专题六 概率统计专题复习

专题六、概率统计 1、计数原理、二项式定理

热点一 两个原理、排列与组合

例１、从A ，B ，C ，D ，E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )．

A ．24

B ．48

C ．72

D ．120

变式训练：1、若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．

A ．60种

B ．63种

C ．65种

D ．66种

2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )．

A ．232

B ．252

C ．472

D ．484

3、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 热点二 求展开式中的指定项

例２、在6

2x x ?

?- ??

?的二项展开式中，常数项等于_________．

变式训练：1、8

的展开式中常数项为( )．

A ．3516

B ．358

C ．35

4

D ．105

2、若1n

x x ?

?+ ??

?的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数

为_________．

3、在5

212x x ?

?- ??

?的二项展开式中，x 的系数为( )．

A ．10

B ．－10

C ．40

D ．－40

热点三 求展开式中的各项系数的和

例３、若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )．

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．2

变式训练：1、若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.

2、若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.

课外训练： 一、选择题

1 ．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）

A ．4-

B ．3-

C ．2-

D ．1-

2 ．用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）

A ．243

B ．252

C ．261

D ．279 3 ．设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式

的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

4 ．）()()84

11+x y +的展开式中22x y 的系数是 （ ）

A ．56

B ．84

C ．112

D ．168

5 ．满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对

(,)a b 的个数为 （ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．10

6 ． 10(1)x +的二项展开式中的一项是 （ ）

A ．45x

B ．290x

C ．3120x

D ．4252x

7 ．使得()3n

x n N n

+?+∈ ?

的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8 ．从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到

lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）

A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

9 ． (x 2-32

x )5展开式中的常数项为 （ ）

A ．80

B ．-80

C ．40

D ．-40

二、填空题

10．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 11．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中

男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).

12．从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小

组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)

13． 6

x

?

? 的二项展开式中的常数项为______.

14．设二项式5

3

)1(x

x -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 15．设常数a R ∈,若5

2a x x ?

?+ ??

?的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =

16．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分

给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.

17．若8

x ?

+ ?

的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.

18．6个人排成一行,其中甲、

乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).

2、概率、统计与统计案例 热点一 随机事件的概率

例１、如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体

积V ＝0)．

则V ＝0时的概率为_______

变式训练：1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．

A ．49

B ．13

C ．29

D ．19

2、某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次

得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是1

4

和p (0

＜p ＜1)．若选手甲在A 区射击，则选手甲至少得3分的概率为_________ 热点二 古典概型与几何概型

例２、设不等式组?

????

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到

坐标原点的距离大于2的概率是( )．

A ．π4

B ．π－22

C ．π

6 D ．4－π4

变式训练：1、在长为18 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．

A ．56

B ．12

C ．13

D ．16

2、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )．

A ．16

B ．536

C ．112

D ．12

3、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

热点三 统计

例3、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对

其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为

m 甲，m 乙，则( )．

A ．x 甲＜x 乙，m 甲＞m 乙

B ．x 甲＜x 乙，m 甲＜m 乙

C ．x 甲＞x 乙，m 甲＞m 乙

D ．x 甲＞x 乙，m 甲＜m 乙

变式训练：1、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )．

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15

2、某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取各职称的人数分别为( )．

A ．5,10,15

B ．3,9,18

C ．3,10,17

D ．5,9,16 3、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．

A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D ．甲的成绩不比乙的成绩稳定 热点四 独立性检验

例４、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩(百分

制)的茎叶图如图所示：

按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩． (1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：

(2)能否有95%附：K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c

变式训练：为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调

查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

附：

K 2的观测值k ＝n (ad －bc )

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

.

课外训练： 一、选择题

1、某学校组织学生参加英语测试,成绩的频

率分布直方图如图,数据的分组一次为

[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若

低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）

A ．45

B ．50

C ．55

D ．60

2、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840

人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 3、某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是

否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 4、如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域

ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是( ) A ．14

π

-

B ．

12

π

- C ．22

π

-

D ．

4

π

5、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6

组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．

480 C ．450 D ．120 6、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进

行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（ ）

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

7、以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:

分)

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5

B ．5,5

C ．5,8

D ．8,8

二、填空题

8、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两

个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)

9、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,

发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.

(I)直方图中x 的值为___________; (II)在这些用户中,用电量落在区间

[)100,250内的户数为___________.

10、利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率

为________ 11、从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的

概率为1

14

,则n =________. 12、在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121

x x +--≥

成立的概率为______.

13、现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数

m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为______.

三、解答题

14、某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件

个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.

3、随机变量及其分布列

热点一 相互独立事件、互斥事件、对立事件及其概率

例１、现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4，命中得1分，没有命

中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3

，每命中一次得2分，没有命中得0分，

该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分至少1分的概率； （3）求该射手的总得分至多3分的概率.

热点二 二项分布及其应用

例2、某射手每次射击击中目标的概率是2

3，且各次射击的结果互不影响．

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

(2)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求p(ξ=3)和p(ξ<2)．

热点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例3、交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的

概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．早高峰时段，从昆明市交通指挥中心随机

1 7 9

2 0 1 5

3 0

选取了二环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（1）据此估计，早高峰二环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（2）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

课外训练：

1、某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率

为2

3

,中将

可以获得2分;方案乙的中奖率为2

5

,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且

只有一次

抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,

X Y,求3

X 的概率;

(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

2、一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白

色卡片3

张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(1) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(2) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

3、经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,

未售出的产

售季度内市场需求量的频率分布直方

图,如图所

示.经销商为下一个销售季度购进了130t

该农产品,以X(单位:t,150

≤X)

100≤

表示下

一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产

品的利润.

(Ⅰ)将T表示为X的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量

X∈,则落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)

取105

X=的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T的数X=,且105

学期望.