2020高考 二轮总复习专题三 力学中的曲线运动 作业(解析版)

专题强化训练(三)

一、选择题(共11个小题，1～5为单选，6～11为多选，每题5分，共55分)

1．如图所示为用绞车拖物块的示意图．拴接物块的细钢绳被缠绕在轮轴上，轮轴逆时针转动从而拖动物块．已知轮轴的半径R＝1 m，细钢绳始终保持水平．被拖动物块质量m＝1×103 kg，与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，轮轴的角速度随时间变化的关系是ω＝2t rad/s，取g ＝10 m/s2.下列判断正确的是( )

A．物块做匀速直线运动

B．物块做匀加速直线运动，加速度大小是2 m/s2

C．钢绳对物块的拉力是5×103 N

D．钢绳对物块的拉力是8×103 N

答案 B

解析由题意知，物块的速度为：v＝ωR＝2t×1＝2t，又v＝at，故可得：a＝2 m/s2，质点做加速运动，故A项错误，B项正确；由牛顿第

二定律可得：物块所受合外力为：F ＝ma ＝1×103×2 N ＝2×103 N ，F ＝T －f ，地面摩擦阻力为：f ＝μmg ＝0.5×103×10 N ＝5 000 N ，故可得物块受绳子拉力为：T ＝f ＋F ＝5 000 N ＋2 000 N ＝7 000 N ，故C 、D 两项错误．故选B 项．

2．如图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )

A.433

m/s B ．2 m/s C.833

m/s D ．4 m/s 答案 B

解析 要使小船避开危险区沿直线到达对岸，则有合运动最大位移为1002＋（1003）2 m ＝200 m ，设小船安全到达河岸的合速度与水

流速度的夹角为θ，即有tan θ＝100

1003＝33

，所以θ＝30°，又已知流

水速度，则可得小船在静水中最小速度为：v 船＝v 水sin θ＝4×12

m/s ＝2 m/s ，故B 项正确，A 、C 、D 三项错误．故选B 项．

3．如图所示，相对且紧挨着的两个斜面固定在水平面上，倾角分别为α＝60°，β＝30°.在斜面OA 上某点将a 、b 两小球分别以速度v 1、v 2同时向右水平抛出，a 球落在M 点、b 球垂直打在斜面OC 上的N 点(M 、N 在同一水平面上)．不计空气阻力，则v 1、v 2的大小之比为( )

A ．1∶2

B ．2∶3

C ．3∶4

D ．3∶5

答案 A

解析 由题可知两小球做平抛运动下落的高度相同，根据h ＝12

gt 2可知两小球做平抛运动的时间相同，设为t ，由题意及几何关系可知，小球a 落在斜面上时，位移方向与水平方向的夹角为60°，小球B 落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为60°，根据平抛运动规律有：

对小球a ：tan60°＝12gt 2v 1t ＝gt 2v 1，可得v 1＝gt 23

对小球b ：tan60°＝gt v 2，可得v 2＝gt 3 所以v 1v 2＝12

，故A 项正确，B 、C 、D 三项错误．故选A 项． 4．北京时间2018年12月8日凌晨2时23分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”是中国航天向前迈进的一大步，它向着月球背面“进军”，实现了人类历史上首次在月球背面留下“足迹”，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知万有引力常量为G ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r ，绕月周期为T ，根据以上信息判断下列说法正确的是( )

A ．月球质量为M ＝4π2R 3

GT 2 B ．月球的第一宇宙速度为v ＝gr

C ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为v ＝GM r

D ．“嫦娥四号”在环绕月球表面的圆轨道运行时，处于完全失重状态，故不受重力

答案 C

解析 “嫦娥四号”在环绕月球表面的圆轨道运行时，由万有引力提

供向心力，则G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则得月球的质量M ＝4π2r 3

GT 2，故A 项错误；根据重力等于向心力得mg ＝m v 2R

，则得月球的第一宇宙速度为v ＝gR ，故B 项错误；由万有引力等于向心力，得G Mm r 2＝m v 2r

，得“嫦娥四号”绕月运行的速度为v ＝GM r

，故C 项正确；“嫦娥四号”在环绕月球表面的圆轨道运行时，处于完全失重状态，仍受重力，由重力提供向心力，故D 项错误．故选C 项．

5．在中轴线竖直且固定的光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接了一轻绳，与一质量为m 的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触，如图所示，图a 中小环与小球在同一水平面上，图b 中轻绳与竖直轴成θ角，设图a 和图b 中轻绳对小球的拉力分别为T a 和T b ，圆锥内壁对小球的支持力分别为N a 和N b ，则在下列说法中正确的是

