抽屉原理

网易新闻

微博

邮箱

闪电邮

相册

有道

手机邮

印像派

梦幻人生

更多博客博客首页

博客话题

热点专题

博客油菜地

找朋友

博客圈子

博客风格

手机博客

短信写博

邮件写博

博客复制摄影摄影展区

每日专题搜博文搜博客随便看看关注此博客选风格不再艰难搬家送Lomo卡片注册登录显示下一条| 关闭86012747lktd的博客andrsw@https://www.360docs.net/doc/5b1846655.html, QQ：86012747

导航

首页日志相册音乐收藏博友关于我日志86012747

加博友关注他

最新日志

倒推法解题数的整除奇数、偶数质数、合数小学数学思维训练5-5.组合图小学数学思维训练5-6.公约数博主推荐

相关日志

随机阅读

7大细节破译男人是否来电？破解《黎明之前》口碑形成之谜收租婆的忧伤谁人知？禁看湖南卫视引发的大哭与大笑独家:超闪亮水晶配饰BlingBling惹人爱Selina剃头俞灏明植皮偶像明星也难做首页推荐

毛利:烂人完美标本游资为什么炒作农产品？美国人忙着捡便宜兽兽亮相车展遭围攻洗澡时发现婆婆是双性恋为何有些物种要变性更多>>

抽屉原理抽屉原理习题(初一）

抽屉原理习题默认分类2008-04-17 16:03:44 阅读217 评论0 字号：大中小订阅

简单

1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。

2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。

3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中，

(1)至少有多少人在同一天过生日？

(2)至少有多少人单独过生日？

(3)至少有多少人不单独过生日？

4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。

5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？

6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？

7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？

(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？

(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？

9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。

10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。

11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

12.跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证在某一秒钟内，至少跳了两次？

13.一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。证明：至少有三个面是同一颜色。

14.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有三个球是同一颜色的？

15.一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的鱼？

16.某小学五年级的学生身高(按整厘米计算)，最矮的为138厘米，最高的为160厘米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有五人的身高相同？

17.体育组有足球、蓝球和排球，上体育课前，老师让一班的11名同学往操场拿球，每人最多拿两个。试证明：至少有两个同学拿球的情况完全一样。

18.口袋里放有足够多的红、白、兰三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。证明：至少有4个人取出球的颜色完全相同。

19.蓝子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，问至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？

20.学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问：至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？

21.为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料，有可乐，有汽水，每个选手都选用了一种饮料。

试证明：至少有两对选手，不但甲班选手选用的饮料相同，而且乙班选手选用的饮料也相同。

22.在上题中，如果学校为比赛准备了可乐、汽水和果汁三种饮料，那么比赛时每班至少出多少人，才能保证至少有两对选手，甲班选手选用的饮料相同，乙班选手选用的饮料也相同？

23.100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。

问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？

24.有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。

25.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。证明：在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。

26.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。问：在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？

27.六年一班27个同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。求证：在9个横排中，至少有两排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。

28.有n个队参加的足球比赛，已经赛了n+1场。证明：必有一个队少赛了3场。

划分图形

29.在一个3×4平方米的矩形中，任意点5个点，试证明：至少有两个点的距离不大于2.5米。

30.在边长为1的正三角形中，任意放入5个点，证明：其中至少有两个点的距离不大于1/2。

31.在边长为1的正三角形内，任意放入十个点，求证：必有两个点的距离不大于1/3。

32.在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰，试证明：一定有两个同学间的距离不大于10米。

33.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它们构成的三角形的面积不大于1/8。

34.在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。试证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

