高考物理一轮复习第九章电磁感应专题十一电磁感应中的电路和图象问题教案

专题十一 电磁感应中的电路和图象问题

突破

电磁感应中的电路问题

1.对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能.

2.对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成.

3.问题分类

(1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板的带电性质等问题. (2)根据闭合电路求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题. (3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量.

考向1 电动势与路端电压的计算

[典例1] 如图所示，竖直平面内有一金属环，其半径为a ，总电阻为2r (金属环粗细均匀)，磁感应强度大小为B 0的匀强磁场垂直穿过环平面，环的最高点A 处用铰链连接长度为2a 、电阻为r 的导体棒AB ，AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则此时A 、B 两端的电压大小为( )

A.1

3B 0av B.1

6B 0av C.2

3

B 0av D.B 0av

[解题指导] 当AB 棒摆到竖直位置时，画出等效电路图，明确A 、B 两端电压是路端电压而不是电源电动势.

[解析] 棒摆到竖直位置时整根棒处在匀强磁场中，切割磁感线的长度为2a ，导体

棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝B 0·2a ·v ，而v ＝v A ＋v B

2，得E ＝B 0·2a ·0＋v

2

＝B 0av .

外电路的总电阻R ＝

r ·r r ＋r ＝r 2，根据闭合电路欧姆定律I ＝E R ＋r ，得总电流I ＝2B 0av

3r

.A 、B 两端

的电压大小U ＝IR ＝2B 0av 3r ·r 2＝1

3

B 0av ，选项A 正确.

[答案] A

[变式1] (2017·山东潍坊统考)(多选)在如图甲所示的电路中，电阻R 1＝R 2＝2R ，圆形金属线圈半径为r 1，线圈导线的电阻为R ，半径为r 2(r 2

甲 乙 A.电容器上极板带正电 B.电容器下极板带正电

C.线圈两端的电压为B 0πr 21

t 0

D.线圈两端的电压为4B 0πr 2

2

5t 0

答案：BD 解析：由楞次定律知圆形金属线圈内的感应电流方向为顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，A 错，B 对.由法拉第电磁感应定律知感应电动势为E ＝ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝B 0t 0

×πr 2

2，由闭合电路欧

姆定律得感应电流为I ＝E R ＋R 1＋R 2，所以线圈两端的电压U ＝I (R 1＋R 2)＝4B 0πr 2

2

5t 0

，C 错，D 对.

考向2 电功、电热和电量的计算

[典例2] (2015·福建卷)如图所示，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B 中.一接入电路电阻为R 的导体棒PQ ，在水平拉力作用下沿ab 、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程PQ 始终与ab 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦.在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中( )

A.PQ 中电流先增大后减小

B.PQ 两端电压先减小后增大

C.PQ 上拉力的功率先减小后增大

D.线框消耗的电功率先减小后增大

[问题探究] (1)运动过程中，外电路电阻如何变化？

(2)闭合电路中，内、外电阻符合什么条件时，外电路的功率最大？ [提示] (1)外电路电阻先增大，后减小.

(2)当内、外电路电阻相等时，输出电功率最大，即外电路功率最大.

[解析] 由题意知，题目情形可等效为如图所示的电路问题，其中R 左＋R 右＝3R ，E ＝BLv ，

r ＝R ，当PQ 向右运动时，R 左增大，R 右减小，两者并联的总电阻R 外先增大后减小，当PQ 运

动到线框正中央位置时，R 外最大，故流过PQ 的电流先减小后增大，A 项错误；PQ 两端电压U ＝E －Ir ，故U 的变化为先增大后减小，B 项错误；拉力的功率P ＝P 总＝EI ，故拉力的功率先减小后增大，C 项正确；线框消耗的电功率为电源的输出功率P 出＝P 总－P 内＝EI －I 2

r ，电流的最小值I min ＝E

1.75R

，故由数学知识可知P 出先增大后减小，D 项错误.

[答案] C

[变式2] 如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd ，ab 边长大于bc 边长，置于垂直纸面向里、边界为MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN .第一次ab 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 1，通过线框导体横截面的电荷量为q 1；第二次bc 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 2，通过线框导体横截面的电荷量为q 2，则( )

A.Q 1>Q 2，q 1＝q 2

B.Q 1>Q 2，q 1>q 2

C.Q 1＝Q 2，q 1＝q 2

D.Q 1＝Q 2，q 1>q 2

答案：A 解析：设线框边长分别为l 1、l 2，线框中产生的热量Q ＝I 2

Rt ＝(

Bl 1v R )2·R ·l 2

v

＝B 2l 21l 2v

R ＝B 2l 1l 2v R l 1，由于l ab >l bc ，所以Q 1>Q 2.通过线框导体横截面的电荷量q ＝I ·Δt ＝E R

·Δt ＝ΔΦR ＝Bl 1l 2R

，故q 1＝q 2，A 选项正确.

