广东省高考数学第二轮复习 选修44 坐标系与参数方程 文
真题试做
1.(2012·上海高考,理10)如图,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π
6
.若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=__________.
2.(2012·广东高考,文14)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为
??
?
x =5cos θ,y =5sin θ
? ????θ为参数,0≤θ≤π2和?????
x =1-2
2t ,
y =-2
2
t (t 为参数),则曲线C 1
和C 2的交点坐标为__________.
3.(2012·江西高考,理15)曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2
-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为__________.
4.(2012·课标全国高考,理23)已知曲线C 1的参数方程是?
????
x =2cos φ,
y =3sin φ(φ为参数),
以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方
形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为?
????2,π3.
(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;
(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2
的取值范围.
5.(2012·辽宁高考,文23)在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2
+y 2=4.
(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. 考向分析
从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及到直线与圆的极坐标方程,从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算.
预计2013年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.
热点例析
热点一 平面坐标系的伸缩变换
【例1】在同一平面直角坐标系中,将直线x -2y =2变成直线2x ′-y ′=4,求满足图象变换的伸缩变换.
规律方法 1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用,如三
角函数图象周期的变化.
2.设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
?
????
x ′=λx ,(λ>0),y ′=μy ,(μ>0)的
作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
变式训练1 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换?
????
x ′=5x ,
y ′=3y 后,曲线C 变为曲线
2x ′2+8y ′2
=1,则曲线C 的方程为( ).
A .50x 2+72y 2=1
B .9x 2+100y 2
=1
C .25x 2+36y 2
=1 D .225x 2+89
y 2=1
热点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2】在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a =0相切,求实数a 的值.
规律方法 1.直角坐标和极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则
x =ρcos θ,y =ρsin θ且ρ2=x 2+y 2,tan θ=y
x
(x ≠0).
这就是直角坐标和极坐标的互化公式.
2.曲线的极坐标方程的概念:在极坐标系中,如果平面曲线C 上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f (ρ,θ)=0,并且坐标适合f (ρ,θ)=0的点都在曲线C 上,那么方程f (ρ,θ)=0就叫做曲线C 的极坐标方程.
变式训练2 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆O 1,圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程. 热点三 参数方程与普通方程的互化 【例3】把下列参数方程化为普通方程: (1)?
????
x =3+cos θ,y =2-sin θ; (2)???
??
x =1+12t ,y =5+3
2
t .
规律方法 1.参数方程部分,重点还是参数方程与普通方程的互化,主要是将参数方程
消去参数化为普通方程.
2.参数方程与普通方程的互化:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:
①代入法:利用解方程的技巧求出参数t ,然后代入消去参数; ②三角法:利用三角恒等式消去参数;
③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.
化参数方程为普通方程F (x ,y )=0:在消参过程中注意变量x ,y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f (t )和g (t )的值域即x ,y 的取值范围.
变式训练3 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
(1)???
??
x =1+12t ,y =2+3
2
t (t 为参数);
(2)?
??
??
x =4sin θ+1,y =5cos θ(θ为参数).
热点四 极坐标方程与参数方程的综合应用 【例4】在平面直角坐标系xOy
中,已知曲线C 的参数方程为???
??
x =2cos α,
y =sin α
(α为参
数).以直角坐标系原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程
为ρcos ?
????θ-π4=2 2.点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值. 规律方法 如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形,往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程,再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形.
变式训练4 在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为
??
?
x =3cos α,y =sin α
(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴
正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为?
????4,π2,判断点P 与直线l 的位置关系;
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.
1.(2012·广东江门调研,文15)已知在极坐标系下,点A ? ????1,π3,B ?
????3,2π3,O 是极
点,则△AOB 的面积等于__________.
2.设直线的参数方程为???
?
?
x =2+1
2
t ,
y =3+3
2
t (t 为参数),则其斜截式方程为__________.
3.(2012·广东梅州中学三模,15)在极坐标系中,若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交
曲线ρ=4cos θ于A ,B 两点,则|AB |=__________.
4.(2012·北京丰台三月模拟,11)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是?????
x =1+3
2t ,y =12t
(t 为参数).以O 为极点,x 轴正方向为极轴的极坐标系中,圆C 的极
坐标方程是ρ2
-4ρcos θ+3=0.则圆心到直线的距离是__________.
5.(2012·广东肇庆二模,文14)在极坐标系中,曲线ρ=2与cos θ+sin θ=0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为__________.
6.(2012·广东深圳第二次调研,文15)在极坐标系中,已知直线l :ρ(sin θ-cos θ)=a 把曲线C :ρ=2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分,则常数a 的值是__________.
7.(2012·广东茂名二模,文14)已知曲线C 的参数方程为?
????
x =1+cos θ,
y =sin θ(θ为参
数),则曲线C 上的点到直线x +y +2=0的距离的最大值为__________.
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1.1sin ? ????π6-θ 解析:如图所示,根据正弦定理,有ρsin 5π6=2
sin ? ????π-θ-5π6,∴ρ
=1
sin ? ??
??π6-θ
.
2.(2,1) 解析:由C 1得x 2+y 2
=5①,且??
?
0≤x ≤5,0≤y ≤5,
由C 2得x =1+y ②,
∴由①②联立????? x 2+y 2=5,x =1+y ,得?
????
x =2,y =1. 3.ρ=2cos θ
4.解:(1)由已知可得A ?