*35.在平面上给定9个点，其中任意三个点中总有两个点之间的距离小于1。证明：存在半径为1的圆，该圆含这些点的数目不少于5个。

*36.在面积为3的图形内放置5个面积为1的图形。证明：无论怎样放置，总可以找到两个图形，它们重叠部分的面积不小于1/5。

整数分组

37.证明：在任意的四个自然数中，至少有两个数的差是3的倍数。

38.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？为什么？

39.证明：任取12个自然数，至少有两个自然数被11除的余数相同。

40.任意给定四个自然数：a

(1)至少有一个是3的倍数；

(2)至少有两个是偶数。

41.证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。

42.从1、4、7、10、…、37、40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。

43.从1、5、9、13、17、…、77、81这21个数中，任意取出12个数。试证：其中至少有两个数的和是78，有两个数的和是86。

44.证明：在自然数1～100中任取21个数，其中一定有两个数的差(大数减小数)小于5。

45.证明：在自然数1～125中任取7个数，其中一定有两个数的商(大数除以小数)不大于2。

46.证明：在自然数20～160中任取6个数，其中一定有两个数的比值不小于2/3，不大于3/2。

47.设x1、x2、…、xn是n个小于1的正数。证明：其中必有两个数的

48.证明：从前100个自然数中任意取出51个数，其中至少有两个数，较大的数是较小的数的整数倍。

49.从1、3、5、7、…、37、39这20个奇数中任意取出14个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。

50.从2、4、6、8、…、30、32这16个偶数中任意取出9个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。

51.从1、3、5、…、97、99中最多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？

52.证明：从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。

53.从1、2、3、…、1992、1993这些数中最多可以选出多少个数，使其中每两个数的差不等于4。

54.证明：对于任意的七个自然数，其中必有四个数的和是4的倍数。

55.证明：对于任意的七个自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。

*56.证明：对于任意的四个自然数，必可从中选出一个或几个，使它们的和是4的倍数。

*57.证明：对于任意的n个自然数，其中必有若干个数的和是n的倍数。

*58.在一次智力竞赛中，数学老师让全班47个同学每人想一个自然数，并说：“无论你们怎样想，在你们中间总有若干人所想的数之和是47的倍数。”同学们不太相信，可是每次试验老师都成功了。你知道这是为什么吗？

*60.证明：对于任意的自然数n，一定存在另一个自然数，它是n的整数倍，并且仅由数码3和0组成。

61.从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中有两个数互质。

62.证明：在前2n个自然数中，任意取出n+1个，其中必有两个数互质。

*63.设自然数n具有如下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。求这样的n中最大的那个。

*64.在上题中，如果将“从前n个自然数中任取21个”改为“从前n个自然数中任取20个”呢？

65.求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。

66.证明：对于任意的20个自然数，一定可以从中找到a、b、c、d、e、f六个数，使得(a-b)(c-d)(e-f)是1995的倍数。

67.任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。

68.任意写一个由数字1、2、3、4、组成的六十七位数，从这六十七位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。

69.将自然数1、2、3、…、31、32按任意次序排成一圈，证明：其中必有相邻的三个数之和不小于50。

70.将400本书随意分给若干名同学，但每人不得超过11本，试证明：至少有七名问学得到的书的本数相同。

71.六个小朋友每人至少有一本书，一共有20本书，试证明：至少有两个小朋友有相同数量的书。

72.全班有40个同学，共有不到780本书，试证明：至少有两个同学有相同数量的书。

73.10个小朋友每人有10块糖，如果每人每天至少吃3块，吃完为止。证明：至少有两个小朋友每天吃糖的数目都相同。

74.要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。证明：至少有五个盒子中的乒乓球数目相同。

75.一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，竞赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分。问：至少有几人的得分相同？

76.把200个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过11个，证明：无论怎样分，至少有4只猴子得到的桃一样多。

77.要把85个球放在若干个盒子中，每个盒子最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？

78.将1，2，3，…，9，10这10个数按任意顺序排成一圈，求证：在这一圈数中，必定有相邻的三个数之和不小于17。

79.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数字的差等于2或3？如果能，请排出来，如果不能，请说明理由。

*80.能否把1～9这九个数排成一圈，使任意两个相邻数字的差等于2或3？如果能，请排出来，如果不能，请说明理由。

*81.能否把1～21这21个数排成一圈，使任意两个相邻数字的差不小于5也不大于9？如果能，请排出来，如果不能，请说明理由。

82.把自然数1～20任意分成两组，证明：至少有一组中存在两个数，它们的和是完全平方数。

83.图6-20是一个5行5列的方格表，能否在每个空格中分别填上1、2、3中的一个数，使

得每行、每列及两条对角线AC和BD上的五个空格中的数字和互不相同？为什么？

84.在10×10方格纸的每个方格中任意填入1、2、3、4四个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。问：在这些和数中至少有多少个相同？

