操作探究-2020年中考数学学霸专题(答案版)

第39章操作探究

一、选择题

1. 如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右

．．对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）

A．B． C．D．【答案】D

2. 如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为()1

a+cm的正方形(0)

a>，

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）.

A．22

(25)cm

a a

+ B．2

(315)cm

a+ C．2

(69)cm

a+ D．2

(615)cm

a+

【答案】D

二、解答题

1. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点A

1

开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

B

A

B B

图1

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”） （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.

图甲

活动二：

如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=

AA 1. 数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）

（4）若只能．．

摆放4根小棒，求θ的范围.

图乙

【答案】解：（1）能 （2）①22.5° ②方法一：

∵AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2.

又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A=∠AA 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5， ∴AA 3=A 3A 4，AA 5=A 5A 6，∴a 2= A 3A 4=AA 3=1+2,a 3=AA 3+A 3A 5=a 2+A 3A 5.∵A 3A 5=2a 2, ∴a 3=A 5A 6=AA 5=a 2+2a 2=(2+1)2.

方法二：

∵AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2.

又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A=∠AA 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5，

∴a 2=A 3A 4=AA 3=1+2,又∵∠A 2A 3A 4=∠A 4A 5A 6=90°，∠A 2A 4A 3=∠A 4A 6A 5，∴△A 2A 3A 4∽△A 4A 5A 6，

∴32

21a a a =，∴a 3=1

22a =(2+1)2. a n =(2+1)n-1.

(3)θθθθθθ432321===，，

(4)由题意得{

905906≤θθ，∴15°＜θ≤18°.

2. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、

F ,垂足为O .

(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；

(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ?和CDE ?各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中, ①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、

Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.

②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.

【答案】(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形

∴AD ∥BC

∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ,垂足为O

A

B

C

D

E

F

图10-1

O

图10-2

备用图

∴OA OC = ∴AOE ?≌COF ? ∴OE OF =

∴四边形AFCE 为平行四边形 又∵EF AC ⊥

∴四边形AFCE 为菱形

②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ?中,4AB cm =

由勾股定理得2224(8)x x +-=,解得5x =

∴5AF cm =

(2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四

边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形

∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA = ∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒 ∴5PC t =,124QA t =-

∴5124t t =-,解得4

3t =

∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =

秒.

②由题意得,以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P 、Q 在互相平行的对应边上. 分三种情况

:

i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b += ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b += iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b += 综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠

3. ABC ?是一张等腰直角三角形纸板，Rt 2C AC BC ∠=∠==，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的

ADE BDF ??和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设

MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x ===== 222322,3

228

(

)39

PNMQ x x S ∴==∴==正方形解得

A B

C

D

E P

Q

A B

D

E

F

P

C

A B

C

D

E P Q

图1

图2

图3

（第3题）

（第3题图1）

P

N

D

E

B C

B

Q

M

又

8 1

9 >

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB AC BC

、、的中点，

1

1

2ABC CFDE

S S

==

正方形

解法2：如图甲，由题意得AE DE EC

==，即EC=1

如图乙，设,

MN x AM MQ QP PN NB MN x

=======

则由题意得

3

3

22

1,

3

x x

EC MN

∴==

>>

解得

又即

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)

2

1

2

S=

(3)

109

1

2

S=

(3)解法1：探索规律可知：

1

1

2

n n

S

-

=‘

剩余三角形的面积和为：()

121099

1111

221

2422

S S S

??

-+++=-++++=

?

??

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为

11

2=1=

S S

-

第二次剪取后剩余三角形面积和为

122

11

1

22

S S S

-=-==

第三次剪取后剩余三角形面积和为

233

111

244

S S S

-=-==

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为

910109

1

=

2

S S S

-=

4. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

A

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：

AE DB （填“>”,“<”或“=”）.

C

D

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F . （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC ?的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.

【答案】（1）= . （2）=.

方法一：如图，等边三角形ABC 中，

D

60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=?==， //,EF BC

60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=?=∠

AEF ∴?是等边三角形，

,AE AF EF ∴==

,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即

又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=?，

60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=?

.,

,,,,.

ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴???∴=∴= 方法二：在等边三角形ABC 中，

60120,

,,,,,//,

60,

180120,,

ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=?∠=?∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=?=∠∴?∠=?-∠=?=∠∴???∴=，是正三角形，

而由AEF ?是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴= (3)1或3.