15机械振动习题解答讲解
第十五章 机械振动
一 选择题
1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。
2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；
D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。
3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ）
A.
l g
B. l g
C. g l
D.
g
l
解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l
g m
k ==
ω。 故本题答案为B 。
4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ）
A. 2
π-
B. 0
C. 2π
D. π
解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==
t A t
x
v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2
π
-=?。
故本题答案为A 。
5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )
A. m
k k 2
1π
2=ν B. m
k k 2
1π2+=ν
C. 212
1π21.k mk k k +=ν
D. )
k m(k .k k 212
1π
21+=
ν
解：设当m 离开平衡位置的位移为x ，时，劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧的伸长量分别为x 1和x 2，显然有关系
x x x =+21
此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有
2211x k x k =
112
2d d x k t x m -=
由前面二式解出2
121k k x
k x +=
，将x 1代入第三式，得到
x k k k k t x
m
212
12
2d d +-
=
将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令)
k m(k .k k 212
12+=ω，即得振动频率
)
k m(k .k k 212
1π
21+=
ν。
所以答案选D 。
6. 如题图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( )
)
k m(k .k k v .k mk k k v m k k v m k k v 212121212
121π
21
D. π
21 C.π21
B. π2 A.+=
+=
+==
解：设质点离开平衡位置的位移是x ，假设x >0，则第一个弹簧被拉长x ，而第二个弹簧被压缩x ，作用在质点上的回复力为 -( k 1x + k 2x )。因此简谐振动的动力学方程
k 1
k 2
m
选择题5图
选择题6图
m
k 1
k 2
x k k t x m
)(d d 212
2+-=
令m
k k 212+=
ω，即m k k v 2
1π21+=
所以答案选B 。
7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )
A. kA 2
B. (1/2 )kA 2
C. (1/4)kA 2
D. 0
解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D 。 8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增
加为原来的4倍，则它的总能量为 ( ) A. 2E B. 4E C. E D. 16E
解：因为2
2
1kA E =
，所以答案选B 。 9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为 cm )π25.010cos(6cm )π75.010cos(521+=+=t x t x ；
则合振动的振幅为 ( )
A.
61cm B. 11cm C. 11cm D. 61cm
解 )c o s (212212
221??-++=A A A A A
61)π75.0π25.0cos(6526522=-???++=
所以答案选A 。
10. 一振子的两个分振动方程为x 1 = 4 cos 3 t ，x 2 = 2 cos (3 t +π) ，则其合振动方程应为：（ ）
A. x = 4 cos (3 t +π)
B. x = 4 cos (3 t -π)
C. x = 2 cos (3 t -π)
D. x = 2 cos 3 t
解：x =x 1+ x 2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +π)= 4 cos 3 t - 2 cos 3 t = 2 cos 3 t 所以答案选D 。
11. 为测定某音叉C 的频率，可选定两个频率已知的音叉 A 和B ；先使频率为800Hz 的音叉A 和音叉C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz 音叉B 和C 同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C 的频率应为： （ ）
A. 800 H z
B. 799 H z
C. 798 H z
D. 797 H z
解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A 和音叉C 同时振动时，拍的频率是2 H z ，音叉B 和音叉C 同时振动时，拍的频率是1H z ，显然音叉C 的频率应为798 H z 。
所以答案选C 。
二 填空题
1. 一质量为m 的质点在力 F = -π 2
x 作用下沿x 轴运动，其运动的周期
为 。
解：m m
k m T 222
2===π
ππ。 2. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为-ω
A 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的 点，振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为 -ω2A 和弹性力为 -kA 的状态，则对于曲线上的 点。
解：b ； a 、e 。
3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为 x =_ m 。 解：)2
cos(04.0π
π-t 。
4. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5πt / 3 -π/ 2 ) m 。 (1) 此简谐振动的周期T = 。
(2) 当t = 0.6 s 时，物体的速度v = 。 解：（1）由5π/ 3 =2π/ T ，得到T = 1.2s ；（2）v = -0.04? 5π/3?sin (5πt / 3 -π/ 2 )，当t = 0.6 s 时，v = -0.209 m . s –1。
5. 一质点沿x 轴做简谐振动，振动中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A ， (1)若t =0时刻质点过x=0处且向x 轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t =0时质点位于x =A /2处且向x 轴负方向运动，则振动方程为_______。
解：（1）)2/2cos(π-π
=T
t A x ；（2） )32cos(π