解决电磁感应中的电路问题的基本步骤

(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E 的大小，用楞次定律或右手定则

确定感应电动势的方向(感应电流方向是电源内部电流的方向)，从而确定电源正负极，明确内阻r .

(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电

路.

(3)根据E ＝BLv 或E ＝n ΔΦ

Δt

，结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识、电功率、

焦耳定律等相关关系式联立求解.

突破

电磁感应中的图象问题

1.图象问题

(1)图象问题的特点

考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时根据不同的图象，进行综合计算.

(2)图象问题的求解类型

考向1 根据图象分析判断电磁感应过程

[典例3] (多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线

圈所围的面积为0.1 m 2

，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I 的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示.磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示.则以下说法正确的是( )

甲 乙

A.在时间0～2 s 内，I 的最大值为0.01 A

B.在时间3～5 s 内，I 的大小越来越小

C.前2 s 内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 C

D.第3 s 内，线圈的发热功率最大

[解析] 0～2 s 内，t ＝0时刻磁感应强度变化率最大，电流最大，I ＝E R ＝ΔB ·S

ΔtR

＝0.01

A ，A 正确；3～5 s 内电流大小不变，

B 错误；前2 s 内通过线圈的电荷量q ＝ΔΦR ＝ΔB ·S

R

＝

0.01 C ，C 正确；第3 s 内感应电流为零，D 错误.

[答案] AC

考向2 根据电磁感应过程选择图象

[典例4] (2016·四川卷)(多选)如图所示，电阻不计、间距为l 的光滑平行金属

导轨水平放置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R .质量为m 、电阻为r 的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，外力F 与金属棒速度v 的关系是F ＝F 0＋kv (F 0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好.金属棒中感应电流为i ，受到的安培力大小为F A ，电阻R 两端的电压为U R ，感应电流的功率为P ，它们随时间t 变化的图象可能正确的有( )

A B

C D

[解题指导] (1)图线反映的关系都是瞬时关系，所以电流、电压、功率都是瞬时值.

(2)根据受力情况列出方程，再根据k 的可能取值范围，分析金属棒可能的运动情况，进而分析求解.

[解析] 设某时刻金属棒的速度为v ，根据牛顿第二定律F －F A ＝ma ，即F 0＋kv －

B 2l 2v R ＋r ＝ma ，即F 0＋? ????k －B 2l 2R ＋r v ＝ma ，如果k >B 2l 2R ＋r ，则加速度与速度成线性关系，且随着速度

增大，加速度越来越大，即金属棒运动的v -t 图象的切线斜率越来越大，由于F A ＝B 2l 2v R ＋r

，F A -t

图象的切线斜率也越来越大，感应电流?

????i ＝

Blv R ＋r 、电阻两端的电压? ??

??U R ＝BlRv R ＋r 及感应电流的功率? ??

?

?P ＝B 2l 2v 2

R ＋r 也会随时间变化得越来越快，B 项正确；

如果k ＝B 2l 2

R ＋r

，则金属棒做匀加速直线运动，电动势随时间均匀增大，感应电流、电阻两

端的电压、安培力均随时间均匀增大，感应电流的功率与时间的二次方成正比，没有选项符

合；如果k

R ＋r

，则金属棒做加速度越来越小的加速运动，感应电流、电阻两端的电压、安

培力均增加得越来越慢，最后恒定，感应电流的功率最后也恒定，C 项正确.

[答案] BC

考向3 由电磁感应过程判断或画出图象

[典例5] (2017·福建模拟)在一周期性变化的匀强磁场中有一圆形闭合线圈，线圈平面与磁场垂直，如图甲所示，规定图中磁场方向为正.已知线圈的半径为r 、匝数为N ，总电阻为R ，磁感应强度的最大值为B 0，变化周期为T ，磁感应强度按图乙所示规律变化，求：

甲 乙

丙

(1)在0～1

6

T 内线圈产生的感应电流的大小I 1；

(2)规定甲图中感应电流的方向为正方向，在图丙中画出一个周期内的i -t 图象，已知图中I 0＝3πr 2

NB 0

RT

；

(3)在一个周期T 内线圈产生的电热Q .

[解题指导] 本题的关键是画出一个周期内的i-t图象.由B-t图象，把一个周期分成0～

T 6、

T

6

～

5

6

T和

5

6

T～T三段时间分别计算电流的大小，并判断电流的方向.

[解析] (1)在0～

1

6

T内感应电动势E1＝N

ΔΦ1

Δt1

磁通量的变化ΔΦ1＝B0πr2

解得E1＝

6πNr2B0

T

线圈中感应电流大小I1＝

E1

R

＝

6πNr2B0

RT

.

(2)如图所示.

(3)在0～

1

6

T和

5

6

T～T两个时间段内产生的热量相同，有Q1＝Q3＝I21R·

1

6

T 在

1

6

T～

5

6

T时间内产生的热量Q2＝I22R·

4

6

T

一个周期内产生的总热量Q＝Q1＋Q2＋Q3＝

18π2N2r4B20

RT

.