( )

A．T a一定为零，T b一定为零

B．T a可以为零，T b可以为零

C．N a一定不为零，N b一定不为零

D．N a可以为零，N b可以为零

答案 B

解析对图a中的小球进行受力分析，小球所受的重力与支持力的合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以T a可以为零，若N a等于零，则小球所受的重力及绳子拉力的合力方向不能指向圆心而提供向心力，所以N a一定不为零；对图b中的小球进行受力分析，若T b为零，则小球所受的重力与支持力的合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以T b可以为零，若N b等于零，则小球所受的重力及绳子拉力的合力方向也可以指向圆心而提供向心力，所以N b可以为零，故B项正确，A、C、D三项错误．

6．北京时间4月10日21点整，由事件视界望远镜(EHT)捕获的人类首张黑洞照片问世．探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规

律．双星系统是由宇宙中一些离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用的两颗星组成的．已知某双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L 同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G.下列说法正确的是( )

A ．星体1、2做圆周运动的半径之比为1∶2

B ．双星系统运动的周期为2πL L 3Gm

C ．两星体做圆周运动的速率之和为

3Gm L D ．若在它们做圆周运动的圆心处放入一星球，该星球一定处于静止状态

答案 BC

解析 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，

向心力大小相等，则有：F ＝G m ·2m L 2＝mr 1ω2＝2mr 2ω2.则r 1r 2＝21

，故A 项错误；因为T ＝2πω

，代入上式解得T ＝2πL L 3Gm ，故B 项正确；根据v ＝r ω，知v 1＋v 2＝ωr 1＋ωr 2＝ωL ＝2πT L ＝3Gm L

，故C 项正确；若在它们做圆周运动的圆心处放入一星球，此星体受两个星体的引力大小不相等，所以不能静止，故D 项错误．故选B 、C 两项．

7．近年来，我国航天事业取得长足进步，相信不久的将来，我国宇航员将到达火星．若宇航员在距火星表面高h 处将一物体(视为质点)以初速度v 0水平抛出，测得抛出点与着落点相距2h ，已知火星的半

径为R ，自转周期为T ，万有引力常量为G ，不计大气阻力．下列说法正确的是( )

A ．火星表面的重力加速度为g ＝2v 023h

B ．火星的质量约为M ＝2v 02R 23Gh

C ．火星的第一宇宙速度为v ＝3R 2h v 0

D ．火星的同步卫星的高度为H ＝3v 02R 2T 2

6π2h

答案 AB

解析 平抛的水平位移为：x ＝（2h ）2－h 2＝3h ，竖直方向有：h ＝12gt 2，水平方向有：x ＝v 0t ，联立得：g ＝2v 02

3h

，故A 项正确；火星表面物体重力等于万有引力，有：mg ＝G Mm R

2，得火星的质量为：M ＝gR 2G ＝2v 02R 2

3Gh

，故B 项正确；根据第一宇宙速度公式v ＝gR 得：v ＝2v 02R 3h ＝2R 3h v 0

，故C 项错误；火星的同步卫星的周期等于火星的自转周期T ，根据万有引力提供向心力有：G Mm （R ＋H ）2＝m 4π2

T

2(R ＋H)，解得：H ＝3GMT 24π2－R ＝3v 02R 2T 2

6π2h

－R ，故D 项错误．故选A 、B 两项．

8.如图所示是宇宙空间中某处孤立天体系统的示意图，位于O点的一个中心天体有两颗环绕卫星，卫星质量远远小于中心天体质量，且不考虑两卫星间的万有引力．甲卫星绕O点做半径为r的匀速圆周运动，

乙卫星绕O点的运动轨迹为椭圆，半长轴为r，半短轴为r

2

，甲、乙均沿顺时针方向运转．两卫星的运动轨迹共面且交于M、N两点．某时刻甲卫星在M处，乙卫星在N处．下列说法正确的是( )

A．甲、乙两卫星的周期相等

B．甲、乙两卫星各自经过M处时的加速度大小相等

C．乙卫星经过M、N处时速率相等

D．甲、乙各自从M点运动到N点所需时间之比为1∶3

答案ABC

解析椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，故A项正确；甲、乙在M点都是由万有引力产生加速度，M点距O点距离一定，故加速度大小相等，故B 项正确；乙卫星在M、N两点时距O的距离相同，卫星的引力势能

相等，根据机械能守恒可知，乙卫星在M 、N 两点的动能相同即速率

相等，故C 项正确；甲卫星从M 到N ，根据几何关系可知，经历16

T ，而乙卫星从M 到N 经过远地点，据开普勒定律卫星在远地点运行慢，

近地点运行快，故可知乙卫星从M 到N 运行时间大于12

T ，而从N 到M 运行时间小于12

T ，故甲、乙各自从M 点运动到N 点的时间之比不为1∶3，故D 项错误．

9.在光滑的水平面上，一滑块的质量m ＝2 kg ，在水平面上恒定外力F ＝4 N(方向未知)作用下运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P 、Q 两点时速度大小均为v ＝5 m/s ，滑块在P 点的速度方向与PQ 连线夹角为α＝37°，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是( )

A ．水平恒力F 的方向与PQ 连线成53°夹角

B ．滑块从P 到Q 的时间为3 s

C ．滑块从P 到Q 的过程中速度最小值为4 m/s

D ．P 、Q 两点连线的距离为10 m

答案 BC

解析 在P 、Q 两点的速度具有对称性，故分解为沿着PQ 方向和垂直PQ 方向，在沿着PQ 方向上做匀速直线运动，在垂直PQ 方向上做匀变速直线运动，所以力F 垂直PQ 向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ 方向的速度，故有：v min ＝vcos37°＝4 m/s ，故A 项错误，C 项正确；把P 点的速度分解在沿水平力F 和垂直水平力F 两个方向上，沿水平力F 方向上滑块先做匀减速后做匀加速直线运动，有

a ＝F m ＝2 m/s 2，当F 方向速度为零时，时间为：t ＝v ⊥a ＝5×sin37°2

s ＝1.5 s ，根据对称性，滑块从P 到Q 的时间为：t ′＝2t ＝3 s ，PQ 连线的距离为s ＝vcos37°·t ′＝12 m ，故B 项正确，D 项错误．

10.如图所示，斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出，恰好垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )

A ．小球打到斜面上的时间为3v 0g

B ．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h 和v 0成正比关系

C ．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h 和v 0的平方成正比关系

D ．若高度h 一定，现小球以不同的v 0平抛，落到斜面上的速度最小值为（21－3）gh

答案 ACD

解析 设小球打到斜面上的时间为t ，恰好垂直打在斜面上，根据几

何关系可得tan60°＝v y v 0＝gt v 0，解得t ＝3v 0g

，故A 项正确；要让小球始终垂直打到斜面上，小球平抛运动的水平位移x ＝v 0t ，y ＝12

gt 2，小球落在斜面上，根据几何关系得，tan30°＝h －y x ，代入t ＝3v 0g

解得h ＝5v 02

2g

，h 和v 0的平方成正比关系，故B 项错误，C 项正确；小球落在斜面上时的竖直分速度v y ＝2gy ，v x ＝x t

＝x g 2y ，由于tan30°＝h －y x ，速度v ＝v x 2＋v y 2，联立解得v ＝g ? ??

???3h 22y ＋7y 2－3h ，根据数学知识可知，积一定，当二者相等时，和有最小值，故最小值为（21－3）gh ，故D 项正确．

11.如图所示，长度为l 的轻杆上端连着一质量为m 的小球A(可视为质点)，杆的下端用铰链固接于水平面上的O 点．置于同一水平面上

的立方体B 恰与A 接触，立方体B 的质量为M.今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A 与B 刚脱离接触的瞬间，杆与地

面的夹角恰为π6

，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )

A ．A 与

B 刚脱离接触的瞬间，A 、B 速率之比为2∶1

B ．A 与B 刚脱离接触的瞬间，B 的速率为v B ＝

gl 4

C ．此时杆对A 的弹力为零

D ．A 、B 质量之比为1∶4

答案 ACD

解析 A 与B 刚脱离接触的瞬间，A 的速度方向垂直于杆，水平方向的分速度与B 速度大小一样，设B 运动的速度为v B ，则v A cos60°＝v B ，因此，v A ∶v B ＝2∶1，故A 项正确；根据牛顿第二定律：mgsin30°

＝m v A 2

l ，解得：v A ＝gl 2，又v A ∶v B ＝2∶1，可知：v B ＝gl 8，故B 项错误；分离时刻，小球只受重力，弹力为零，故C 项正确；根据A

与B 脱离之前机械能守恒可知：mgl(1－sin30°)＝12mv A 2＋12

Mv B 2，解得：m ∶M ＝1∶4，故D 项正确．

二、计算题(共3个小题，12题12分，13题15分，14题18分，共45分)

12.我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高度为h 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小及向心加速度大小分别是多少？

答案 R g R ＋h g ? ??

???R R ＋h 2 解析 在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：

mg ＝G Mm R

2 得：GM ＝R 2g ，

根据万有引力提供向心力有：G mM （R ＋h ）2＝mv 2

R ＋h

， 得v ＝GM R ＋h ＝R 2g R ＋h ＝R g R ＋h

； 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得卫星所在处的加速度，

G mM （R ＋h ）2

＝ma ， 得a ＝GM （R ＋h ）2＝R 2g （R ＋h ）2＝g ? ?????R R ＋h 2. 13．如图甲所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A 和B ，m A ＝4 kg ，m B ＝1 kg ，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为r A ＝0.1 m ，r B ＝0.2 m ，中间用细线相连，A 、B 与盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，f A 表示物体A 与圆盘之间的摩擦力，取g ＝10 m/s 2.求：

(1)细线中出现张力时，圆盘转动的角速度ω1；

(2)A、B两物体相对圆盘将要滑动时，圆盘转动的角速度ω3；

(3)在坐标图乙中分别画出A、B两物体滑动前，f A随ω2变化的关系图象．

答案(1)10 rad/s (2)50 rad/s (3)如图所示

解析(1)绳子拉力T＝0，

随着圆盘转速的增加，当ω达到ω1时，物块B达到最大静摩擦力，

f B＝μm B g＝m Bω12r B，得ω1＝10 rad/s.

(2)随后，绳子有拉力T

A物块：f A＋T＝m Aω2r A

B物块：μm B g＋T＝m Bω2r B

得：f A＝(0.2ω2＋2) N

当ω＝ω2，f A＝μm A g，ω2＝30 rad/s

当ω>ω2，绳子的拉力持续增大，以提供两个物体的向心力，此时，A 的摩擦力是最大静摩擦力，物块B所受到的摩擦力逐渐减小，直至反向最大，

当ω＝ω3，对A ：μm A g ＋T ＝m A ω32r A

对B ：T －μm B g ＝m B ω32r B ，

解得：ω3＝50 rad/s.

(3)综上所述f A 随ω2变化的分段函数为

f A ＝???（0.4ω2） N 0≤ω<10 rad/s （0.2ω＋2） N 10 rad/s ≤ ω≤

30 rad/s 8 N 30 rad/s< ω≤50 rad/s

图见答案．

14.如图所示，长为3l 的不可伸长的轻绳，穿过一长为l 的竖直轻质细管，两端拴着质量分别为m 、2m 的小球A 和小物块B ，开始时B 先放在细管正下方的水平地面上．手握细管轻轻摇动一段时间后，B 对地面的压力恰好为零，A 在水平面内做匀速圆周运动．已知重力加速度为g ，不计一切阻力．

(1)求A 做匀速圆周运动时绳与竖直方向的夹角θ；

(2)求摇动细管过程中手所做的功；

(3)轻摇细管可使B 在管口下的任意位置处于平衡，当B 在某一位置平衡时，管内一触发装置使绳断开，求A 做平抛运动的最大水平距离．

答案 (1)45° (2)mgl ? ?????1－24 (3)2l

解析 (1)B 对地面刚好无压力，故此时绳子的拉力为

T ＝2mg

对A 受力分析，在竖直方向合力为零，故Tcos θ＝mg

解得：θ＝45°.

(2)对A 球，根据牛顿第二定律可知Tsin θ＝mv 2

lsin θ

解得：v ＝22gl 故摇动细管过程中手所做的功等于小球A 增加的机械能，故有：

W ＝12mv 2＋mgl(1－cos θ)＝mgl ?

?????1－24. (3)设拉A 的绳长为x(l ≤x ≤2l)

Tsin θ＝mv 2

xsin θ，解得v ＝22

gx A 球做平抛运动下落的时间为t ，则有：

2l －xcos θ＝12

gt 2

解得：t＝2

?

?

?

?

?

?2l－

2

2

x

g

水平位移为：x＝vt＝x（22l－x）当x＝2l时，位移最大，为x＝2l.