π+T t A
6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m ，旋转角速度
ω= 4πrad/s ，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x = 。
解：t =0时x =0，v >0，所以振动的初相位是-π/2。故x
t = 0 填空题6图
填空题2图
-填空题3图
m (x )
s .0.0-
=)2
4cos(04.0π
π-t 。
7. 质量为m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。
解：因为2
2
2
π4T m
m k ==ω，所以222
22
21T
A m kA E π==。 8. 将质量为 0.2 kg 的物体，系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。
假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为__________，
振幅为____________。
解： 1.55 Hz ；
103A .=m
9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定： （1） 在 s 时速度为零； （2） 在 s 时动能最大； （3） 在 s 时加速度取正的
最大值。
解：（1）0.5(2n +1)， n =0,1,2,3…；
（2）n ，n =0,1,2,3…；
（3）0.5(4n +1)，n =0,1,2,3…。
10. 一质点作简谐振动，振幅为A ，当它离开平衡位置的位移为2
A
x =时，其动能E k 和势能E p 的比值
p
k
E E =__________。 解 势能 812122p kA kx E ==
，
总机械能为221kA E =，动能 8
3
2k kA E =。故3p k =E E 。 11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为
)4ππ2cos(
100.621+?=-t T x (SI)，)4
π
π2cos(100.422-?=-t T x (SI)，则其合振动的表达式为________________(SI)。
解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。 (1) 解析法 合振动为21x x x +=，
)4ππ2cos(
100.62+?=-t T x )4π
π2cos(100.42-?+-t T )]π2sin()π2cos(
5[1022t T t T -?=-)π
2cos(102.72?+?=-t T
填空题9图
x (m)
t (s)
1 2 3 0
其中 =?11.3°
(2) 旋转矢量法 如图所示，用旋转矢量A 1和A 2分别表示两个简谐振动x 1和x 2，
合振动为A 1和A 2的合矢量A ，按矢量合成的平行四边形法则
2222102.74610--?=+?=A m ， 5
1
cos cos sin sin tan 22112211=++=?????A A A A ,3.11=?°
故合振动的表达式为)3.11π
2cos(
102.72?+?=-t T
x
三 计算题
1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm ，圆频率ω= 4πs -1，以余弦函数表达运动规律时的初相位? =π/ 2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。
解：圆频率ω= 4πs -1，故周期T =2π/ω= 2π/4π=0.5s ，又知初相位?=π/ 2，故位移和时间的关系为x = 0.02cos （4πt +π/ 2）m ，振动曲线如下图所示。
2. 一质量为0.02kg 的质点作简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t -π/2) m 。求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。
解：（1） )2
5sin(0.3d d π
--==t t x v
0.3)2
sin(0.3 0=--=π
v m/s
（2） 2x m ma F ω-==
x =A /2=0.3 m 时， 15.03.0502.02-=??-=F N 。
3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的高度为 b ，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。
证明：选如图坐标系:，静止时: (1)mg gaS ρ=----
任意位置时的动力学方程为： 2
2d d x m g g x S m t
ρ-=
------(2) 将(1)代入(2)得 2
2
d ()d x
gS x a m
t ρ--= 令y x a =-，则 2222d d d d x y t t =，上式化为：2
2d d y gSy m t
ρ-=
-
令2
gS
m ρω=得: 2
22
d 0d y y t
ω+=------(3) 上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:0cos()y A t ω?=+
所以木块的运动是简谐振动.
振动周期: 222T ω
π
=
=
0t =时，0x b =，0y b a =-，00=v 振幅:A b a =
=-
4.在一轻弹簧下悬挂m 0=100g 的物体时，弹簧伸长8cm 。现在这根弹簧下端悬挂m=250g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的21cm /s 的初速度（令这时t =0）.选x 轴向下，求振动方程
解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 弹簧的劲度系数l g m k ?=/0。
当该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
]cos[?ω+=t A x
角频率为m k /=
ω代入数据后求得7ω= rad ?s -1
以平衡位置为原点建立坐标，有：
00.04x = m, 00.21=-v m ?s -1
据A =0.05A = m 据A
x 0
1
cos
-±=?得0.64?=± rad ,由于00 x 0 1 cos -±=?得/2?=±π,由于00 20.06cos(10/2)x t =+π m 5. 已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动 表达式，（2）与P 点状态对应的相位，（3）与P 点状态相应的时刻。 解 （1）设振动表达式为 x = A cos (ω t+?) 由题图可见，A =0.1m ，当t = 0时，有 05.0cos 1.00==?x m ，这样得到3 π ±=?。由振 动曲线可以看到，在t = 0时刻曲线的斜率大于零，故t =0时刻的速度大于零，由振动表达式可得 v 0 = -2ω sin ? > 0 即sin ? < 0，由此得到初相位3 π- =?。 类似地，从振动曲线可以看到，当t =4s 时有 0)3π 4cos(1.04=-=ωx 0)3 π 4sin(1.04<--=ωωv 联立以上两式解得2 π 3π4=-ω，则π245=ω rad ?s -1，因此得到振动表达式 )3 π π245cos(10.0-=t x m （2）在P 点，1.0)3ππ245cos(10.0=-=t x ，因此相位0)3 π π245(=-t 。 （3）由0)3 π π245(=-t ，解出与P 点状态相应的时刻t = 1.6 s 。 