初中数学因式分解

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；

例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解：222222

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(2

2ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+

=))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

综合练习：（1）3

223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）1816962

22-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

22244+-- （7）2

22y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(2

22++++++（12）abc c b a 3333-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2

+bx+c ，都要求24b ac ?=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ?=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652++x x =32)32(2?+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522

--y y (3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11 解：101132

+-x x =)53)(2(--x x 练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102+-x x （4）101162

++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -?+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2

223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、232

2+-xy y x

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -

3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a

综合练习10、（1）17836--x x （2）2

2151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a （5）

2

22265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m （7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++ （9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2---x x （2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++

解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22 =))(1(a x ax -+

=)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=2

22)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672+=++

∴原式=2

)2(x A x A ++=222x Ax A ++

=2)(x A +=22)66(++x x 练习13、分解因式（1）)(4)(2

2222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(2

2+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a

例14、分解因式（1）262234+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x

x x 设t x x =+1，则21222-=+t x

x ∴原式=[

]6)2222---t t x （

=()10222--t t x =()()2522+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x =??

? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x （2）144234+++-x x x x

解：原式=22

241(41)x x x x x -+++=??????+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x

x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --

=)31)(11(2----x

x x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x

（2）)(2122234x x x x x +++++

六、添项、拆项、配方法。