人教版五年级下册数学讲义
第一讲观察物体（三）
目标导学
嚼碎教材
知识点1
1、长方体（或正方体）放在桌子上，从不同角度观察，一次最多能看到3个面（或说成：最多同时能看到3个面）。
2、给出一个（或两个）方向观察的图形无法确定立体图形的形状。由三个方向观察到的图形就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。
思考问题：
1、从（）面看是，从（）面看是，从（）
面看是。
知识点2
1、从一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。
2、从多个角度观察立体图形
先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层；
然后确定要拼搭的立体图形有几排；
最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。
思考问题：
给添一个小正方体，使物体从上面看形状不变，有（）种摆放的方法；若从正面看形状不变，有（）种摆放的方法；若从侧面看形状不变，又有（）种摆放的方法。
课上小练习
从（）面和（）面看是完全相同的形状，从（）面看是。
课堂练习
过关练习：
一、选择
1、从正面观察，所看到的图形是（）。
A、B、C、
2、下面第（）立体图形从左面看，看见的图形是。
A、B、C、
3、从右面观察所看到的图形是（）。
A、B、C、
二、连一连。（24分）
1. 从正面看从左面看从上面看
2. 从正面看从左面看从上面看
三、选一选。（12分）
小丽用同样大小的正方体搭出了下面的立体图形，根据要求，选择适当的
序号填在下面的括号里。
①②③
④⑤⑥
1.从正面看到的形状是的立体图形有（）。
2.从侧面看到的形状是的立体图形有（）。
3.从正面看到的形状是的立体图形有（）。
4.从侧面看到的形状是的立体图形有（）。
提升练习：
1．用5个小正方体木块摆一摆。
（1）从正面看到的图形如下，有几种摆法？
（2）如果要同时满足从上面看到的图形如下，有几种摆法？
2．如图（1）是从上面看一些小正方体所搭几何体的平面图，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。请你在图（2）的方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。
3．如下图所示，要使从上面看到的图形不变：
（1）如果是5个小正方体，可以怎样摆？
（2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？
（3）最多可以摆几个小正方体？
4．左图是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体从正面和左面看到的图形，小刚用小立方体搭建以后，认为右图中的三个图形都可以是该几何体从上面看到的图形，你同意他的看法吗？
第二讲因数与倍数（一）
目标导学
知识点1
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
找因数的方法：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
思考问题：
在20÷10＝2中，是和的倍数，和是的因数
课上小练习：
M÷N＝P，M、N、P都是非0自然数，那么和是的因数，是和的倍数。A×B＝C，A、B、C、都是非0自然数，那么和是的因数，是
和的倍数。
知识点2
自然数按能不能被2整除来分：奇数偶数
奇数：不能被2整除的数
偶数：能被2整除的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
思考问题：
练一练：下面哪些数是5的倍数？
240，345，431，490，545，543，709，725，815，922，986，990。
下面哪些数是2的倍数？
1，3，4，11，14，20，23，24，28，31，401，826，740，1000，6431。
课上小练习：
那么既是2的倍数又是5的倍数有什么特征呢？
（1）在5的倍数中找出2的倍数；
（2）在2的倍数中找到5的倍数。
判断一个数是不是2或5的倍数，都是看什么？
结论：
知识点3
自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.
质数：有且只有两个因数，1和它本身
合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数
1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
课堂练习
一、填空（每空，分，共23分）
1．用12个边长是I cm的小正方形摆一个长方形，你有几种摆法？
(1)、可以摆成长是厘米、宽是厘米，即×=12。
(2)、也可以摆成长是厘米、宽是厘米，即×=12。
(3)、还可以摆成长是厘米、宽是厘米，即×=12。
以上所填的都是12的____，12是这些数的。
2、36和9，( )是( )的倍数，( )是( )的因数。
3、两个质数的和是10，积是21，它们分别是( )和( )。
4、同时是2、3、5的倍数中的最小两位数是( )，最大两位数是( )。
5、一个数是18的倍数，它又是18的因数，猜一猜，这个数是( )。
二、判断（对的打“√”，错的打“×”）（5×2分）
1、所有的奇数都是质数。( )
2、-个数的倍数一定比它的因数大。( )
3、4的倍数一定是2的倍数。( )
4、奇数都比偶数小。( ) 5．质数的因数只有一个。( )
三、选择题（6×2）
1、要使三位数“56口”能被3整除，“口”里最大能填( )。
A．7 B．8 C．9
2、42÷3=14，我们可以说( )。
A．42是倍数B．3是因数C．42是3的倍数D．42是3的因数
3、5和7都是35的( )。
A．奇数B。偶数C．因数
4、87是( )；41是‘( )。
A．合数B．质数C．因数
5、既不是质数又不是合数的是( )。
A．1 B。2 C．3
6、一个合数至少有( )。
A ．-个因数
B ．两个因数
C ．三个因数 四、完成下列各题。；（共30分） 1.在圈内写上合适的数。(8分)
60的因数 50以内6的倍数
2。从四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数。(10
分)
(1)奇数
(2)偶数 (3)3的倍数 (4)5的倍数
(5)既是2的倍数，又是5的倍数
3．下面的数中，哪些是合数，哪些是质数？（4分）
1、 13、24、29、41、 57、63、79、87、2 合数有： 质数有：
4、在括号里填上适当的质数 8 = （ ）+（ ）
12 = （ ）+（ ）+（ ） 15 = （ ）+（ ）
18 = （ ）+（ ）+（ ）
24 = （ ）+（ ）= （ ）+（ ）= （ ）+（ ）
五、解决问题。；（5×5分）
1、幼儿园里有一些小朋友，王老师拿32颗糖平均分给他们，正好分完。
小朋友的人数可能是多少？
2．小朋友到文具店买了一堆日记本，日记本的单价是3元，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？
3．一个数是2的倍数，也是3的倍数，同时还是4的倍数。这个数最小是多少？
4．在自然数的范围内，用最小的奇数乘最小的偶数，再加上最小的合数除以最小的质数的商，和是多少？