6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量图。 解：因为 ) cos() cos(221?ω?ω+=+=t A t A A ，所以 3 π ,3 π 21±=+±=+?ω?ωt t ， 故3 2π 0或=??，取32π =??。 旋转矢量图如左。 7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6kg ，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m ，此时撤去力F ，当重物运 动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。 计算题7图 x 计算题5图 解：设物体振动方程为：x = A c o s (ωt +?)，恒外力所做的功即为弹簧振子的能量E： E = F? 0.05 = 0.5 J 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E： kA2 / 2= 0.5 由此球出振幅A = 0.204 m 。 根据ω2 = k / m = 24/6 = 4 ( r a d / s )2，求出ω= 2 r a d / s 。 按题中所述时刻计时，初相位为?=π。所以物体运动方程为 x = 0.204 c o s (2 t +π) m 8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。已知球经平衡位置向右运动时，v= 100 cm?s-1，周期T = 1.0s，求再经过1/3秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。 解：设小球的速度方程为： v =v m c o s (2πt/ T +?) 以经过平衡位置的时刻为t = 0，根据题意t = 0时v = v0 = 100 cm s-1，且v＞0。所以 v m = v0，?= 0 此时小球的动能E k0 = m v02 / 2。 经过1 / 3秒后，速度为v = v0 c o s [2π/（3T）] = -v0 /2 。其动能 E k = m v2 / 2 = m v02/ 8 所以E k / E0 = 1/ 4，即动能是原来的1/ 4倍。 9. 一质点作简谐振动，其振动方程为：x = 6.0×10-2 cos (πt / 3 -π/ 4) m。 （1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？ 解：（1）势能E p= kx2/ 2 ，总能量E= kA2/2。根据题意，kx2/ 2 = kA2/ 4，得到 2 10 24 .4 2 /- ? ± = ± =A x m，此时系统的势能为总能量的一半。 (2) 简谐振动的周期T = 2π/ω= 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位置运动到2 / A x± =的最短时间t为T / 8 ，所以 t = 6 / 8 = 0.75 s 10. 如图所示，劲度系数为k，质量为m 的弹 簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以水平速度v 1射入m 中，与之一起运动。 选m、m 开始共同运动的时刻为t= 0，求振动的固有角频率、振幅和初相位。 解：碰后振子的质量为m+ m 0，故角频率 m m k + = ω。 x 计算题10图 设碰撞后系统的速度为v 0，碰撞过程中动量守恒，故得到m m m += 01 0v v 。系统的初 始动能为2 00)(2 1v m m +，在最大位移处全部转换为弹性势能221kA ，即振幅 ) () (01102 00m m k m m m k m k m m A += +=+= v v v 令振动方程为) cos(?ω+=t A x ，则速度)sin(d d ?ωω+-== t A t x v 。 当t =0时，0sin ,0cos 00<=-===v v ?ω?A x A ，可解出初相位2 π= ?。 11. 一个劲度系数为k 的弹簧所系物体质量为m 0，物体在光滑的水平面上作振幅为A 的简谐振动时，一质量为m 的粘土从高度h 处自由下落，正好在（a ）物体通过平衡位置时，（b ）物体在最大位移处时，落在物体m 0上。分别求：（1）振动的周期有何变化？（2）振幅有何变化？ 解：（1）物体的原有周期为k m T /π200=，粘土附上后，振动周期变为 k m m T /)(π20+=，显然周期增大。不管粘土是在何时落在物体上的，这一结论都正确。 （2） 设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从v 0变为v ，根据动量守恒定律，得到 000 v v m m m += 又设粘土附上前后物体的振幅由A 0变为A ，则有 20 2 002121kA m =v 2202 1 )(21kA m m =+v 由以上三式解出000 A m m m A += ，即振幅减小。 物体在最大位移处时落下粘土，2 202 121kA kA =，此时振幅不变。 12. 如题图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为m 1的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为m 2的物体跨过一质量为m ，半径为R 的定滑轮与m 1相连，求其系统的振动圆频率。 计算题12图 m 2 解 方法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标S 。对m 1 和m 2应用牛顿第二定律、对m 应用刚体定轴转动定律，得到 22111d d t S m a m kS T ==- 222222d d t S m a m T g m ==- αα2122 1 )(mR J R T T = =- 加速度和角加速度之间具有关系 2 2d d 1t S R R a ==α 解上面的方程组得 0)(d d )21(22221=-+++k g m S k t S m m m 令k g m S x 2- =，上式简化为标准的振动方程 02 /d d 212 2=+++ x m m m k t x 系统的振动圆频率 2 /21m m m k ++= ω 方法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。 02 1 2121212222212=-+++gS m m J m kS v v ω 代入和将22 1 mR J R == v ω，得到 0)d d (21212212=-++++gS m t S m kS m)(m 2 将上式对时间求一阶导数，得到 0)(d d )21(22221=-+++k g m S k t S m m m 上式和解法一的结果一样。同样，圆频率为 +2 /21m m m k ++= ω 13. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x 1= 0.04 cos (2πt +π/2) m ；x 2 = 0.03 cos (2πt +π) m 。求此物体的振动方程。 解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振动。设合成运动的振动方程为： x = A cos (ωt +? ) 则 A 2 = A 12 +A 22 +2 A 1A 2 cos(?2-?1) 式中?2 -?1 = π-π/ 2 =π/ 2。代入上式得 53422=+=A cm 又 34 cos cos sin sin =tan 22112211=++?????A A A A 根据两个分振动的初相位，可知合振动的初相位是 21.213.53180 ≈?