导数与微分单元归纳
学科：数学
教学内容：导数与微分单元达纲检测
【知识结构】
【内容提要】
1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念．
函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x
y
??的极限，即
x
x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?)
()(lim
lim
)('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．
3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ．
微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx
dy
x f =
)('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1
Q m mx
x m m
∈=-；
(sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x
x e e =)'(， a a a x
x
ln )'(=；
x x 1)'(ln =
， e x
a x
a log 1)'(log =。
(2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0('
''2
≠-=
??
? ??v v
uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=，
则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
(1)切线的斜率
根据导数的几何意义，函数f(x)在点0x 处的导数就是曲线f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。 (2)函数的单调性
当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f ＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f ＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。 (3)函数的极值
对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；
1°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么，)(0x f 是极大值； 2°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么，)(0x f 是极小值.
可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数
3)(x x f =，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．
(4)函数的最值
闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为： 1°．求函数f(x)在(a ，b)内的极值；
2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【难题巧解点拨】 例1 已知函数)
2lg()(ax a x f -=（a>0且a ≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a 的取
值范围。
分析
因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f ′(x)<0。由不等式f ′(x)<0求出a 的取值范围。 解 0lg 21)(')
2lg(<-?
=-a a
x a
x f ax ，
由0)
2lg(>-ax a
得
?????>-<020lg a x a （1） 或??
??
?<->020lg a x a （2） ∵0≤x ≤1，∴不等式（1）无解 因而知a>1，又由a
x 2
< ∴1 点拨 本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。 例2 若不等式a x x ->-243 4 对任何实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 分析 要使原不等式对一切实数x ∈R 均成立，只要3 44x x -的最小值大于2－a 。问题归结为求3 44x x -在区间（－∞，+∞）上的最小值。 解 令3 4 4)(x x x f -=，则)3(4124)('2 2 3 -=-=x x x x x f 。 令f ′(x)=0，得x=0或x=3。 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下： 由表可知3 44)(x x x f -=的最小值为－27。 从而－27>2－a ，故a>29。 点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a 【课本习题解答】 复习参考题三（P145） A 组 1．