85.汽车8小时走了310千米，已知汽车第一小时走了45千米，最后一小时走了25千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少走了80千米。

*86.还有三周就要期末考试了，罗微准备从现在起，每天至少做一道题，但每周不超过10道题。试证明：罗微一定在某相继的若干天内恰好做了11道题。

*87.小华在夏季最热的五周，计划每天至少吃一根冰棍，但总数不超过55根。证明：无论小华怎样安排，一定存在相继的若干天，在这些天中小华共吃了14根冰棍。

状态分类

88.平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间用红线或蓝线连接。求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。

89.证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识。

*90.平面上有17个点，将这些点两两间随意用红、蓝或黄色线段连接起来。试证明：在以这些点为顶点的三角形中，至少有一个是三边同色的。

*91.有17个人互相通信，讨论三个专题，每两个人的通信只讨论一个专题。求证：至少有三个人，他们互相之间的通信所讨论的是同一个专题。

*92.九位科学家在一次国际会议上相遇，他们之中的任意三个人中，至少有两个人会说同一种语言。如果每位科学家最多会说三种语言，试证明：至少有三位科学家能用同一种语言交谈。

93.试证明：在任意的10个人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等。

94.试证明：任意的n个人中，至少有两个人，他们在这n个人中认识的人数相等。

95.在一次老朋友的聚会中，大家见面都很高兴，彼此握手。请证明：随时都有至少两个人握手的次数一样多。

96.经过选拔，全市有12个小学足球队参加育红杯足球比赛，比赛规定每两个队之间都要赛一场。试证明：比赛开始后的任何时间，都至少有两个队比赛过的场次一样多。

97.有19个人，每人至少与另外18人中的10人认识。证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认识。

*98.有10个人，每人至少与另外9人中的7人认识。证明：可以从中找到4个人，他们彼此相互认识。

99.试证明：在一个2行5列的2×5的方格里随意染上黑色或白色，不管怎样染，至少有两列着色完全一样。

100.任意将若干个小朋友分为五组，试证明：其中一定有两组，他们中的男孩总数和女孩总数都是偶数。

101.一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

102.对一块3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色。求证：对任意的染法，棋盘上至少有一个长方形，它的四个角着色相同。

*103.在一块5×5的棋盘上，每一格可任意染成黑色或白色。证明：对任意的染法，至少有一个四角同色的矩形存在。

104.某音乐厅有767个座位，在连续的两场演出中，音乐厅将这两场的票售给A、B两所大学各767张。问：是否一定有这样的座位，在这两场演出中坐的不是同一学校的人？

105.40名学生跳集体舞，其中10名男生和10名女生围成一圈作为内圈，其余的20名学生作为外圈。当外圈学生转动使每一个学生对着内圈的一个学生时，将两个男生或两个女生相对的情况称为一个配对方式。证明：总有一个位置，使配对数不少于10个。

