极限与连续 基础练习题(含解答)

第二章 极限与连续 基础练习题（作业）

§ 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

1．468

2,

,,357

L 极限为1 2．1111

1,,,,,2345

--L 极限为0

3．21

2212?-??=?+???n n

n n

n

n a n 为奇数为偶数极限为1

§ 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞

x

x e

极限为零 2．2

lim tan x x π

→

无极限 3．

lim arctan →-∞

x x

极限为2

π-

4．0

lim ln x x +

→ 无极限，趋于-∞

二、设2

221,

1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+?

……，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？

2

1

1

lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=Q ；11

lim ()lim(21)3x x f x x --

→→=+= 2

2

2

lim ()lim(1)3x x f x x ++

→→=-=Q ；222

lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2

lim ()x f x →∴不存在。

三、设

()1

11x

f x e

=

+，求

0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．

lim ()x f x →∴不存在。

四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在．

1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零

2．取整函数()[]=f x x 不存在

3．符号函数

()sgn =f x x 不存在

§ 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由： 1．1

sin

x x

是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin

0x x →；当1x →时，1

sin sin1x x

→不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

1．

22

1

x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。

2．1ln tan x

, k Z ∈

()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1

0ln tan x

→为无穷小量；

x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1

0ln tan x

-→为无穷小量；

4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1

ln tan x

→∞为无穷大量；

三、当0+

→x 时，2

x ，

和最低阶的无穷小量分别是谁？

2

00lim lim 01x x ++

→→==Q ，所以当0+→x 时，2x

22

00lim lim 0

1

x x x ++→→==Q ，所以当0+→x 时，2x

0lim lim 01x x +

+

→→==Q ，所以当0+

→x 时， 的高阶无穷小量。

通过比较可知，当0+

→x 时，2

x ，

2x 的高阶无穷小

量，因此2

x 是三者中最高阶的无穷小量。2

x 的无穷小量。

四、利用无穷小量与极限的关系证明：0

lim

()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．

证明：设0

lim

()x x f x A →=，0

lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，

()g x B β=+，其中,αβ为0x x →时的无穷小量。

则0

lim

()()x x f x g x →=0

lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =

§ 极限的性质与运算法则

一、如果0

lim

()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．

（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-0ε?． 二、求下列函数的极限

1．113(2)lim 3(2)n n

n n n ++→∞+-+- 2．()??????++?+?+?∞→113

21211lim n n n 3．2134lim 1x x x x →+-- 4．3113lim 11x x x →-??- ?++??

5．

)lim 2x x

x →+∞

6．(lim x x →∞

原式

lim x →∞

= 原式x =三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞

??

+--=

?+??

必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；

四、若3214

lim

1

x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b § 极限存在性定理与两个重要极限

一、判断题：

1．1sin lim

1x x

x

→=错

2．1sin(1)lim 11x x x →-=-对

3．sin lim 1x x x

→∞=错

4．1

lim sin 1x x x

→∞=对

5．01

lim sin 1x x x

→=错

6．01lim(1)x

x e x

→+=对

7．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1x

x x x x x e +-都是x 的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：

1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim

2

x x x →--3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1x

x x x →∞+??

?-??

5．1

11

lim x

x x

-→111

lim(11)

x

x x -→=+- 6．22lim 1x

x x x →∞?? ?-??

lim 11x x

x x x x x →∞????

= ? ?-+???? 7．2301

lim

ln(1)x x x x x

→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+

三、求极限22212lim()12n n

n n n n n n n

→∞

+++++++++L ．

由两面夹法则 四、设222

111

123n

u n

=+

++???+，证明数列{}n u 的极限存在． 由单调有界定理，数列{}n u 的极限存在.

五、设0>a ，10>x ，且有11()2+=+n n n

a

x x x ，(1,2,)=L n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限．

由单调有界定理，数列{}n x 的极限存在

§ 函数的连续性

一、填空题

1．设函数

()()x

x x f -=

1ln ，若补充()=0f -1 可使()x f 在0=x 处连续．

2．1=x 是函数2

31

22+--=x x x y 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．

3．0=x 是函数

tan =

x

y x

的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． ()?±±==2,1k k x π是函数tan =x

y x

的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点．

()?±±=+=2,12

k k x π

π是函数tan =

x y x 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 4．a x =是函数a

x a x y --=

的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点．

5．0=x

是函数x

y 1

cos 2

=的第 2 类间断点． 二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：

1．2

21cos ,0()1,0x

x f x x x x -?

=??+≥? 220

1cos 1lim lim(1)12x x x x x -

+

→→-=+=Q ；，0x ∴=为第一类跳跃间断点。 2．1

()x

f x e =

1

10

lim 0lim x x

x x e e -+

→→==+∞Q ；，0x ∴=为第二类无穷间断点。 3． 22()||(1)x x f x x x -=-(1)||(1)(1)

x x x x x -=-+

0x ∴=为第一类跳跃间断点。 1x ∴=为第一类可去间断点。 1x ∴=-为第二类无穷间断点

四、sin ,0(),0

1sin ,0

x

x x

f x a x b x x x ?

==???+>?

，确定,a b 使 1．()f x 在0x =处有极限00sin 1

lim lim(sin )x x x b x x x -

+→→?

=+， 1.b ∴=

2．()f x 在0x =处连续00sin 1

lim

lim(sin )x x x b x a x x

-+→→?=+=． 1.a ∴=

五、()()(1)

-=--x e b

f x x a x ，确定,a b 使同时满足

（1）0x =是()f x 的无穷间断点，即001lim ()lim

,0.()(1)x x x e b b

f x a x a x a

→→--==→∞∴=--（2）1=x 是()f x 的可去间断点，即1

1

lim ()lim =0.x x x f x e b b e →→-∴=存在，则必有，

六、设()f x 在[,]a b 上连续，且()≤f a a ，()≥f b b ，证明在区间[,]a b 上至少存在一点

ξ，使得()ξξ=f ．

证明：设()()F x f x x =-，则()F x 也在[,]a b 上连续。 且有()()0;()()0.F a f a a F b f b b =

-≤=-≥即()()0F a F b ≤。

若()()0F a F b <，由零点定理，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ． 若()()0F a F b =，则()0()0F a F b ==或，此时区间端点是函数()F x 的零点。 综上，在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ．