概率论与数理统计试题及答案

一.选择题（18分，每题3分）

1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ）

)(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容.

2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是； ；；。现任选4人，则4人血

型全不相同的概率为： （ ）

)(A ； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0.

3. 设~),(Y X ???<+=.,

0,

1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ）

)(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量；

)(C 不独立同分布的随机变量；

)(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数

学期望与方差分别为 （ ）

)(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与．

5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ）

)(A 32112110351?X X X ++=μ

； )(B 32129

4

9231?X X X ++=μ

； )(C 321321

6131?X X X ++=μ

； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10

)(22

2

1

2n X

i

n

i χμχ-=

∑=，其

拒域为（1.0=α） （ ）

)(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2

05.02n χχ≥.

二. 填空题（15分，每题3分）

1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则

=?)(B A P ．

2. 设随机变量X 的分布律为?

??

?

??-+c b a 4.01.02.043

2

1

，则常数c b a ,,应满足的条件 为 .

3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率

=>>),(b Y a X P .

4. 设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的

次数，则=)(Y E ，=)(Y D . 5．设),,,(21n X X X Λ是从正态总体),(~2σμN X 中抽取的样本，则 概率 =≤-≤

∑=)76.1)(37.0(2220

1

20

1

2

σσX X

P i

i .

5. 设n X X X ,,,21Λ为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 . 三. 计算题 （54分，每题9分）

1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。

2．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为

1,02,max{0,1}min{1,}

(,)0,x x y x f x y otherwise ≤≤-≤≤?=?

?

求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .

3. 已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y +=， 试求：(),(),XY E Y D Y ρ.

4. 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为，，。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。

5. 设总体X 的概率密度为??

??∈+=)

1,0(,

0)

1,0(,

)1(),(x x x x f θθθ 1θ>-为未知参数.

已知12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本。求：(1) 未知参数?的矩估计量； (2) 未知参数?的极大似然估计量； (3) )(X E 的极大似然估计量

6. 为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有5位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积，得如下数据（单位：2km ） 设测量误差服从正态分布.试检验（0.05α=）

（1） 以前认为这块绿地的面积是μ=2km ，是否有必要修改以前的结果 （2） 若要求这次测量的标准差不超过0.015σ=，能否认为这次测量的标准差

显着偏大

四. 证明题 （6分） 设12,,,,n X X X L L 是相互独立且都服从区间],0[θ上的均匀分布的随机变量序列，令1max{}n i i n

Y X ≤≤=，证明 1)(lim =<-∞

→εθn n Y P .

五．是非题（7分，每题1分）

1. 设样本空间{}4321,,,ωωωω=Ω，事件{}431,,ωωω=A ，则

75.0)(=A P . （ ）

2. 设n 次独立重复试验中，事件A 出现的次数为X ，则 5n 次独立重复试验中，

事件A 出现的次数未必为5X . （ ） 3．设a , b 为常数，F (x )是随机变量X 的分布函数. 若F (a ) < F (b ),

则 a < b . （ ） 4. 若随机变量)5.0;1,0;1,0(~),(-N Y X ，则 )1,0(~N Y X + （ ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （ ） 6. 若随机变量),(~m m F X ，则概率)1(≤X P 的值与自然数m 无关. （ ） 7．置信度α-1确定以后，参数的置信区间是唯一的. （ ）

附 分布数值表

99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ

0150

.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t

711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ

一. 选择题（15分，每题3分） [ 方括弧内为B 卷答案 ]

C A C A

D . . [ A D B C A ] 二. 填空题（18分，每题3分）

1. 6

2.0 [84.0]； 2..

0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且

[0,3.0,2.0,4.0≥-≥≤=+-c b a c a b 且]；

3.

),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+

[)22,(),6()22,6(1+∞-∞+-+F F F ]；

4. 4/,2/m m [ 4/,2/n n ] ；

5. 985.0 [)1(-+

m t m

S X α]； 6. )1(--

n t n

S X α [98.0].

五. 是非题（7分，每题1分）

非 非 是 是 是 是 非. [ 是 非 是 非 非 非 是 ] 三. 计算题（54分，每题9分）

1． 解：令 A={抽出一球为白球}， t B ={盒子中有t 个白球}，12,,2,1,0Λ=t . 由已知条件，131)(=

t B P ，12)(t

B A P t =,12,,2,1,0Λ=t ， [ 111)(=t B P ,10

)(t

B A P t =,10,,2,1,0Λ=t ] （3分）

由全概率公式，∑∑====12012

012131)()()(t t t t t B A P B P A P , [∑==100

10111)(t t

A P ] （3分） 由Bayes 公式，13

2

)

()

()()(12

12

13

1

131121212=

=

=

∑

=t t A P B A P B P A B P . [ 112)(10=A B P ] (3分)

2. 解： ,

01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤

=-≤≤?

??

[1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈?=??? （4分）] （5分）

1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈?=?

?? [,

01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤

=-≤≤???

（5分）] （4分） 3．解： 11111

(),()()()222020

E X E Y E X E Z =

=+=+=

（3分）

cov(,)(())()()

1

()12

X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==

11101()()()()1212001200D Y D X Z D X D Z =+=+=

+=

[150

13

] （3分）

1

XY

ρ==2625] （3分） 4．解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i =L ，则总价200

1

i

i X X

==∑ （1分）

() 4.6,

()0.19i i E X D X == （2分）

2001

()()200 4.6920i

i E X E X ==

=?=∑.

200

1

()()2000.1938i

i D X D X ==

=?=∑. （2分）

(910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=?-=

[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] （4分）

5．解：（1） 矩估计量 12?1X X θ

-=- [ ?1X X

θ

=- ] （3分） （2） 极大似然估计量 1

1?11

ln n

i i X n θ==--∑ [1

1?1

ln n

i i X n θ

==-∑] （3分）

（3） )(X E 的极大似然估计量

∑=-=++=n i i

n X X E 1

1ln 11

2

?1?)(?θθ [ 1

ln 1

1??)(?1

1

-=+=∑=n

i i

n

X

X E θθ ] （3分）

7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. [ 01: 1.20;: 1.20H H μμ=≠ ] （1分） 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--=

n t n

S X T μ （3分）

0.0252

(1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-?+∞ （3分）

221.246,0.0288x s ==， [ 22

1.23,0.0224x s == ]

0 1.242T W =?，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ] （2分）

（2）假设 2222

01:0.015;:0.015H H σσ=>. （1分）

当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσχ （3分）

22

0.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. （3分）

2014.86W χ=∈，拒绝0H . （2分）

四．证明题

证： ????∈=],0[,0],0[,/1)(~θθθx x x f X i 0,0

(),01,1

x x F x x x θθ

=≤

1max{}n i i n

Y X ≤≤=的密度为 1,[0,]()0,[0,]

n n n

Y ny y f x y θθθ-?∈?

=????

（3分）

0ε?>

1

1

||0

0(||)()

(1)0,

n n n n

n

y n

n n

ny ny P Y dy dy

as n θε

θε

θεθ

θ

θεεθθ

----≥

<-≥==

-==-→→∞

??

即0)(lim =≥-∞

→εθn n Y P ， 所以 1)(lim =<-∞

→εθn n Y P . （3分）