5．有一堆苹果，如果平均分给4个小朋友，剩下2个；如果平均分给5个
小朋友，也剩下2个。这堆苹果至少有多少个？
第三讲因数和倍数（二）
目标导学
嚼碎教材
知识点1
1、分解质因数
用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）
思考问题：
1．用短除法分解下列数字。
32 64 35 144 256
知识点2
1.公因数、最大公因数
（1）几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
（2）用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
（3）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
（4）两数互质的特殊情况：
A.1和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数一定互质；
B.2和所有奇数互质；质数与比它小的合数互质；
（5）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
（6）如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
思考问题：
知识点3
1.公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
课堂练习
过关练习
一、填空（30分）
（1）一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是，一个数是18的倍数，它又是18的因数，这个数是。
（2）6的因数有，6的倍数有（写5个），6既是6的，又是6的。
（3）既不是质数也不是合数。
（4）从0、1、4、5中选出三个数字组成三位数，其中能同时被2、3、5整除的最小三位数
是 ，最大三位数是 。
（5）一个两位数，同时是3和5的倍数，这样的两位数如果是奇数，最大是 ，如果是
偶数，最小是 。
（6）一个数最小的一个因数是 ，最大的因数是 。最小的倍数是 ，这
个是倍数的个数是 限的。
（7）既是奇数又是合数的最大两位数是 ，一个数最大的因数是49,那么这个数
是 。
（8）、一个数是48的因数，这个数可能是 ，一个数既是48的因数，
又是8的倍数，这个可能是 ，一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是 。（有多少写多少）
二、判断（10分）
（1）一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数也是有限的。 （ ） （2）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数。 （ ） （3）14比12大，所以14的因数比12的因数多。 （ ） （4）一个偶数减去一个奇数，所得的差一定是奇数。 （ ） （5）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 （ ） （6）质数都是奇数，合数都是偶数。 （ ） （7）12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。 （ ） （8）一个质数的因数都是质数。 （ ） （9）一个自然数，不是质数就是合数；不是偶数就是奇数。 （ ） （10）2的倍数都一定是合数。 （ ） 三、把下列各数填入相应的椭圆中。（12分） 0，1，2，4，8，9，10，12，15，21，51，57，91
四、选择题（12分）
（1）属于因数和倍数关系的等式是（ ） A 、2×0.25＝0.5 B 、2×25＝50 C 、2×0＝0 （2）下列各数中，不是12的倍数的数是（ ） A 、12 B 、24 C 、38 D 、48 （3）60的因数有是（ ）个
A、14
B、12
C、10
D、8
（4）在1—20的自然数中，是奇数但不是质数的有（）个
A、9
B、6
C、3
D、2
（5）一个质数加1后，和是（）。
A、奇数
B、偶数
C、奇数或偶数
D、无法讨论
（6）新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，如果小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问最少再经过（）天她们有可能会在图书馆再次相遇。
A、8
B、12
C、16
D、24
五、猜一猜（6分，每题3分）
①猜电话号码
0592－A B C D E F G
提示：A…… 5的最小倍数B……最小的合数C……5的最大因数
D……它既是4的倍数，又是4的因数
E……它的所有因数是1，2，3，6
F……10内最大的质数G……它只有一个因数
这个号码就是。
②猜数字
一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是。
六、请在下面三位数中的□里填上一个适当的数字（8分）
①：2和3的最小倍数：７□□ ，５□２；
②：3与5的最小倍数：３□５，□６□
③：2，3和５的最大倍数：□７□
七、分解质因数（6分）
108 210 78
八、按要求写数（4分）
108的因数：
100内24的倍数：
九、解决问题（12分）
1、三个连续自然数的和是72，这三个自然数分别是多少？如果是连续的偶数，这三个数又分别
是多少？
2、最大的两位质数减去最小合数与最小的两位质数的积，差是多少？
3、小雨家的电话号码是7位数，并且是2、3、5的倍数。前三位是326，后四个数是和前面326
组成后满足以上条件的最小的数，小雨家的电话号码是多少？
3、一班学生，人数在30至50之间，在体操表演时，分做6人一行，8人一行，12人一行，总是
有一行少一个人，这班学生有多少人？
第四讲 长方体和正方体
目标导学
嚼碎教材
知识点1
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。
2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
5、长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽－高a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长－高b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长－宽h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
6、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，棱长总和会扩大相同的倍数。
（如长、宽、高各扩大2倍，棱长总和就会扩大到原来的2倍）。
知识点2
长方体和正方体的表面积:
1、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab 或S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
正方体的表面积= 棱长×棱长×6 S=a×a×6= 6a2