106.25名男生和25名女生随意地围坐成一圈，证明：至少有一人的两边坐的都是女生。

*107.两个布袋中有12个大小一样的小球，且都是红、白、兰色各4个。先从第一个袋中拿出尽可能少且至少有两个

答案

3.（1）2人；（2）0人；（3）35人。

5.12棵。

6.42张。提示：注意扑克中的两张王牌。

7.15个。

8.（1）21根；（2）13根；（3）10根。

10.提示：50年的秒数少于16亿，所以在50岁以下的8亿人中至少有两人的出生时间相差不超过2秒。

12.61次。

14.9个。

15.21条。

16.93人。

17.提示：一个球也不拿，拿一个球和拿两个球总共有10种不同情况。

18.提示：取三个球共有10种不同的颜色搭配。

19.11个。提示：任意拿两个水果共有10种不同的拿法。

20.12个。提示：不参加、参加1个和参加2个总共有11种不同情况。

21.提示：每对选手选用饮料有22=4种不同方法。

22.10人。提示：每对选手选用饮料有32=9种不同方法。

23.11票。提示：未统计的选票有39张，甲、丙相差35-16=19（票），由（39-19）÷2=10知，甲还需11票。

24.提示：用三面旗子共可组成43=64种信号。

25.提示：拿两个相同的球和拿两个不同的球共有10种不同拿法。

26.4人。提示：三个球都相同有4种拿法，三个球有两个相同有12种拿法，三个球各不相同有4种拿法。所以共有20种不同拿法。

27.提示：因为只有两种颜色的帽子，所以每个横排帽子的颜色排列顺序有23=8种可能。

28.提示：参赛的队次共有2n+2个。

29.提示：将矩形等分为四个小矩形（见下图）

30.提示：将正三角形等分为四个小正三角形（见下图）。

33.提示：将正方形等分为四个小正方形（见下图），至少有三个点放入同一小正方形内。

34.提示：将矩形等分为两个小矩形（见下图），至少有三个点放入同一小矩形内。

35.证明：在这9个点中取定一点A。如果其余8个点与A点的距离都小于1，则问题已解决。设这8个点中有一点B与A点的距离不小于1，分别以A、B为圆心，以1为半径作两个圆，称为A圆和B圆。因为这9个点中的任意三个点总有两个点间的距离小于1，所以在A、B外的7个点中任选一点，它不在A圆内就在B圆内。由此推出这7个点至少有4个位于同一圆内，再加上A点或B点，得到至少有5个点位于同一圆内。

36.证明：对5个面积为1的图形分别编为1、2、3、4、5号。在这5个图形中，1号图形至多和其余4个相重叠；除1号图形外，2号图形至多和其余3个相重叠；……。依次类推，这5个图形两两重叠的次数为4+3+2+1=10（次）。因为5个面积为1的图形被放置在面积为3的图形内，故5个图形重叠的总面积不小于2，将面积2分在10次重叠中，由抽屉原理

37.提示：利用余数分类。

38.8。

41.提示：将（1，19）、（3，17）、（5，15）、（7，13）、（9，11）这五组数看作五个抽屉。

42.提示：与41题类似。

43.提示：与41题类似，对和为78与和为86分别构造两个抽屉。

44.提示：从1开始依次将前100个自然数每5个一组分为20组，显然每组内任意两数之差都小于5。

45.提示：将（1，2）、（3，4，5，6）、（7，8，…，14）、（15，16，…，30）、（31，32，…，62）、（63，64，…，125）这六组数作为六个抽屉。

46.提示：将（20，21，…，30）、（31，32，…，46）、（47，48，…，70）、（71，72，…，106）、（107，108，…，160）这五组数作为五个抽屉。

47.提示：将所有小于1的正数分为n-1个区间：

n-1个抽屉。

48.提示：将这100个数分为下面的50组：

①1，1×2=2，1×22=4，…，1×26=64；

②3，3×2=6，3×22=12，…，3×25=96；

③5，5×2=10，5×22=20，…，5×24=80；

……；

(25)49，49×2=98；

(26)51；

(27)53；

……；

(50)99。这50组数中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可将这50组数作为50个抽屉。

49.提示：将这20个奇数分为（1，3，9，27）、（5，15，45）、（7，21）、（11，33）、（13，39）、（17）、（19）、（23）、（25）、（29）、（31）、（35）、（37）共13组，前5组各组内任意两数都存在倍数关系。

50.提示：与49题类似。

51.33。提示：与49题类似，可分为33组，每组都取最大的数。

52.提示：设八个连续自然数中最小的为a，则可将这八个数分为四组：（a，a+4），（a+1，a+5），（a+2，a+6），（a+3，a+7）。每组中两数之差都等于4。

53.997。提示：由52题知八个连续自然数中最多能选出四个，使其中任意两个数的差不等于4。将前1992个自然数每八个一组分为249组，每组都取第四个数，再加上1993，这997个数就是符合题目要求的数。

