(完整版)函数图像变换与基本初等函数

函数图像变换与基本初等函数

一、函数的图象与图象交换

与图象的

对称点坐标

函数解析式

对称性

关于x轴对称（x，y）与（x，－y）

关于y轴对称（x，y）与（－x，y）

关于原点对称（x，y）与（―x，―y）

关于直线y=x对

（x，y）与（y，x）

称

是偶函数，其图象关于y轴对称，图象在y 轴右侧部分与图象重合。

图象全部在x轴上方（含x轴）：保留图象在x 轴上方部分，将

图象在x轴下方部分沿x轴翻折上去。（即作出这部分关于x轴的对称图形）

基础例题

1、已知函数，且满足，则a=________。

解析：，

∴的曲线关于（1，0）点对称。

又是由y=x3左右平移得到的，易知a=－1。

2、利用图象变换画出下列函数的图象

（1）；（2）；（3）。

解析：

（1）

∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。

（2）

（3）

3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（）

A．（4，―1）B．（1，―4）C．（―4，1）D．（1，4）

解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。答案选B。

4、填空：

（1）将函数y=3x2―4x―12的图象沿向量平移后的解析式为__________。

（2）函数与的图像关于直线x=1对称，则________。

解析：

（1）∴

即

∴

（2）的图象与图象关于直线x=1对称，

即，∴

5、若函数在R 上单调递减，则的单减区间为（―2，+∞）。

解析：由复合函数单调性可知，的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。二、几个具体常见的函数

二次函数指数函数对数函数

解析式

，，2，3 ，，2，3 定义域R

R （0，+∞）值域、最值

a＞0，

a＜0，

（0，+∞）R 图象

a＞0

单调性a＞0，在

递减

a＜0，在

a＞0，递增

a＜0，递减

a＞1，递增

0＜a＜1，递减

递增

奇偶对称性b=0时偶非奇非偶非奇非偶

反函数无

1、设二次函数满足，且图象在y轴上的截距为1，截x轴所得线段的长为，求的解析式。

解析：∴图象关于x=―2对称，

∴①

图象在y轴截距为1，∴c=1 ②

截x轴所得线段长为，即的2根③

由①②③可解，b=2，c=1，

∴

2、已知函数的值域为R，求a的取值范围。

解析：的值域为R，∴u=x2―2x+a要取遍（0，+∞）

∴Δ=4―4a≥0，∴a≤1

3、比较大小：

（1）与；

（2）和；

（3）、和；

（4）和；

（5）和

（6）、和。

解析：

（1），

∴，即。

（2）α=－1.2的幂函数在（0，+∞）上单减，

0.7＞0.17，

∴

（3），，

又的幂函数在（0，+∞）上单增，

∴

∴

（4）0.5＜1 ∴

∴

（5）

∴，即。（6），，

∴

综上。

4、解关于x 的不等式

（1）（

且） （2）（

且

）

解析：

（1）若a ＞1，则2x 2－3x+1＞x 2

+2x －5，即 x ＜2或x ＞3

若0＜a ＜1，则2x 2－3x+1＜x 2

+2x －5，即2＜x ＜3 ∴a ＞1时不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞）， 0＜a ＜1时不等式解集为（2，3）

（2）若a ＞1，则x 须满足

或

若0＜a ＜1，则x 须满足

或。

三、对数运算性质及指数、对数方程 1．指、对数运算性质

对数运算

指数运算

定义

底数、真数、对数

底数、指数、幂

运算性质

恒等式

换底公式

1、计算：

（1）_______；（2）________；

（3）_________；（4）________。

解析：

（1）；

（2）；

（3）

；

（4）

。

2、已知a=lg2，b=lg3，用a、b 表示________。

解析：。

2．指、对数方程

指数方程对数方程

基本类型及解法（1）同底法

（2）换元法

（3）取对数法

（1）同底法（定义域、同解混合组）

（2）换元法

1、解下列方程：（1）；

解析：

法一，同底，原方程即，∴2x=x+1，∴x=1

法二：即，∴2x=x+1，∴x=1 法三：令，t2=2t，∴t=2 ，∴x=1

（2）；

解析：，即，∴x=1

（3）；

解析：令，则t＞0，t2+3t－18=0（t＞0），∴t=3，∴x=1 （4）；

解析：原方程相当于