表面积的常用单位有：平方米、平方分米、平方厘米
相邻两个面积单位之间的进率是100
1m2 =100dm2 1 dm2 =100 cm2 1m2 =10000 cm2
3、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸、粉刷教室等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。
4、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表
面积。
5、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍）。
思考问题：
1．一个长方体长7cm,宽6cm，高cm,这个长方体6个面中，最大面的面积是（）平方厘米，最小的面的面积是（）平方厘米。它的表面积是（）平方厘米。
2、把一个5分米正方体木块锯成两个完全一样的正方体，表面积比原来增加了（）平方分米。课上小练习：
1、一对无盖的玻璃鱼缸，长7分米，宽和高都是5分米，制造这对鱼缸至少需要鱼缸（）平方分米。
2、一个长方体的长和宽都是4厘米，高是3厘米，这个长方体有（）个面是长方形，有（）个面是正方形，表面积是（）平方厘米。
知识点3
长方体和正方体的体积:
1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3 ）
①棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm3
②棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm3
③棱长是1 m的正方体，体积是1 m3
相邻两个体积单位之间的进率是1000
1 m3 =1000 dm3 1dm3=1000 cm3 1 m3 =1000000 cm3
长方体的体积= 长×宽×高V=abh
长= 体积÷宽÷高a=V÷b÷h
宽= 体积÷长÷高b=V÷a÷h
高= 体积÷长÷宽h= V÷a÷b
正方体的体积= 棱长×棱长×棱长V=a×a×a =a3
3、容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。
4、容积单位有：升（L）、毫升（mL） 1 L = 1000 mL
5、容积单位和体积单位的关系：1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3
6、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。（所以
物体的体积大于它的容积）。
7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积就会扩大倍数的平方倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大原来的9倍(3的平方倍），体积就会扩大到原来的27倍（3的立方倍）。
8、排水法：（计算不规则物体的体积）
9、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。 10、a3读作“a 的立方”表示3个a 相乘，（即a·a·a ）
【体积单位换算】 高级单位（大） 低级单位（小）
低级单位（小） 高级单位（大）
进率： 1立方米＝1000立方分米 1立方米 ＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米 1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升 1立方分米＝1升 ； 1平方米=100平方分米 1平方米 =10000平方厘米 1平方分米=100平方厘米 1平方千米=100公顷=1000000平方米 ； 1米=10分米 1米=100厘米 1分米=10厘米 1千米=1000米
思考问题：
1、一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。
2、4.07立方米=( )立方米( )立方分米 9.08立方分米=( )升=( )毫升
课上小练习：
1、一个正方体的表面积是72平方分米，占地面积是( )平方分米．
2、一个长方体的体积是30立方厘米，长6厘米，宽5厘米，高( )厘米．
3、用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体形状的框架，这个正方体的体积是( )立方分米．
课堂练习
过关练习：
一．填空题。（27%）
×进率
÷进率
1．一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，一个这样的面的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，一个这样的面的面积是（）平方厘米。
2．一个长方体的长是14分米，宽是5分米，高是5分米，这个长方体有（）个面是正方形，每个面的面积是（）平方分米；其余四个面面积（），每个面的面积是（）平方分米；这个长方体的表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。
3．一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。这个金鱼缸最多容水（）升。
4．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长（）厘米的正方形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）。
5．至少要（）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6．把三个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（）平方厘米，它的体积是（）立方厘米。
7．一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是（）平方分米，它的体积是（）立方分米。
8．把一个长124厘米，宽10厘米，高10厘米的长方体锯成最大的正方体，最多可以锯成（）个。
9．一个长方体长减少3厘米就成了一个正方体，表面积减少84平方厘米，原来长方体的表面积是（），体积是（）。
二．判断题（对的打“√”，错的打“×”）。（5%）
1．长方体是特殊的正方体。………………………………………………… （）
2．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。……（）
3．正方体的棱长扩大3倍，体积就扩大9倍。………………………… （）
4．棱长是5厘米的正方体的表面积比体积大。………………………… （）
5．一瓶白酒有500升。…………………………………………………… （）
三．选择题（在括号里填正确答案的序号）（8%）
1．长方体的木箱的体积与容积比较（）。
A．一样大B．体积大C．容积大D．无法比较大小
2．把一根长2米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了100平方厘米，它的体积是（）。A．200立方厘米B．10000立方厘米C．2立方分米