54.提示：七个数中必有三对数的奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。

在k1，k2，k3三个数中又至少有两个奇偶性相同。

55.证明：构造六个盒子：第一个盒子放个位数为0的自然数；第二个盒子放个位数为1或9的自然数；第三个盒子放个位数为2或8的自然数；第四个盒子放个位数为3或7的自然数；第五个盒子放个位数为4或6的自然数；第六个盒子放个位数为5的自然数。显然，每个盒子中的任意两个数或者和是10的倍数，或者差是10的倍数。现将任意的7个自然数放入这六个盒子，必有一个盒子至少放了两个数。命题得证。

56.提示：本题是57题当n=4时的特例。

57.证明：给这n个自然数从1到n编号，记

第1个数为S1；

前2个数的和为S2；

前3个数的和为S3；

……；

前n个数的和为Sn。

如果在S1，S2,…，Sn中有一个是n的倍数，那么问题已经解决，否则考虑这些数除以n的余数。把余数1、2，…，n-1看作n-1个盒子，而S1，S2，…，Sn除以n有n个余数，由抽屉原理必有两个在同一盒子中。设这两个余数对应着两个和数Sa，Sb（b＞a），Sb-Sa 能被n整除，即从第a+1号到第b号的所有数之和是n的倍数。

58.提示：本题是57题当n=47时的特例。

59.证明：可以证明下面的1993个数中必有一个能被1993整除，

如果不然，则它们除以1993有1993个余数，而余数只能是1，2，3，…，1992这1992个数。由抽屉原理，至少有两个除以1993得到相同的余数。设这两个数为

与假设矛盾。

60.提示：与59题类似。

61.提示，将（1，2，3，5，7，11）、（4，9）、（6）、（8）、（10）这五组数作为五个抽屉。

62.证明：将前2n个自然数依次每两个分为一组，共分为n组。从中任意取出n+1个数，根据抽屉原理，必有两个数在同一组，这两个数是相邻的两个数，必然互质。命题得证。

63. 40。

解：设计20个抽屉，使得每个抽屉中的两个数的差是5：

（1，6）、（2，7）、（3，8）、（4，9）、（5，10）、

（11，16）、（12，17）、（13，18）、（14，19）、（15，20）、

（21，26）、（22，27）、（23，28）、（24，29）、（25，30）、

（31，36）、（32，37）、（33，38）、（34，39）、（35，40）。

这样从前40个自然数中任取21个，必然有两个数在同一抽屉里。所以40是符合题意的n的一个值。事实上也是最大的一个，因为从上述20个抽屉中各取一个数，再取一个41，这样得到的21个数中任意两个数的差都不是5。

64.34。

提示：与63题类似。前15个抽屉相同，第16个抽屉为（31，32，33，34）。任取20个数，从最坏的情况考虑，既使将第16个抽屉的4个数全取光，在前15个抽屉中再取16个数，至少有一个抽屉要取两个数。

注：63、64题可以推广到一般情况：设前n个自然数具有性质：从中任取k个，其中必有两数之差是p（p＜k）求具有这种性质的最大的n。这个n由下式决定：

其中［］为取整函数。例如63题中，

=5×3+20-1=34。

65.提示：105=3×5×7。对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出两个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数。

66.提示：与65题类似。

67.提示：由1、2、3组成的三位数有33=27种，而在三十位数中截取相邻三位有28种截法。

68.提示：与67题类似。

69.提示：与78题类似。

70.证明：为了不使7人得到相同本数的书，最好的分法是：得1、2、…、11本书的各

6人，这时共发书6×（1+2+…+11）=396（本）。还剩4本书，要使每人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本数相同。

71.证明：因为每人至少有一本书，若6个人的书的数量都不同，则至少有书1+2+3+4+5+6=21（本），现在只有20本，所以至少有两人有相同数量的书。

72.证明：如果40人的书的数量各不相同，至少应有书0+1+2+…+39=780（本），而现在的书不足780本，所以至少有两人的书的数量相同。

73.证明：第一天吃3块有（3，3，4）、（3，4，3）（3，7）三种吃法；第一天吃4块有（4，3，3）、（4，6）两种吃法；第一天吃五、六、七、十块各有一种吃法（5，5）（6，4）、（7，3）、（10）。总共有9种不同吃法。由抽屉原理知，10个小朋友中至少有两个吃的方法相同。

