八年级数学上册期末试卷培优测试卷
八年级数学上册期末试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．
（1）求a，b的值；
（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，
①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；
②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】
（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0
∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0
∴a＝﹣2，b＝4．
（2）①如图1中，
∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
故答案为（4，0）．
②∵a＝﹣2，b＝4
∴OA＝2OB＝4
又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°
∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°
①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．
∴∠PCB＝∠BOA＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠BAP＝∠APB＝45°，
∴BA＝BP，
又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
∴P（4，2）．
②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．
∴∠PDA＝∠AOB＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠ABP＝∠APB＝45°，
∴AP＝AB，
又∵∠BAD+∠DAP＝90°，
∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠DPA，
∴△BAO≌△APP（AAS），
∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，
∴P（2，﹣2）．
综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；
(2)如图2，若点A 的坐标为()
23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以
B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不
变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1
2
(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】
（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；
（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1
2
(EM-ON).
（1）如图（1）作CQ⊥OA于Q,
∴∠AQC=90°,
△为等腰直角三角形，
∵ABC
∴AC=AB,∠CAB=90°,
∴∠QAC+∠OAB=90°,
∵∠QAC+∠ACQ=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
?(AAS),
∴AQC BOA
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(-6,-2).
(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,
∴∠BP D=90°,
△是等腰直角三角形，
∵ABD
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠ABO=∠BDP,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,
?
∴AOB BPD
∴AO=BP,
∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()
23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. （3）()1
2
EN EM ON =
- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.
∵OBM 为等边三角形，
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ?, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,
∴BG=12EG, ∴EN=12
EG,
∵EG=EM-GM, ∴EN=
1
2
(EM-GM),
∴EN=
1
2(EM-ON). 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.
3．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示) （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v = 【解析】 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值． 【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm = ∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=- 故答案为：()122t - （2）∵ABP DCP ??? ∴BP CP = ∴2122t t =- 解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ， ∴PC=AB=5 ∴BP=BC-PC=12-5=7
∵2BP tcm = ∴2t=7 解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7 解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ??? ∵12BC cm =
∴1
62
BP CP BC cm === ∵2BP tcm = ∴26t =
解得3t = ∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm == ∴35v = 解得53
v =
． 综上所述，当2v =或5
3
v =时，ABP ?与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
4．如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线
BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形
DEF ?，连接CF .
（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点
D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；
（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；
（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想
CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解. 【解析】 【分析】
(1)由ABC ?是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ?是等边三角形，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论； (3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论. 【详解】
（1）∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF EG =；
（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE =，
∴CD CG CE GE CE CF ==+=+ （3）CF =CD +CE ，理由如下：
过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，
∵ABC
?是等边三角形，//
DG AB，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG
?是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵DEF
?是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在? GDE和? CDF中，
∵
DE DF
GDE CDF
DG DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴? GDE?? CDF(SAS)，
∴CF GE
==GC+CE=CD+CE.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
5．已知：4590
ABC A ACB
?∠=∠=
，，，点D是AC延长线上一点，且
22
AD=+，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB MB
=，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45，得到线段BQ，连接AQ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：ABQ AMB
∠=∠；
（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果
QA BN
=，求线段AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB = 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以补全图形； （2）根据三角形外角的性质即可证明； （3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得
QEB BCM ?，根据HL 证得
Rt QEA Rt BCN ?，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，
2
2
CD x =
，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】
（1）补全图形如下图所示：
（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，
∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠ ∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠
又∵45HBQ BAM ∠=∠=? ∴ ABQ AMB ∠=∠
（3）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ， 如下图：
∵⊥QE AB
∴90QEB BCM ∠=∠=?，
在QEB 和BCM 中，QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠??
∠=∠??=?
∴
QEB BCM ?(AAS)
∴EB CM =，QE BC =， 在Rt QEA 和Rt BCN 中
∵QE BC =，
Q A BN = ∴Rt QEA Rt
BCN ? (HL)
∴AE CN CM MD DN ==++ ∵点N 是点M 关于点D 的对称点， ∴MD DN =
∴22AE CM MD EB MD =+=+
∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+= 设AC BC x ==
，则AB =
，CD x =
，
又∵2AD =
，
AD AC CD x x =+=
∴22
x x +
= 解得：2x = ∴
AB =【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是BC 延长线上的一点，且BD ＝DE ．点G 是线段BC 的中点，连结AG ，交BD 于点F ，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ．
（1）求证：△DCE 为等腰三角形；
（2）若∠CDE ＝22.5°，DC
，求GH 的长；
（3）探究线段CE ，GH 的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
；（3）CE＝2GH，理由见解析.
