2020年吉林大学半导体物理、量子力学(同等学力加试)考研复试核心题库之量子力学简答题精编

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一、2020年吉林大学半导体物理、量子力学（同等学力加试）考研复试核心题库之量子力学简答题精编

1．极低温下液体和液体会表现出极不相同的特性，为什么？常温下气体和气体的特性基本相同，又为什么？

【答案】原子中，核内包括两个质子、两个中子，核外有两个电子，因此它由偶数个费米子组成，是玻色子，有奇数个费米子组成，是费米子，极低温下，液体和液体表现出的极不相同的特性，来自于原子和原子不同的交换对称性。

常温下气体状态的和，原子之间距离足够远，不同原子波函数没有重叠，交换效应消失，不必考虑全同粒子的交换对称性，此时气体和气体的特性基本相同。

2．若在某一给定实验中,无法测定粒子的电荷的符号。那么此时能将正电子和电子视为全同粒子吗？是否在任何情形下都必须将两个电子视为全同粒子而应用对称化假设呢？

【答案】全同粒子是所有内禀性质(固有性质)都相同的粒子，是与实验条件无关的。故尽管在某个特定实验上无法测定电荷的符号，也不能将正电子和电子视为全同粒子。

尽管两个电子是全同粒子，但在一些特殊情形也可按非全同粒子处理而不必对它们应用对称化假设，如当两个电子具有不同的自旋方向且它们之间的相互作用又不会改变各自的自旋方向时；又如，对于始终位于空间不同区域且又无相互作用的两个电子也可以这样做，只要这两个电子的波函数不互相重叠。

3．什么是量子化？如何实现量子化？

【答案】量子化有两个含义。

量子化的一个含义是，在经典力学中取连续值的力学量,到量子力学中变成取分立值的现象，其原因是在经典力学中的力学量，到量子力学中变成了厄米算符，并且其中坐标与动量满足对易关系

正是这样的对易关系使得一些由与组成的力学量算符(如一维谐振子能量算符，轨道角动量算符等)的本征值取分立值。上述对易关系叫做量子化条件,其中起关键作用的是不对易式

。

量子化的另一含义是指由经典力学过渡到量子力学的步驟，这个步骤是，首先将经典力学中的哈密顿正则运动方程

中的正则坐标与正则动量变成厄米算符与，

其中作为与的函数的哈密顿量，自然也就成为厄米算符，然后让与满足如下对易关系：

正是这种对易关系，使得这些算符在坐标表象中有如下性质：

根据对易关系(5)，方程(2)变为

这两个方程正是量子力学海森伯绘景中的运动方程，以上步骤完成了从经典力学到量子力学的过渡，对易关系(3)叫做正则量子化条件，其中起关键作用的是不对易式。

4．导出非定态微扰(很小)中的关于跃迁概率的一阶Dirac(狄拉克)近似公式，并分析其成立的条件。

【答案】由能量表象中的薛定谔方程，得到积分方程

其迭代解为

(a)

由，即可得出一阶Dirac近似公式

一阶Dirac近似成立的条件是：

(1)初始时刻，(零级近似)。通常跃迁都是指末态不同于初态(但应注意

与不相同，并不意味着能量一定不相同，如弹性散射情形那样)。

(2)忽略了从到的相反的跃迁。

(3)时间t足够小，使得与相差不太大(因一阶近似是简单地用来代替积分式中的来得到的)。当t较大时，不能忽略髙阶修正。由方程(a)知，应有

5．态叠加原理可以有如下说法:“如果和是体系的两个可能状态,那么它们的线性叠加

也是这个体系的一个可能状态。”

(1)有人认为上述说法中的公式可以有如下4种理解：

①

②

③

④

其中泛指坐标，是任意复常数，是t的任意复函数，哪种理解是正确的？问题的关键在什么地方？

(2)有人认为：因为与是表示同一状态，与也是表示同一物理态,故它们的叠加

应是相同的状态，这种看法正确吗？

(3)若和分别是能量本征态，那么是否是能量本征态？处于能量本征值的自由粒子是否处于动量本征态？

【答案】(1)仅对任一固定时刻而言，可以如①那样理解，第④种理解对任意时刻的运动态都是正确的，但第②,③种理解都是错的。

问题的关键在于态的叠加应满足S方程，由于S方程包含对时间的导数，情形②，③就不能保证这满足S方程。

(2)尽管与与分别表示相同的物理态，但是它们却分别以不同的权重进行振幅叠加(相干叠加)，也就是相对相因子不同，从而表示不同的状态。当或者时，才表示相同的状态。

(3)注意一个力学量算符的不同本征值的本征态的叠加不是其本征态，故题中的不是能量本征态，因为由薛定谔方程可以知是本征值分别为E和-E的能量本征态的叠加。同样，处于能量本征值的自由粒子不一定处于动量本征态。如该能量本征态若由有不同动量本征值但却有相同能量本征值的动量本征态叠加而成就是这种情形。

6．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上线性独立的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。