74.提示：与70题类似。

75.6人。提示：与70题类似，设想得6～20分的各5人，总计得975分。

76.提示：与70题类似。

77.4个。提示：与70题类似。

78.证明：相邻的三个数为一组共有10组，这10组数的和等于将前10个自然数各加三遍，即3（1+2+…+10）=165，平均每组的和为16.5。因为各组的和都是整数，所以至少有一组的和不小于17。

79.不能。因为在这七个数中，1、2、6、7都不能相邻，要将它们隔开需要四个数。而现在只剩下3、4、5三个数了。

80.不能。因为在这九个数中，1、2、8、9都不能相邻，余下的五个数要插在它们之间的四个弧段中，因此必有三个弧段各插入1个数，一个弧段插入2个数。因为3和7都不能单独与1、2、8、9中的任意两数相邻，因此它们必在同一弧段中，而它们又不能相邻。

81.不能。提示：与80题类似。

82.证明：从1、3、6、10、15五个数中取出任意三个数，其中必有两个数的和是完全平方数。将1～20任意分成两组时，必有一组至少含这五个数中的三个。命题得证。

83.不可能。因为五个格中的数字和最小为1+1+1+1+1=5，最大为3+3+3+3+3=15，只有11个互不相同的值。而5行，5列及两对每线上的数字和有12个。根据抽屉原理，必有两条线上的数字和相等。

84.7个。提示：四数之和在4至16之间，有13个不同值，而2×2方格共有81个。

85.提示：汽车在中间的6个小时走了240千米。

86.证明：三周共有21天，设罗微

第1天做题a1道；

前2天做题a2道；

前3天做题a3道；

……；

前21天做题a21道。

因为三周做题不超过3×10=30道，所以

1≤a1＜a2＜a3＜…＜a21≤30 （*）

我们只要证明有一对数i与j（i＞j），满足ai=aj+11即可。为此，将（*）式各项都加11，得

a1+11＜a2+＜a3+11＜…＜a21+11≤41。

因为从1到41共有41个数，而a1，a2，…，a21与a1+11，a2+11，…，a21+11共有42个数，根据抽屉原理，至少有两个数相等。因为

a1≠a2≠a3≠…≠a21；

a1+11≠a2+11≠…≠a21+11，

所以有ai=aj+11，这表明从第j+1天到第i天恰好做11道题。

87.提示：与86题类似。

88.证明：我们用虚线表示红色，用实线表示蓝色（见下图）。从任意一点，如从A点出发，向其余五点连五条线段。因为只有两种颜色，所以至少有三条同色，不妨设AB、AD、AE三条同为蓝色。再看BD、BE和ED三条线段，如果其中有一条为蓝色，则三边为蓝色的三角形已存在，否则三角形BDE就是一个三边同为红色的三角形。

89.提示：本质上与88题相同。

90.提示：因为1个点与其它16个点用三种颜色连线，至少有6条同色的线段。为确定起见，设A点与B、C、D、E、F、G六点是用红色连接。如果B、C、D、E、F、G这六

点间有一条是红色连的，则三边为红色的三角形已存在；否则，这六点之间只能用蓝、黄两种颜色连接，由88题知，必有同色的三角形存在。

91.提示：本质上与90题相同。

92.证明：假定任意三位科学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说。记这九位科学家为A、B、C、D、E、F、G、H、I。由于一位科学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会说，所以一位科学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通。不妨设A不能与B、C、D、E、F通话。同理，B也至多能和三人通话，因此在C、D、E、F中至少有一人与B言语不通，设为C。则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾。这表明假设不成立。

93.提示：本题是94题当n=10时的特例。

94.证明：在这n个人中如果有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数有从1至n-1共n-1种可能；如果没有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数有从0至n-2也是n-1种可能。现有n个人，每人认识的人数有n-1种可能，根据抽屉原理，至少有两人认识的人数相等。