【解析】【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝
1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝
1
2
∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角
形；
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣
（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝1
2
∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝1
2
∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE2+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH＝
2 2
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
7．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设
∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
解： (1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°?18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴
y x
y x
α
αβ
=+
?
?
=-+
?
①
②
-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴
+
y x
y x
α
αβ
=+
?
?
=+
?
①
②
-①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴
180
180
y x
y x
αβ
α
-++=
?
?
++=
?
①
②
-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
8．如图，在ABC
?中，CE为三角形的角平分线，AD CE
⊥于点F交BC于点D （1）若9628
BAC B
??
∠=∠=
，，直接写出BAD
∠=度
（2）若2
ACB B
∠=∠，
①求证：2
AB CF
=
②若,
CF a EF b
==，直接写出
BD
CD
=（用含,a b的式子表示）
【答案】（1）34；（2）①见详解；②
2b
a b
-
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；
（2）①证明B BCE
∠=∠，得出BE=CE，过点A作//
AH BC交CE与点H，则
,H
BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，
由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；
②证明AHF DCF ?，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由
//AH BC 得出
AH AE a b
BC BE a b
-==+，进而得出结论． 【详解】
解：（1）∵9628BAC B ??∠=∠=，， ∴180962856ACB ∠=?-?-?=?， ∵CE 为三角形的角平分线， ∴1
282
ACE ACB ∠=
∠=?， ∵AD CE ⊥，
∴902862CAF ∠=?-?=?， ∴966234BAD ∠=?-?=?． 故答案为：34；
（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠ ∴B BCE ∠=∠ ∴BE CE =
过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：
则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠ ∴AH=AC ，H EAH ∠=∠ ∴AE=HE ∵AD CE ⊥ ∴HF=CF ∴AB=HC=2CF ；
②在AHF △和DCF 中，
H DCF HF CF
AFH DFC ∠=∠??
=??∠=∠?
∴AHF DCF ?
∴AH=DC
∵
,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+ ∵ //AH BC ∴AH AE a b
BC BE a b -==+ ∴CD a b
BC a b -=+ ∴
2BD b
CD a b
=-． 故答案为：2b
a b
-． 【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．
9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ?，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH
AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接
FG 交AB 于点l .
（1）若10AC =，求HI 的长度；
（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.
【答案】（1）HI =5；(2)见解析. 【解析】 【分析】
（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ?是等边三角形得到AH=PH ， 再证明
PFI BGI ???得到PI=BI ，于是可得HI =1
2
AB ，即可求解；
（2）延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等边三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出结论．
【详解】
解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，
∵ABC
?是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°,
∵FP∥BC,
∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,
∴∠APF=∠A=60°,
∴APF
?是等边三角形,
∴PF=AF,
∵FH AB
⊥，
∴AH=PH,
∵AF=BG,
∴PF=BG,
∴在PFI
?和BGI
?中，
PIF BIG
PFI BGI
PF BG
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴PFI BGI
???,
∴PI=BI,
∴PI+PH=BI+AH=
1
2
AB,
∴HI=PI+PH =
1
2
AB=
1
10
2
?=5；
(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC ，∠B=60°． ∵AE=BD ，DQ=AB ， ∴AE+AB=BD+DQ ， ∴BE=BQ ． ∵∠B=60°，
∴△BEQ 为等边三角形， ∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ． ∵DQ=AB ， ∴BC=DQ ．
∴在△BCE 和△QDE 中，
BC DQ B Q BE QE =??
∠=∠??=?
， ∴△BCE ≌△QDE （SAS ）， ∴EC=ED ． ∴∠ECD=∠EDC. 【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.
10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，ABC ?是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线
BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ?的一条特异线，则BDC ∠= 度．
（2）如图2，ABC ?中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ?的一条特异线；
（3）如图3，若ABC ?是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．
【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；
（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；
（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC，
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD与△BCD为等腰三角形，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案为：72；
（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，
∴△EAC为等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，