-?≈?rad 故此物体的振动方程 )21.22cos(05.0+=t x πm 14.有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为2m ，位相与第一振动的 位相差为6π ，已知第一振动的振幅为1.73m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 动的位相差。 解：由题意可做出旋转矢量图． 由图知 1 2/3273.12)2()73.1(30cos 222122122=???-+=? -+=A A A A A 所以 m 12=A 设角θ 为O AA 1，则 θcos 2212 2212A A A A A -+= 即 0 173.1221)73.1(2cos 2 222122 221=??-+=-+=θA A A A A 即2π = θ，这说明，1A 与2A 间夹角为2π，即二振动的位相差为2 π。 15. 一质量为2.5kg 的物体与一劲度系数为1250N ?m -1的弹簧相连作阻尼振动，阻力系数η 为50.0kg ?s -1，求阻尼振动的角频率。 解：准周期振动的角频率为 20))5.22/(50(5.2/1250)2/(/2222 0=?-=-=-=m m k ηγωω rad/s 16. 一质量为1.0kg 的物体与一劲度系数为900N ?m -1的弹簧相连作阻尼振动，阻尼 因子γ 为10.0?s -1 。为了使振动持续，现给振动系统加上一个周期性的外力F = 100 cos 30t (N)。求：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率；（2）若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？（3）共振的振幅多大？ 解：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率就是驱动力的频率ω = 30 rad/s 。 （2）动频率ω 等于 5.261020.1/900 2/ 22222 0=?-=-=-=γγωωm k r rad/s 。 （3）共振的振幅177.010 0.1/9001020.1/1002/2 2 2 0=-?= -=γ ωγ m F A r m 高三物理第一轮复习《机械振动和机械波》 一、机械振动： （一）夯实基础： 1、简谐运动、振幅、周期和频率： （1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。 特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。 ③振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 ④当质点向远离平衡位置的方向运动时，质点的速度减小、动量减小、动能减小，但位移增大、回复力增大、加速度增大、势能增大，质点做加速度增大减速运动；当质点向平衡位置靠近时，质点的速度增大、动量增大、动能增大，但位移减小、回复力减小、加速度减小、势能减小，质点做加速度减小的加速运动。 ④弹簧振子周期：T= 2 (与振子质量有关,与振幅无关) （3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量, 是标量。 （4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为频率，单位是赫兹（Hz ）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、单摆： （1）单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。 （2）单摆的特点： ○ 1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100 时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T= g L π 2。 （3）单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=2 24T L π. 3、受迫振动和共振： （1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 （2）共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。 ○ 2产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用：转速计、共振筛。 4、简谐运动图象： （1）特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 （2）简谐运动图象的应用： ①可求出任一时刻振动质点的位移。 ②可求振幅A ：位移的正负最大值。 ③可求周期T ：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ④可确定任一时刻加速度的方向。 ⑤可求任一时刻速度的方向。 ⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 πm K 《大学物理学》机械振动自主学习材料 一、选择题 9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动， 代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】 9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ） （A ）22 2cos()3 3x t ππ=-； （B ）2 22cos()33x t ππ=+ ； （C ）4 22cos()33x t ππ=-； （D ）4 22cos()33 x t ππ=+ 。 【考虑在1秒时间内旋转矢量转过 3 ππ+，有43 πω= 】 9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示， 1x 的相位比2x 的相位（ ） （A ）落后 2 π ； （B ）超前 2 π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】 9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2 ν ； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。 【考虑到动能的表达式为2 2 2 11sin () 2 2 k E m v kA t ω?= = +，出现平方项】 9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可 叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ）32 π； （B ）2π ； （C ）π； （D ）0。 【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】 9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则 '/T T 为（ ） ()A ()B () C ()D ) s 1 -2 - 《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动 选择题 1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t ＝t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 2．如图所示，在一条张紧的绳子上悬挂A 、B 、C 三个单摆，摆长分别为L 1、L 2、L 3，且L 1＜L 2＜L 3，现将A 拉起一较小角度后释放，已知当地重力加速度为g ，对释放A 之后较短时间内的运动，以下说法正确的是（ ） A ．C 的振幅比 B 的大 B ．B 和 C 的振幅相等 C ．B 的周期为2π 2 L g D ．C 的周期为2π 1 L g 3．如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b 发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半．则碰撞后 A 56 T B ．摆动的周期为 65 T C ．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D ．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 5．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（ ） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 6．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212()x x g L π- B ． 212()2x x g L π- C ． 212()4x x g L π- D ． 212()8x x g L π- 《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。 1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos n t+ B cos (n t+ ) = C cos (n t+ ' )，并讨论＝0、/2 和三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos t和x2 = X2 cos ( + ) t之和。其中 << 。如发生拍的现象，求其振幅和 拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i 形式： (a) 1 + i3(b) 2 (c) 3 / (3 - i ) (d) 5 i (e) 3 / (3 - i ) 2 (f) (3 + i ) (3 + 4 i ) (g) (3 - i ) (3 - 4 i ) (h) ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 2－1 钢结构桌子的周期＝ s，今在桌子上放W = 30 N 的重 物，如图2－1所示。已知周期的变化＝ s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚 度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面 作纯滚动，它的圆心O用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动 微分方程。 图2－1 图2－2 图2－3 一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分） 高一物理机械运动、位移典型例题 [例1]甲、乙、丙三架观光电梯，甲中乘客看一高楼在向下运动；乙中乘客看甲在向下运动；丙中乘客看甲、乙都在向上运动.这三架电梯相对地面的运动情况是[] A.甲向上、乙向下、丙不动 B.甲向上、乙向上、丙不动 C.甲向上、乙向上、丙向下 D.甲向上、乙向上、丙也向上，但比甲、乙都慢 [分析]电梯中的乘客观看其他物体的运动情况时，是以自己所乘的电梯为参照物.甲中乘客看高楼向下运动，说明甲相对于地面一定在向上运动.同理，乙相对甲在向上运动，说明乙对地面也是向上运动，且运动得比甲更快.丙电梯无论是静止，还是在向下运动，或以比甲、乙都慢的速度在向上运动，丙中乘客看甲、乙两电梯都会感到是在向上运动. [答] B、C、D. [例2]下列关于质点的说法中，正确的是[] A.体积很小的物体都可看成质点 B.质量很小的物体都可看成质点 C.不论物体的质量多大，只要物体的尺寸跟物体间距相比甚小时，就可以看成质点 D.只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点 [分析] 一个实际物体能否看成质点，跟它体积的绝对大小、质量的多少以及运动速度的高低无关，决定于物体的尺寸与物体间距相比的相对大小.例如，地球可称得上是个庞然大物，其直径约为1.28×107 m，质量达到6×1024kg，在太空中绕太阳运动的速度每秒几百米.由于其直径与地球离太阳的距离（约1.5×1011m）相比甚小，因此在研究地球的公转运动时，完全可以忽略地球的形状、大小及地球自身的运动，把它看成一个质点. [答] C. [例3]下列各种情况，可以把研究对象（黑体者）看作质点的是[] A. 研究小木块的翻倒过程 B. 讨论地球的公转 C. 解释微粒的布朗运动 D. 计算整列列车通过某一路标的时间 [误解一] 小木块体积小，远看可视为一点；作布朗运动的微粒体积极小，当然是质点，故选（A）、（C）。 [误解二] 列车作平动，车上各点运动规律相同，可视为质点，故选（D）。 [正确解答] 讨论地球的公转时，地球的直径（约1.3×104km）和公转的轨道半径（约1.5×108km）相比要小得多，因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小，即地球的大小和形状可以忽略不计，可把地球视为质点，故选（B）。 [错因分析与解题指导] 物理研究中常建立起一些理想化的模型，它是物理学对实际问题的简化，也叫科学抽象。它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素，抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题，质点就是一个理想化的模型。[误解一] 以为质点是指一个很小的点。但在小木块的翻倒过程中，木块各点绕一固定点转动，各点运动情况不同，不可看作质点。至于作布朗运动的粒子，尽管体积极小，仍受到来自各个方向上的液体分子（具有更小体积）的撞击，正是这种撞击作用的不平衡性使之作无规则运动，也不可把布朗运动粒子视为质点。[误解二]以为火车在铁道上的运动为平动，可视为质点。而本题实际考察的是经过某路标的时间，就不能不考察它的长度，在这情况中不能视其为质点。 [例4]关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是[] A. 位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向 B. 路程是标量，即位移的大小 C. 质点沿直线向某一方向运动，通过的路程等于位移的大小 D. 物体通过的路程不等，位移可能相同 [误解]选（A），（B）。 机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=??? （共计15分） 故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共 计15分） 解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系 统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ） k m 1 m 2 . k . m, m 2 3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设 I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分） 解：取1, 2为系 统的广义坐标， 系统的动能为 E T I 1 12 212 22 11 （ 12 22） 振动分析与实验基础课程考试 3答案 1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂, 且k 2 2k 〔 ， k g k 〔 o 解: 等效刚度二一1— 1 1 (-—) k 1 k 2 k 3 永1 5k 1 k m 3m 解得 x x 0cos n t —°sin n t n T 乙2 n 2). 