????2cos π3,2sin π3, B ? ????2cos ? ????π3+π2,2sin ? ????π3+π2, C ? ????2cos ? ????π3+π,2sin ? ????π3+π, D ? ????2cos ? ????π3+3π2,2sin ? ????π3
+3π2,
即A (1,3),B (-3,1),C (-1,-3),D (3,-1).
(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2
,
则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2
φ.
因为0≤sin 2
φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52]. 5.解:(1)圆C 1的极坐标方程为ρ=2, 圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ.
解?
??
??
ρ=2,ρ=4cos θ得ρ=2,θ=±π
3
,
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为?
????2,π3,? ????2,-π3.
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)方法一:由?
????
x =ρcos θ,
y =ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为???
??
x =1,
y =t ,-3≤t ≤ 3.
(或参数方程写成?
??
??
x =1,
y =y ,-3≤y ≤3)
方法二:将x =1代入?
??
??
x =ρcos θ,
y =ρsin θ,得ρcos θ=1,
从而ρ=1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?
??
??
x =1,
y =tan θ,-π3≤θ≤π
3
. 精要例析·聚焦热点
热点例析
【例1】 解:设变换为???
?
?
x ′=λx ,y ′=μy ,
代入第二个方程,得2λx -μy =4与x -2y =2
比较,将其变成2x -4y =4,比较系数得λ=1,μ=4.
∴伸缩变换公式为?
??
??
x ′=x ,
y ′=4y ,
即直线x -2y =2上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′-y ′
=4.
【变式训练1】 A 解析:将???
?
?
x ′=5x ,y ′=3y ,
代入曲线方程2x ′2+8y ′2=1,得:2·(5x )
2
+8·(3y )2
=1,即50x 2
+72y 2
=1.
【例2】 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2
=1,
直线的方程为3x +4y +a =0.
由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,
即有|3×1+4×0+a |32+4
2
=1, 解得a =-8或a =2.即a 的值为-8或2.
【变式训练2】 解:(1)因为圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为 ρ=4cos θ,ρ=-sin θ,
又因为ρ2=x 2+y 2
,ρcos θ=x ,ρsin θ=y , 所以由ρ=4cos θ,ρ=-sin θ得, ρ2=4ρcos θ,ρ2=-ρsin θ.
即x 2+y 2-4x =0,x 2+y 2
+y =0.
所以圆O 1和圆O 2的直角坐标方程分别为 x 2+y 2-4x =0,x 2+y 2+y =0.
(2)由(1)易得,经过圆O 1和圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程为4x +y =0.
【例3】 解:(1)由已知?
????
cos θ=x -3,
sin θ=2-y ,
由三角恒等式cos 2θ+sin 2
θ=1,
可知(x -3)2+(y -2)2
=1,这就是它的普通方程.
(2)由已知,得t =2x -2,代入y =5+3
2
t 中,
得y =5+
3
2
(2x -2), 即3x -y +5-3=0就是它的普通方程.
【变式训练3】 解:(1)由x =1+1
2
t ,得t =2x -2.
∴y =2+
3
2
(2x -2). ∴3x -y +2-3=0,此方程表示直线.
(2)由???
??
x =4sin θ+1,y =5cos θ
得?????
sin θ=x -1
4,cos θ=y
5
,两式平方相加得(x -1)216+y
2
25
=1,
此方程表示椭圆.
【例4】 解:ρcos ?
????θ-π4=22化简为ρcos θ+ρsin θ=4,则直线l 的直角坐
标方程为x +y =4.
设点P 的坐标为(2cos α,sin α),得P 到直线l 的距离d =|2cos α+sin α-4|
2
,
即d =|5sin(α+φ)-4|2,其中cos φ=15,sin φ=25.
当sin(α+φ)=-1时,d max =22+
10
2
. 【变式训练4】解:(1)把极坐标系中的点P ?
????4,π2化为直角坐标,得P (0,4).
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上. (2)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α), 从而点Q 到直线l 的距离是
d =|3cos α-sin α+4|2=2cos ?
????α+π6+42
=2cos ?
????α+π6+22, 由此得,当cos ?
????α+π6=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. 创新模拟·预测演练
1.334 解析:∵∠AOB =2π3-π3=π3
.
∴S △AOB =12·OA ·OB ·sin∠AOB =12×1×3×sin π3=334.
2.y =3x +3-2 3
3.2 3 4.12
5.? ????2,3π4 解析:方法一:由???
?? ρ=2,cos θ+sin θ=0
?
?
??
??
x 2+y 2
=4,
y =-x ???
?
x =-2,
y =2,
或??
?
x =2,
y =-2
(舍去),得?
????2,3π4.
方法二:由cos θ+sin θ=0?tan θ=-1,
因为0≤θ≤π,所以θ=3π4,故交点的极坐标为?
????2,3π4.
6.-1 解析:直线l :ρ(sin θ-cos θ)=a ,可化为直角坐标方程y -x =a .
曲线C :ρ=2cos θ,可化为直角坐标方程(x -1)2+y 2
=1. 因为l 把C 的面积平分,所以l 过圆C 的圆心(1,0). 即得0-1=a ,即a =-1. 7.322
+1 解析:曲线C 化为普通方程为(x -1)2+y 2=1.
因为圆C 到直线的最大距离是圆心到直线的距离加上半径.
所以,d max =|1+0+2|12+12
+1=32
2+1.