数与代数

数与代数的知识点

整理和复习

一、数与代数 （一）数的认识

定义：像8，16，+1，0.6，+

4

1

这样的数叫做正数 正数 写法和读法：正数前面加“+”号。如+8读作：“正八” “+”号一般可以省略不写

数 定义：像-1，-10.2，-7.9，-4

1

这样的数叫做负数

负数 写法和读法：负数前面加“-”号。如-15读作：“负十五” 数字越大负数反而越小

比0小的数是负数，比0大的数是正数“0”既不是正数，也不是负数。 正整数

自然数 整数 0

负整数

（自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数） 小数：整数部分，小数点，小数部分 数 真分数

分数： 整数1

假分数

带分数 （小数是特殊的分数） 百分数：(1)分母是100的分数叫做百分数。 (2)表示一个数是另一个数的百分

之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“%”来表示，叫做百分号。

知识点一：整数

1、读数：从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。

写数：先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0。

整数部分

小数点 小数部分 亿级 万级

个级

数位 千 百 十 亿 亿 亿 亿 位 位 位 位 千 百 十 万 万 万 万

位 位 位 位 千 百 十 个 位 位 位 位

. 十 百 千...... 分 分 分 计数单位 千 百 十 亿 亿 亿 亿 千 百 十 万 万 万 万 千 百 十 一

(个) 十 百 千...... 分 分 分......

之 之 之...... 一 一 一......

有限小数 小数

2、数的改写与求近似数：为了读写方便，常把较大的数简写成用“万”或“亿”作

单位的数。如:2365500=236.55万(改写用“万”作单位的数)。如:2365500≈237万(省略万位后面的尾数，写成近似数)，如:7.62983≈7.6(保留一位小数)。

知识点二：小数

1、小数的意义：把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几

份是十分之几，百分之几，千分之几…可以用小数来表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…

2、小数的读法和写法：①读小数时，整数部分按照整数读法来读（整数部分是0的读作“零”）小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。

②写小数时，整数部分按照整数写法来写（整数部分是0的写作“0”小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。

3、小数大小的比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个

数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就在;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

4、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

知识点三：分数

1、分数的分类

(1)真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

(2)假分数：分子比分母大或者与分母相等的分数叫做假分数。

(3)带分数：假分数化成带分数：用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、

余数做分子、分母不变。如：10

7

=1

3

7

（10÷7=1……3）

3、分数大小的比较：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大;分子相同的两个分数，

分母小的分数比较大

4、分数的基本性质：分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。

5、约分: 根据分数的基本性质，把分子、分母的公因数约去的过程，叫做分数的约分。

通分: 根据分数的基本性质，把分母不同的分数化成分母相同的分数,这个过程叫做分数的通分。

6、分数的乘法和除法

b a ×

c

d

=

b×d

a×c

b

a

÷

c

d

=

b

a

×

d

c

分数的倒数：分数的分子、分母交换位置（乘积是1的两个数互为倒数）整数的倒数：化为分母为1的分数，再求倒数

小数的倒数：化为分数，再求倒数

知识点四：因数和倍数

1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2=6,12是2的倍数，2是12的因数。因数与倍数是相互依存的。

2、一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数个数是无限的。

3、个位上是5或0的数都是5的倍数，个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。

4、整数中，是2的倍数的书叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

5、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

小

百分

分数

小数点向右移动

去掉%，小数点向

小

分子除以分母 小数部分

原来有几位小数就

分

百

先写成小数，再写先写成分数，再约

6、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。如2,3,5,7都是质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。1既不是质数，也不是合数。2是最小的质数，4是最小的合数。

7、100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

9、最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

10、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最大的一个数叫做这几个数的最小公倍数。

11、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法。

如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的积。 利用短除法求最大公因数和最小公倍数。

知识点五：数的互化

数的互化包括小数、分数、百分数之间的互化。

（二）数的运算（加、减、乘、除）

1、在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。

2、在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。

3、在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

4、运算定律

交换律：A+B=B+A 交换律：A×B=B×A 加法结合律：（A+B)+C=A+(B+C) 乘法结合律：A×B×C=A×(B×C)

分配律：(A+B)×C=A×C+B×C 减法的运算性质：A-B-C=A-(B+C) 除法的运算性质：A÷B÷C=A÷(B×C) 5、常见的数量关系：

速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间

单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量

工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间收入-支出=结余本金×利率×时间=利息

6、分数应用题：关键是找准标准量，即单位“1”。若单位“1”已知，用乘法计算；若单位“1”未知，用除法计算。

（1）求甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）的解题规律：甲乙的差÷乙；

（2）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求甲的的解题规律：乙×（1±几分之几/百分数）；求比前的量用乘法。

（3）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求乙的的解题规律：甲÷（1±几分之几/百分数）；求比后的量用除法。

（三）式与方程

知识点一：用字母表示数

1、数量关系可以用含有字母的式子简明而概括地表达出来。用字母还可以表示运算律或者计算公式。

2、写法：字母和数字之间或字母与字母之间的乘号可以记作“·”或者省略不写。但要注意，在省略乘号的时候，数字要写在字母的前面。例如：a×3=3· a(或3a）；m×n=m· n（或mn）；5×b×c=5·b·c（5bc）。

知识点二：等式与方程

1、等式：表示相等关系的式子叫等式。

2、方程：含有未知数的等式叫做方程。

3、等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但是等式不全是方程。

知识点三：等式的性质

1、等式的基本性质1：等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。

2、等式的基本性质2：等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。知识点四:解方程

1、方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

2、解方程的定义：求方程解的过程叫做解方程。

3、解方程的依据：（1）等式的性质；（2）加与减、乘与除各部分之间的互逆关系。知识点五:列方程解决问题

列方程解决问题的一般步骤：

1、弄清题意，找出未知数并用x表示；

2、找出问题中数量之间的相等关系，列出方程；

3、解方程；

4、检验并写出答语。

（四）比和比例

知识点一有关比和比例的知识

比比例

意义两个数的比表示两个数相除表示两个比相等的式子叫做比例

各部分的名称

9 : 6 = 1.5

前项后项比值

9 ：6 =3 ：2

内项

外项

基本性质比的前项和后项同时乘或除以相

同的数（0除外），比值不变

两个外项的积等于两个内向的积

2、比和分数、除法的关系

3、比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律之间的关系

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

分数的基本性质：分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。

商不变的规律：被除数和除数同时乘和除以相同的数（0除外），商不变。

4、求比值和化简比的联系和区别

一般方法结果

求比值根据比值的意义，用

前项除以后项

是一个商，可以是整

数、小数、分数

如，60:50=1.2不能写成60:50=6:5

联系

例子

各部分名称

分数分子分数线—分母分数值

8

5

除法被除数除号÷除数商5÷8 比前项比号：后项比值5:8

化简比 根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）

结果是一个比，前项和后项都是整数

18:6=3:1

化简比的方 法

整数比 比的前项和后项同时除以它们最大公因数（也可以一步一步的除）

如，18:6=（18÷6）：（6÷6）=3:1 或18:6=（18÷2）：（6÷2）=9:3=（9÷3）：（3÷3）=3:1

小数比

先把

比的前项和后项同时乘以10、100……，变成整数比；再把整数比化成

最简比

如， 0.25:1.5=（0.25×100）：（1.5×100）

=25:150=1:6

分数比

先把比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比；再把整

数比化成最简比 如，

6

5

：83=（6

5×24）：（83×24）=20:9 混合比

先把混合比变成小数比或分数比（如果比中的分数不能化成有限小数的，一般

化为分数比），再变成整数比，最后把整数比化成最简比

如，25：0.2=25：51=25:2或25

：0.2=2.5:0.2=25:2

如，6

5：0.3中的65不能化成有限小数 ，所以把65

：0.3先化为分数比。

65：0.3=65

：10

3=25:9

知识点二 按比例分配解决问题

1、按比例分配应用题：把一个数量按照一定的比例分配成几部分，求每一部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。

2、解题方法：

一般方法：把比转化成分数，用分数方法解答。即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。

归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用总量÷总份数=平均每份的量（归一），再用1份的量

×各部分量所对应的的份数求出各部

分的量。

用比例知识解答，解设未知量为x 。

知识点三正比例与反比例

1、判断成正、反比例关系的方法

（1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量；

（2）分析：比值一定，成正比例关系；乘积一定，成反比例关系。

2、用正、反比例知识解决问题

（1）分析数量关系，判断成什么比例；

（2）找等量关系。如果是成正比例，则按“等比”找等量关系；如果是成反比例，则按“等积”找等量关系；

（3）列比例。设未知数为x，并代入等量关系式；

（4）解比例；（5）检验并写出答语。

知识点四比例尺

1、比例尺定义：图上距离和实际距离的比叫比例尺

2、比例尺公式

比例尺=图上距离：实际距离或比例尺=图上距离/实际距离

图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺

3、求比例尺时的注意要点

（1）比例尺与一般的尺不同，它是一个比，不应带有计量单位；

（2）求比例尺时，前项、后项的长度单位一定要化成同级单位；

（3）厘米和千米的换算方法是：厘米减五个0变成千米，千米加五个0变为厘米。米和厘米的换算方法是加减两个0。

（4）计算结果，图上距离一般用厘米表示；实地距离一般用千米或米表示。