1 2 1 2 1 2 U 尹i (r J 2 步(「! r 2)2 尹(「2)2 系统的特征方程为: 在频率比/ n = , 2时，恒有X A 2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在 / n > 2 , X/A 随 E 增大而增大 (共计15分) 证明：1).因—<1 (2 / n )2|H() A^ 1 故当 / n = 2 时， |H(W )| .—. V 1 (2 J 2)2 所以，X 1 (2 2 )2 1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A A ；1 (2 厨 (2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2 / n )2 (1 ( / n )2)2 (2 / n )2'2 系统的势能为 从而可得 k 1r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 3r 2 2kr 2 kr 2 kr 2 4kr 2 得 W 12 (3 .2)牛 (3 其振型分别为：U 1 u 2 4. H( )| 1 (2 / n )2, |H( )| 1/ . 1-( / n ) 2 2 (2 / n )2 证明: 1).无论阻尼比E 取何值, 九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。 ②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得 ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。 机械振动基础试卷 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 振动分析与实验基础课程考试试卷 1 1. 设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图1所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为： 2）它们串联时的总刚度eq k 为： (共计15分) 2. 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静 伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 (共计15分) 3. 求如图2所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘， 质量分别为1m ,2m 。(共计15分) 4. 试证明：对数衰减率也可用下式表示 n n x x l n 01=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。 并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。(共计15分) 5. 如图3所示的扭振系统，设, 221I I =12t t K K = 1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。 2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 (共计15分) 6. 证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商 满足221)(n x R ωω≤≤ 这里[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(共计15分) 7. 求整流正弦波 T tπ A x(t) 2 sin =的均值，均方值和方差。(共计10分) 《机械振动学》课程习题库 第一章 1.1 何谓机械振动？表示物体运动特征的物理量有哪些？ 1.2 按产生振动的原因分为几类？按振动的规律分为几类？ 1.3 何谓线性系统、机械系统和等效系统？ 1.4 如何理解瞬态振动、稳态振动、自由振动、强迫振动、纵向振动。横向振动、扭转振 动、参数振动和非线性振动？ 1.5 写出频率、角频率、相位、幅值、有阻尼固有频率，并说明意义，注明单位值。 1.6 如何理解粘性阻尼系数、等效阻尼、临界阻尼系数、欠阻尼和过阻尼？ 1.7 振动对机械产品有哪些影响？ 1.8 利用振动原理而工作的机电设备有哪些？试举例说明。 1.9 重温非简谐的周期性振动傅里叶级数，时间函数为f(t)，其周期为T ，表达式为： )s i n c o s ()(1 0t n b t n an a t f n n ωω++=?∞ = 式中：?= T dt t f T a 0 0)(1 ?=T n tdt n t f T a 0 cos )(2 ω ?=T n tdt n t f T b 0 sin )(2 ω 注：《手册》P9 1.10将下图所示的f(t)展成傅立叶级数。 参考答案：()∑∞== =5.2.1sin 1 440t n p t f n p b n b n n n ωππ 傅氏级数为奇数时，，当为偶数时，当 f(t) P 0 -P π/ω 2π/ω 3π/ω 4π/ω t 1.11今有一简谐位移x(t)(mm)，其表达式为：()=8sin(24 -),3 x t t π 求： 1. 振动的频率和周期； 2. 最大位移、最大速度和最大加速度； 3. t=0时的位移、速度和加速度； 4. t=1.5s 时的位移、速度和加速度。 参考答案：24rad/s ，3.82Hz ，0.2618s ；192mm/s ，4608mm/s 2；-6.9282mm ，96mm/s ，3990.65 mm/s 2 ；-3.253mm ，175.4mm/s ，1874 mm/s 2 1.12一振动体作频率为50Hz 的简谐振动，测得其加速度为80 m/s 2 ，求它的位移幅值和 速度幅值。 参考答案：0.8/mm ，254.34mm/s 。 1.13 一简谐振动的频率为10Hz ，最大速度4.57m/s ，求它的振幅、周期和最大加速度。 参考答案：0.073m ，0.1s ，287.9m/s 2 1.14 求图中刚性杆的振动系统中自由度的数目，并规定出该系统中所用的广义坐标系。 1.15 分析如图所示的机械系统，试求所需的自由度数目，并规定出该系统中所用的坐标系。 1.16 在对所示机械系统进行分析时，试求所用到的自由度数目，并规定一套系统振动分析时所用到的广义坐标系。 题1.14 图 题1.15 图 《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A．甲的最大速度大于乙的最大速度 B．甲的最大速度小于乙的最大速度 C．甲的振幅大于乙的振幅 D．甲的振幅小于乙的振幅 3．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 4．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2GM l B．T=2 l GM C ．T = 2πGM r l D ．T =2πl r GM 5．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212 ()x x g L π- B ． 212 ()2x x g L π- C ． 212 ()4x x g L π- D ． 212 ()8x x g L π- 6．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 B ．甲球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 C ．甲球最先到达 D 点，丙球最后到达D 点 D ．甲球最先到达D 点，无法判断哪个球最后到达D 点 7．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A ，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（ ） A ．1t 时刻钢球处于超重状态 机械振动分析与应用习题 第一部分问答题 1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。 3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ 5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。 6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。 第二部分计算题 1．求图2-1所示两系统的等效刚度。 图2-1 图2-2 图2-3 2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。) 5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。 6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。 7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。 8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。 机械振动与机械波 简谐振动 一、学习目标 1.了解什么是机械振动、简谐运动 2.正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。 二、知识点说明 1.弹簧振子(简谐振子)： (1)平衡位置：小球偏离原来静止的位置； (2)弹簧振子：小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械 运动，这样的系统叫做弹簧振子。 (3)特点：一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑 振子的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移—时间图像 弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线，如图所示。 3.简谐运动及其图像。 (1)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 (2)应用：心电图仪、地震仪中绘制地震曲线装置等。 三、典型例题 例1：简谐运动属于下列哪种运动() A．匀速运动B．匀变速运动 C．非匀变速运动D．机械振动 解析：以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大．从平衡位置向最大位移处运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的。故A、B错，C正确。简谐运动是最简单的、最基本的机械振动，D正确。 答案：CD 简谐运动的描述 一、学习目标 1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。 2．知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。 二、知识点说明 1.描述简谐振动的物理量，如图所示： (1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，。 (2)全振动：振子向右通过O点时开始计时，运动到A，然后向左回到O，又继续向左达到，之后又回到O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。 (3)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，符号T表示，单位是秒(s)。 (4)频率：单位时间内完成全振动的次数，符号用f表示，且有，单位是赫兹(Hz)，。 (5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，振动越快。 (6)相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。 2.简谐运动的表达式：。 (1)理解：A代表简谐运动的振幅；叫做简谐运动的圆频率，表示简谐运动的快慢，且；(代表简谐运动的相位，是t=0时的相位，称作初相位或初相；两个具有相同频率的简谐运动存在相位差，我们说2的相位比1超前。 (2)变形： 三、典型例题 例1：某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin(2πt＋6π)cm则该振子振动的振幅和周期为() A．2cm1s B．2cm2πs C．1cmπ6s D．以上全错 解析：由x＝Asin(ωt＋φ)与x＝2sin(2πt＋6π)对照可得：A＝2cm，ω＝2π＝2πT，∴T＝1s，A选项正确。 答案：A 例2：周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为() A．15次，2cm B．30次，1cm C．15次，1cm 一、 选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ）6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4y A t πω=+ ，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大振幅2 A 处需最短时间为 [ B ] （A ） ;4T (B) ;6T (C) ;8T (D) .12 T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体，此三个系统振动周期之比为 (A);2 1:2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1:2:1 5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;3 4s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分，且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;1 1,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ C ] （A ） 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ） 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ） 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ） 物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 2 1，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ B ］ 诚信考试沉着应考杜绝违纪 浙江大学2013–2014学年夏学期 《机械振动基础》课程期末考试试卷A卷 开课学院：化工系，考试形式：闭卷，允许带 1张A4纸的笔记入场 考试时间： 2014 年 7 月 2 日, 下午14:00~16:00 ，所需时间： 120 分钟 考生姓名： __学号：专业：过程装备与控制工程 . 