（1）33'2 -=x y ； （2）x x x y 2121'+ = ； （3）2 3223) 1()23(3)1)(26('-----=x x x x x x y （4）)32)(12()43(4'2 2 +-+-+=x x x x x y ； （5）)13()2(6)13()2(3'3 2 2 +-++-=x x x x y )35)(13()2(32 -+-=x x x ； （6）1 2)85)(4()4(121 2)4('2+++= +++++= x x x x x x x y 。 2．（1）x x x y 2 sec 2tan 2'+=； （2）) 1(sin ) 1cos()1()1sin('2-----= x x x x y ； （3）x e x e y x x sin cos 2'22-=； （4）2 323) 1(] 3ln )1[('+-+=x x a x a y x ； （5）4 )42()442(4 4424 2'2 2 2 22 2 22 +++++= +-+-? ++=x x x x x x x x x x y ； （6）x x x y sin cos 1'++= 。 3．（1）提示：由y ′=0，得所求点为?? ? ??313, 31 （2）提示：由y ′=1，得所求点为?? ? ??417, 61。 4．提示：由y ′=0，得切点的横坐标为 2 P x -=；又由y=0，得 0442=-P P 。 5．提示：由12-=x y ，得x y x 2'=；由3 1x y -=，得23'x y x -=。 （1）由2 0032x x -=，得00=x 或3 20- =x ； （2）由1)3()2(2 11-=-?x x ，得3 16 1 = x 。 6．提示：割线斜率为5，由y ′=5，得所求点为（2，5）。 7．（1）dx x x dy )2(42 -=； （2）dy=2sinx cosxdx ； （3）dx x x dy x ??? ? ??+=x 2ln2 ln 2； （4）dx x x dy cos sin 1 = 。 8．质点的速度为16 13 7。 9．（1）由S=0，得01=t ，82=t ； （2）由S ′=0，得01=t ，42=t ，83=t 。 10．（1）当x ∈R 时，y 是减函数。 （2）当x ∈(－∞，－1)时，y 是减函数；当x ∈(－1，0)时，y 是增函数；x ∈(0，2) 时，y 是减函数；当x ∈(2，+∞)时，y 是增函数。 （3）当x ∈(－∞，－1)时，y 是增函数；当??? ?? -∈31,1x 时，y 是减函数；当?? ? ??+∞∈,31x 时，y 是增函数。 11．（1）8)1(==f y 极大值，26)3(-==f y 极小值。 （2）92)4(=-=f y 极大值，16)2(-==f y 极小值。 （3）24)2(-=-=f y 极大值，24)2(==f y 极小值。 （4）0)0(==f y 极小值。 12．（1）y 的最大值是8，最小值是－1； （2）y 的最大值是2，最小值是－10； 13．提示：如图ABCD 是球内接圆柱的轴截面，BD=2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径22x R 421r -= ，圆柱的体积)R 2x 0(x )x R 4(4 x r )x (V 222<<-π =π=。令0)x 3R 4(4 )x ('V 22=-π = ，解得R 332x =（负值舍去）。 因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为 R 3 3 2时，球内接圆柱的体积最大。 （2）提示：如图，△ABC 是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高AD 为x ，则圆锥底面 半径)x R 2(x r -= ，圆锥的体积)R 2x 0)(x R 2(x 3 x r 31)x (V 22<<-π =π=。 令)x 3Rx 4(3)x ('V 2 -π=，解得 R 3 4 x =（负值舍去）。 因为V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为 R 3 4 时，球内接圆锥的体积最大。 14．提示：设靠墙的边长为x ，则垂直于墙的边)x 40(2 1 a -=， 矩形的面积)40x 0)(x 40(x 2 1 )x (S <<-=。 令S ′(x)=20－x=0，解得x=20。因为S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为20m 时，围成的场地面积最大。 15．提示：设圆半径为x ，如果矩形高记作h ，那么窗户面积hx 22x s 2 +π=，窗户周长x s x x x x s x x h x x x l ++=-++=++=22422 222)(2ππππ。 令0x s 22)x ('l 2=-+π= ，解得42+= πs x （负值舍去）。因为l(x)只有一个极值，因此4x x 2x += 为最小值点，相应地，14444x 4s 2x 4x s 2x h 2 22=π -+π=π-=π-=，所以圆半径与矩形高的比为1时，窗户周长最小。 B 组 1．（1）x 7cos x 4cos x 3sin 12'y 2 3 =； （2）2 x 2 x e e 'y - -=； （3）a ln a 2'y 1 x 2+=； （4）2 ) 1x (x ln 'y += ； （5）) ax 2x (ax 2x a 'y 2 2 2 --- =； （6）22a x 'y +=。 2．（1）当x ∈（－∞，0）与x ∈(0，+∞)时，y 是减函数。 （2）当x ∈(－∞，－3)，x ∈(－3，3)与x ∈(3，+∞)时，y 是减函数。 （3）当x∈(0，+∞)时，y是增函数。 3．（1）? ? ? ? ?π - = + π - = ? ? ? ? ?π - = 6 7 f y, 2 3 12 11 6 11 f y 极小值 极大值 2 3 12 5 6 5 f- π = ? ? ? ? ?π =。 （2）1 4 7 4 7 f y- π - = ? ? ? ? ?π - = 极小值 ，1 4 4 f y+ π - = ? ? ? ? ?π - = 极大值 ， 1 4 4 f y- π = ? ? ? ? ?π = 极小值 ，。 4．（1）提示：y=f(x)的定义域为（－∞，+∞）。 令0 )1 x( 4 x4 'y 2 2 2 = + + - =，解得x=－1，1。 而f(－1)=－2，f(1)=2， 且0 )x(f lim x = ∞ → ， 所以y的最大值为2，最小值为－2。 （2）提示：y=f(x)的定义域为[－1，1]。 令0 x 1 x2 1 'y 2 2 = - - =，解得 2 2 x± =。 而 2 1 2 2 f- = ? ? ? ? ? ? -， 2 1 2 2 f= ? ? ? ? ? ? ， 端点的函数值为f(－1)=0，f(1)=0， 所以y的最大值是 2 1 ，最小值是－1。 5． （1）提示：令0 )1 ( 1 2 ' 2 2 2 = + + + - = x x x y，解得x=1±2。 而21 2)21(--= -f ，2 1 2)21(-=+f 端点的函数值f(0)=－1，17 3)4(= f ， 所以y 的最大值是 2 1 2-，最小值是－１。 （2）提示：令0x 1 1'y 2 =-=，解得x=1（负值舍去）。 而f(1)=2。 端点的函数值为f(0.01)=100.01，f(100)=100.01， 所以y 的最大值是100.01，最小值是2。 （3）提示：当x ∈(0，4)时，0x 11'y >+ =， y=f(x)是增函数。 端点的函数值为f(0)=0，f(4)=8， 所以y 的最大值是8，最小值是0。 （4）提示：令y ′=2cos2x －1=0解得6 x π±=。 而6236f π+- =??? ??π- ，6236f π-=?? ? ??π。 端点的函数值为22f π=??? ??π-，22f π-=?? ? ??π， 所以y 的最大值是 2π，最小值是2 π -。 6．提示：汽车与气球之间的距离是 t 1050)t (S 22+= 2610)t ('S =。 lh 后它们彼此分离的速度为h /km 2610。 【同步达纲练习】 一、选择题 1．函数)0(ln )(>= x x x x f ，则（ ） A ．在（0，10）上是减函数。 B ．在（0，10）上是增函数。 C ．在（0，e ）上是增函数，在（e ，10）上是减函数。 D ．在（0，e ）上是减函数，在（e ，10）上是增函数。 2．设f(x)在0x x =处可导，且1) ()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ， 则)('0x f 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．2 1 3．函数1 42 += x x y （ ） A ．有极大值2，无极小值。 B ．无极大值，有极小值－2。 C ．极大值2，极小值－2 D ．无极值。 4．函数)1|(|3)(3 <-=x x x x f （ ） A ．有最大值，但无最小值。 B ．有最大值，也有最小值。 C ．无最大值，也无最小值。 D ．无最大值，但有最小值。 5．函数2 3 4 323)(x x x x f --=（ ） A ．有最大值2，最小值－2。 B ．无最大值，有最小值－2。 C ．有最大值2，无最小值 D ．既无最大值，也无最小值。 6．给出下面四个命题（ ） （1）函数)11(452≤≤-+-=x x x y 的最大值为10，最小值为4 9- 。 （2）函数)42(1422 <<+-=x x x y 的最大值为17，最小值为1。 （3）函数)33(123 <<--=x x x y 的最大值为16，最小值为－16。 （4）函数)22(123 <<--=x x x y 无最大值，也无最小值。 其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设?? ? ? ?++=22 11x x x x y ，则y ′=（ ） A ．32112x x x -- B ．2 2 13x x - C ．x x x ln 4 4 ++ D ．132+x 8．设y=f(cosx)是可导函数，则dy=（ ） A ．f ′(sinx)dx B ．f ′(cosx)dx C ．f ′(sinx)·sinxdx D ．－f ′(cosx)·sinxdx 9．过点（2，0）且与曲线x y 1 = 相切的直线方程是（ ） A ．x+4y －2=0 B ．x －4y －2=0 C ．x+y －2=0 D ．x －y －2=0 10．函数??? ? ?+ =44sin 3)(πx x f 在]2 ,0[π 内（ ） A ．只有一个最大值。 B ．只有一个最小值。 C ．只有一个最大值或只有一个最小值。 D ．既有一个最大值又有一个最小值。 11．函数y=(2k －1)x+b 在R 上是单调递减函数，则k 的取值范围是（ ） A ．??? ?? ∞-21, B ．?? ? ??+∞,21 C ．??? ??-∞-21, D ．?? ? ??+∞- ,21 12．函数)ln(2 x x y +=的单调递增区间是（ ） A ．?? ? ??+∞- ,21 B ．（0，+∞） C ．?? ? ? ? --21,1和（0，+∞） D ．（－∞，－1）和?? ? ??-0,21 二、填空题 13．曲线334x y = 在点__________处切线的倾斜角为4 π。 14．函数x x y ln 82 -=的单调递增区间是__________。 15．过抛物线2 x y =上点__________的切线和直线3x －y+1=0构成45°角。 16．函数)40(22< ? ??-=x x x y 的最大值是__________。 三、解答题 17．过曲线)0,0(14 22 ≥≥=+y x y x 上一点引切线，分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A 、B 两点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。 18．物体的运动方程是122 3 -+=t t S ，当t=2时，求物体的速度及加速度。 19．求函数21lg x y -=的单调区间。 20．设x bx x a y ++=2 ln 在x=1在x=2时都取得极值，试确定a 与b 的值；此时 f(x)在x=1处取得的是极大值还是极小值？ 21．已知正三棱柱的体积为V ，试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。 22．有一印刷器的排版面积（矩形）为2 432cm ，左、右各留4cm 宽的空白，上、下 . 各留3cm 宽的空白。应如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ 参考答案 【同步达纲练习】 一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．??? ??61,21和??? ??--61,21 14．??? ??+∞,41 15．（－1，1）或?? ? ??161,41 16．2 三、解答题 17．设|AB|=l ，切点为)y ,x (P 00 ∵x ≥0，y ≥0 ∴4 x 1y 2 -=，∴004|'0y x y x x -==， 则所求切线方程为)0y ,0x (04y y 4x x 0000>>=-+。 切线在x 轴，y 轴上的截距分别为 0x 4，0 y 1 。 ∴20 202 116y x l += 又)y ,x (P 00在曲线上，∴4 x 1y 20 20 -=。 ∴)2x 0(x 44x 16l 020 202 <<-+= ∴2200302 ) x 4(x 8x 32)'l (-+- =，令0)'l (2 =， 解得3 6 2x 0= 。 ∵在（0，2）内2l 只有一个导数为零的点，经验证知，在3 6 2x 0=这点，2l 取得极小值，也是最小值。 ∴当362x 0= 时，2l 最小值为9， ∴l 最小值为3，此时33 y 0=，∴切点为???? ??33,3 62。 18．t t s t v 43')(2 +==， a(t)=v ′=6t+4， 当t=2时，v(2)=20， a(2)=16。 19．∵0x 12 >-，∴－1 ∴函数定义域为（－1，1） ∵)x 1lg(2 1 y 2-= ∴1 x e lg x e lg x 1x 221'y 2 2-=--?=， 令y ′>0，得－1 又函数定义域为（－1，1），∴－1 ∴函数在（－1，0）上是增函数，在[0，1）上是减函数。 20．∵1bx 2x a 'y ++= ， 由已知x=1与x=2是函数的极值点， ∴?????=++=++0142012b a b a ，解得??? ????-=-=61b 3 2a ∴13 x x 32'y +-- = 当x<1时，y'<0，当kx<2时y'>0， ∴函数f(x)在x=1处取得的是极大值。 21．设正三棱柱底面边长为x ，则底面面积为 2 x 4 3，设正三棱柱高为h ，由h x 43V 2= ，得2x 3V 4h =，于是柱体表面积)0x (x V 34x 23S 2>+=， 由0)V 4x (x 3x V 34x 3'S 3 2 2=-=- = ， 得3V 4x =。 ∵在x>0条件下，只有一个极值点， ∴当底面边长为V 43时，柱体表面积最小。 22．解法一：设排版部分矩形长x ，宽y ，则xy=432(x>0，y>0）， 用纸面积)6y )(8x (S ++= 4886+++=y x xy 768480y 482480y 8x 6=+≥++=， 当且仅当6x=8y ，即x=24，y=18时， 768S =最小值。 解法二：如上所设x 432 y = ，则用纸面积为 )0x (480x 3456 x 6S >++ = ∵03456 6'2 =-=x S 解得x=24 而导函数在开区间内只有一个极值点，所以它必为最值点， ∴当x=24，y=18时，用纸量最少为768。