[答案] (1)

6πNr2B0

RT

(2)见解析图(3)

18π2N2r4B20

RT

电磁感应中图象类选择题的两种常见解法

(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均

匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项.

(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简洁的方法，但却是最有效的方法.

1.[对电动势与路端电压的理解]粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a、b两点间的电势差绝对值最大的是( )

A B C D

答案：B 解析：线框各边电阻相等，切割磁感线的那个边为电源，电动势相同，均为Blv .在A 、C 、D 中，U ab ＝14Blv ，B 中，U ab ＝3

4

Blv ，选项B 正确.

2.[根据电磁感应过程选择图象]如图所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向内的匀强磁场区域，磁场仅限于虚线边界所围的区域，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一直线上.若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场的过程中感应电流i 随时间t 变化的图象是( )

A B C D

答案：C 解析：根据楞次定律可以判断出金属框进入磁场过程中感应电流的方向，根据金属框切割磁感线的有效长度在变化，可知感应电动势以及感应电流的大小也在变化.在金属框进入磁场过程中，感应电流的方向为逆时针，金属框切割磁感线的有效长度线性增大，排除A 、B ；在金属框出磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，金属框切割磁感线的有效长度线性减小，排除D ，故C 正确.

3.[根据图象分析电磁感应过程](多选)如图所示，螺线管匝数n ＝1 000匝，横截面积S ＝10 cm 2

，螺线管导线电阻r ＝1 Ω，电阻R ＝4 Ω，磁感应强度B 的B -t 图象如图乙所示(以向右为正方向)，下列说法正确的是( )

甲 乙 A.通过电阻R 的电流是交变电流 B.感应电流的大小保持不变 C.电阻R 两端的电压为6 V D.C 点的电势为4.8 V

答案：AB 解析：由E ＝n ΔB ·S

Δt ＝6 V ，一个周期的时间内，前半个周期与后半个周期的

电动势(电流)大小相等、方向相反，所以通过R 的电流是交变电流，选项A 、B 正确；电阻R 上的电压U R ＝

E

R ＋r

R ＝4.8 V ，选项C 错误；0～1 s 内C 点比A 点电势高，C 点的电势为4.8 V,1～

2 s 内，C 点比A 点电势低，C 点的电势为 －4.8 V ，选项D 错误.

4.

[根据电磁感应过程选择图象](多选)如图所示，两根相距为L 的平行直导轨水平放置，R 为固定电阻，导轨电阻不计.电阻阻值也为R 的金属杆MN 垂直于导轨放置，杆与导轨之间有摩擦，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B .t ＝0时刻对金属杆施加一水平外力F ，使金属杆从静止开始做匀加速直线运动.下列关于外力F 、通过R 的电流i 、摩擦生热Q (图C 为抛物线)、外力F 的功率P 随时间t 变化的图象中正确的是( )

A B C D

答案：BC 解析：金属杆从静止开始做匀加速直线运动，速度v ＝at ，金属杆切割

磁感线产生的感应电动势E ＝BLv ＝BLat ，感应电流i ＝

E 2R ＝BLat 2R

，电流与时间成正比，选项B 正确.金属杆受的安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2at

2R ，根据牛顿第二定律有F －F 安－f ＝ma ，则有F ＝F 安

＋f ＋ma ＝B 2L 2at 2R ＋f ＋ma ，外力F 随时间逐渐增大，选项A 错误.摩擦生热Q ＝fs ＝f ×12

at 2

，

与时间的平方成正比，选项C 正确.外力F 的功率P ＝Fv ＝? ??

?

?B 2L 2

at 2R ＋f ＋ma at ，不是一次函数，

所以图象不是直线，选项D 错误.

5.[电磁感应与电路的计算]面积S ＝0.2 m 2

、n ＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈所在平面，磁感应强度B 随时间t 变化的规律是B ＝0.02t (T).电阻R 与电容器C 并联后接在线圈两端，电阻R ＝3 Ω，电容C ＝30 μF ，线圈电阻r ＝1 Ω，求：

(1)通过R 的电流的大小和方向； (2)电容器所带的电荷量.

答案：(1)0.1 A ，方向b →R →a (2)9×10－6

C

解析：(1)通过圆形线圈的磁通量Φ变大，由楞次定律和安培定则知，线圈中感应电流的方向为逆时针，所以通过R 的电流方向为由b 到a .由法拉第电磁感应定律，线圈产生的感

应电动势为

E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB Δt

＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V

由闭合电路欧姆定律，通过R 的电流为

I ＝E R ＋r ＝0.43＋1

A ＝0.1 A. (2)电容器两端的电压等于电阻R 两端的电压，即U C ＝U R ＝IR ＝0.1×3 V＝0.3 V 电容器所带的电荷量为

Q ＝CU C ＝30×10－6×0.3 C ＝9×10－6 C.