注意事项： (1)、考试形式为闭卷，允许带1页A4纸大小的参考资料、计算器和尺子。不允许带 PPT课件打印稿、作业本、笔记本草稿纸等纸质材料，不允许带计算机、IPad等智能电子设备。 (2)、第一、二大题答题内容写在试卷上，第三大题答题内容写在试卷所附答题纸上。试题（三个大题，共100分）： 一、判断题(每题2分，共18分) 1.1 杆的纵向振动、弦的横向振动和轴的扭转振动虽然在运动表现形式上并不相同， 但它们的运动微分方程是同类的，都属于一维波动方程。() 1.2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率 及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关. () 1.3 在受到激励开始振动的初始阶段，振动系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠 加。即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生。() 1.4 为减轻钢丝绳突然被卡住时引起的动张力，应适当减小升降系统的刚度。() 1.5 汽轮机等高速旋转机械在开、停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统会发生 剧烈振动，此为转子系统的临界转速，即转子横向振动的固有频率。() 1.6 谐波分析法是将非周期激励通过傅立叶变换表示成了一系列频率为基频整数倍的 简谐激励的叠加，从而完成系统响应分析。 () 1.7阻尼自由振动的周期小于无阻尼自由振动的周期。 () 1.8叠加原理可用于线性和非线性振动系统。 () 1.9若将激振力 F(t) 看作一系列单元脉冲力的叠加，则线性振动系统对任意激振力的 响应等于激振力作用时间内各个单元脉冲响应的总和。 () 第一章机械运动中考典题补充 例1.（2015·安徽中考）小明利用分度值为的刻度尺测量一个物体的长度，三次测量的数据分别为、、，则测量结果应记为（） A. B. C. D. 解析：为了减小误差，需要取多次测量的平均值作为测量结果，并且保留到与原测量值相同的位数。所以该物体长度的测量结果。 答案：A 例2 （2013·山东枣庄中考）小超为了检验躺着和站立时身体长度是否有差异，下列几种尺子哪种最合适（） A. 量程15 cm，分度值0.5 mm B. 量程10 m，分度值1 dm C. 量程30 cm，分度值1 mm D. 量程3 m，分度值1 mm 解析：由于人身体的高度大于30 cm，所以选择刻度尺的量程要大于30 cm，故A、C选项错误；由于人躺着和站立时身体长度差异很小，不可能超过1 dm，所以选择刻度尺的分度值要小于1 dm，故B选项错误，D选项正确。 答案：D 例3 .(2015·呼和浩特中考) 小明同学骑自行车沿新华大街自西向东运动，看到两面的高楼不断向西运动。能正确说明高楼向西运动，是以下面哪个物体为参照物的 ( ) A.小明同学的自行车 B.对面驶来的公共汽车 C.新华大街 D.天上飞过的小鸟 解析：小明同学骑自行车沿新华大街自西向东运动，以小明同学的自行车为参照物，路两面的高楼与自行车的位置发生了变化，路两面的高楼是向西运动的，故A选项正确；对面驶来的公共汽车，和小明同学的运动方向相反，是向西运动的，以公共汽车为参照物，路两面的高楼与公共汽车的位置发生了变化，路两面的高楼是向东运动的，故B选项错误；以新华大街为参照物，路两面的高楼和新华大街的位置没有发生变化，路两面的高楼是静止的，故C 选项错误；以天上飞过的小鸟为参照物，路两面的高楼和天上飞过的小鸟的位置发生了变化，由于天上飞过的小鸟的方向不确定，所以路两面的高楼运动的方向是不确定的，故D选项错误。 答案：A 例4.( 2015·江苏泰州中考) 下列物体的运动可近似看成匀速直线运动的是( ) A.正在进站的火车 B.离开脚后在草地上滚动的足球 C.站在商场自动扶梯上顾客的运动 D.绕地球匀速转动的“北斗”卫星 解析：正在进站的火车速度越来越小，火车做的是减速运动，故A选项不符合题意；离开脚后在草地上滚动的足球最终会停止，足球做的是减速运动，故B选项不符合题意；站在商场自动扶梯上的顾客，速度的大小和方向基本都不变，可以近似看成匀速直线运动，故C选项符合题意；绕地球匀速转动的“北斗”卫星做的是匀速圆周运动，运动方向不断改变，故D 中南大学考试试卷（A卷） 2015 - 2016学年上学期时间110分钟 《机械振动基础》课程 32 学时 2 学分考试形式：闭卷专业年级：机械13级总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 1、简述机械振动定义，以及产生的内在原因。 （10分） 答：机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。（5分）产生机械振动的内在原因是系统本身具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。（5分） 2、简述随机振动问题的求解方法，随机过程基本的数字特征包括哪些？ （10分） 答：随机振动问题只能用概率统计方法来求解，只能知道系统激励和相应的统计值（5分）。 随机过程基本的数字特征包括：均值、方差、自相关函数、互相关函数。（5分） 3、阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ （10分） 答：阻尼消耗振动系统的能量，它使自由振动系统的振动幅值快速减小（5分）。增加黏性阻尼量，可使指针快速回零位（5分）。 4、简述求解周期强迫振动和瞬态强迫振动问题的方法。 （10分） 答：求解周期强迫振动时，可利用傅里叶级数将周期激励力转化为简谐激励力，然后利用简谐激励情况下的周期解叠加，可以得到周期强迫振动的解（5分）。求解瞬态强迫振动的解时，利用脉冲激励后的自由振动函数，即单位脉冲响应函数，与瞬态激励外力进行卷积积分，可以求得瞬态激励响应（5分）。周期强迫振动和瞬态强迫振动，也可以通过傅里叶积分变换、拉普拉斯积分变换来求解。 5、如图1所示，系统中质量m 位于硬质杆2L （杆质量忽略）的中心，阻尼器的阻尼系数为c ，弹簧弹性系数为k ， （1）建立此系统的运动微分方程； （5分） （2）求出临界阻尼系数表示式； （5分） （3）阻尼振动的固有频率表示式。 （5分） 答：（1）可以用力矩平衡方法列写平衡方程，也可以用能量方法列写方程，广义坐标可以选质量块的垂直直线运动，也可以选择杆的摆角，以质量块直线运动坐标为例，动能212T E mx =&，势能21(2)2U k x =，能量耗散2 12 D cx =&，由222,,T T ij ij ij i j i j i j E D U m c k x x x x x x ???=== ??????，得到：40mx cx kx ++=&&&； （2 ）e c == （3 ）d n ω== 6、如图2所示系统，两个圆盘的直径均为r ，设I 12，k 12，k 3=3k ， （1）选取适当的坐标，求出系统动能、势能函数； （5分） （2）求出系统的质量矩阵、刚度矩阵； （5分） （3）写出该系统自由振动时运动微分方程。 （5分）机械振动和机械波知识点总结与典型例题
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