=0，

解得，x=2﹣，y=2+，

∴原式=xy=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．

26．学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？

【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本，

根据题意得：﹣=10，

解得：x=20，

经检验，x=20是原方程的根，且符合题意，

∴1.5x=30．

答：甲种图书的单价为30x元/本，乙种图书的单价为20元/本．

（2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本，

根据题意得：m≥（40﹣m），

解得：m≥，

∵m为整数，

∴m≥14．

设购书费用为y元，则y=30m+20（40﹣m）=10m+800，

∵10＞0，

∴y随m的增大而增大，

∴当m=14时，y取最小值，最小值=10×14+800=940．

答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元．

27．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．

（1）求证：DM=（AC﹣AB）；

（2）若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．

【解答】解：

（1）证明：延长BD交AC于E，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB=∠ADE=90°，

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠EAD，

在△BAD和△EAD中，

，

∴△BAD≌△EAD（SAS），

∴AB=AE，BD=DE，

∵M为BC的中点，

∴DM=CE=（AC﹣AB）；

（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，

∴由勾股定理得：AE=AB==10，

∵DM=2，DM=CE，

∴CE=4，

∴AC=10+4=14．

28．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB边的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．

（1）求证：EF=AB；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；

（3）若AB=2，求△AEG的周长．

【解答】（1）证明：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F为AB的中点，

∴BF=AF，AB=2AF，

∴BC=AF，

在△△EFA和△ABC中，

，

∴△EFA≌△ABC（SAS），

∴EF=AB；

（2）证明：∵△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

∵BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四边形ADFE为平行四边形；

（3）解：∵F为AB边的中点，

∴AF=AB=，

∵四边形ADFE是平行四边形；

∴AG=FG=AF=，

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴BC=AB=，

∴AE=AC=BC=3，

∵∠FAE=90°，

∴EG===，

∴△AEG的周长=AE+EG+AG=3++．