95.提示：与94题类似。

96.提示：与94题类似。

97.提示：在这19人中，假设A与B认识。除此之外，A、B还至少各认识其余17人中的9人，所以在这17人中至少有1人，他与A、B都认识。

98.证明：10人中每人至少认识7人，也就是说每人至多有2人不认识。假设其中二人A与B相互认识，在A认识的7人中（可能包括B），B至少认识4人。在A、B共同认识的这4人中又至少有2人相互认识，记这两人为C、D，则A、B、C、D四人相互认识。

99.提示：因为只有两种颜色，所以每列的两格只有22=4种染法。

100.捉示：每组中男孩和女孩人数的奇偶性搭配只有（奇奇）、（奇偶）、（偶奇）、（偶偶）四种可能。

101.115人。提示：从0分到40分这41个分数中，只有39、38、35三个分数得不到。

102.证明：因为只有两种颜色，所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨设前4个格着白色。如果第二行的前4格有2个着白色，则四个角同色的矩形已经存在，所以我们假定第二行的前4格中至少有3个着黑色，不妨假定前三个格着黑色。又第四行的前3个格至少有2个同色，当有2个白色时与第一行构成四角同色的矩形，当有2个黑色时与第二行构成四角同色的矩形。

103.证明：每行有5个格，因为只着黑白两色，根据抽屉原理，必有一种颜色涂了至少

3个格。我们称每行黑格多的为黑行，白格多的为白行。因为共有五行，所以黑行、白行中必有一种至少有三行，不妨假设前三行为黑行。如下图，在第一个黑行的三个黑格下面，第二个黑行只能有一个黑格，否则四角同色的矩形已存在。此时所有五列均有黑格，由于第三行有三个黑格，或者前三格中有两个黑格，或者后两格都是黑格，无论那种情况四角同色的矩形已存在。另外，若有一个黑行有四或五个黑格，在上面的讨论中，到第二个黑行时四角同色的矩形已存在。

104.有。提示：因为767是奇数，所以第一场演出两校的票数必然不相等，不妨假定A 校比B多n（n≥1）张，那么第二场演出A校的票将减少n张，因此，至少有n个座位在两场演出中坐的不是同一学校的。

105.证明：由于内圈有男、女学生各10名，所以在整个转动一圈的过程中，外圈的每个学生都有10个配对机会。现在外圈有20名学生，所以在整个转动一圈的过程中，共有20×10=200个配对数。因转一圈有20个位置，200÷20=10，所以至少有一个位置，使配对数不少于10个。

106.证明：如果某个男生两边坐的都是女生，问题已经解决。如果每个男生至少与一名男生相邻，则25名学生至多被女生分割为12组（两边都是女生的n个相邻男生称为一组），反过来看，25名女生也至多被男生分为12组，由抽屉原理，至少有一组有3个或3个以上的女生，因此必有一名女生两边坐的都是女生。

107.第一个袋中有19个球，第二个袋中有5个球。

提示：第一次拿球：第一袋中有三种颜色，故需要拿4个球才能保证至少有两个颜色相同。这时，第一袋中剩8个球，第二袋中有16个球。

第二次拿球：“最坏”的情况是第一袋中只有两种颜色的球，故至少要从第二袋中拿11个球，才能保证第一袋中缺少的那种颜色的球不少于3个。这时，第一袋中有19个球，第二袋中剩5个球。

0人| 分享到：阅读(217)| 评论(0)| 引用(0) |举报

抽屉原理抽屉原理习题(初一）

历史上的今天

相关文章

关于"0"和"自然数"2010-05-07 21:01:04 《0是不是自然数》(孙睿)2010-02-22 10:50:25 0走进自然数圈子后(转载)2010-06-16 08:42:20 引用妙趣自然数2010-07-03 05:10:22 0归属于自然数后如何解读数的整除2009-10-07 20:20:21

最近读者

登录后，您可以在此留下足迹。weibing7 yayafufu hklkgzs

评论

点击登录|昵称：