空间直线与直线之间的位置关系

空间直线与直线的位置关系

A.异面直线定义

文字叙述：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

图形表示：如图.

记法：直线a 与b 异面.

B.直线与直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系：

2.异面直线的判定方法：

判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 注：反证法；反证法是证明两直线异面的主要方法，目前不掌握.

3.平行公理（平行线的传递性）

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

作用：判断空间两条直线平行的依据.

4.等角定理

空间中如果两个角的的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 .

5.异面直线所成的角

（1）定义：设直线,a b 是异面直线，经过空间任意一点O 作a '∥a 、b ∥b '，则把a '与b '所成的叫做异面直线a 与b 所成的角（夹角）.

（2）异面垂直：两条异面直线所成角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作a b ⊥. 注：空间垂直关系有相交垂直和异面垂直两种.

（3）两条异面直线所成角范围：(0,]2

πθ∈. （4）求异面直线所成角的步骤：作、证、求 .

作出异面直线所成角的方法是平移，平移一条或两条直线，转化为相交线所成的角 . 注：平移过程常利用特殊位置上的点来实现，如利用已有的平行线来实现平移，或利用相似三角形平行关系、平行四边形对边平行关系实现平移

. A .平行公理的应用

例1 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上.

（1）若E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点，

求证：四边形EFGH 是平行四边形.

（2）要使四边形EFGH 是平行四边形，请问E ，F ，

G ，H 必须是中点么？是否有一般的条件？

提示：首先，四边形EFGH 的对边平行于空间四边形的对角线；

（3）使四边形EFGH 为矩形的条件存在否？是什么？

（4）使四边形EFGH 为正方形的条件存在否？是什么？

（5）四边形EFGH 还有可能是其他的特殊的四边形么？在什么条件下能够是？

（6）若E ，F ，H 分别是所在边的中点，且120FEH ?∠=，求BD 与AC 所成角大小.

解：∵E ，F ，H 分别是所在边的中点，∴//EH BD ，//EF AC ，∴EH 与EF 所成角，就是异面直线BD 与AC 所成的角，∴BD 与AC 所成的角是18012060???-=.

例2 已知1,E E 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、11A D 的中点.

（1）求证：11//E F B B ；

（2）求证：111C E B CEB ∠=∠；

（3）若F 为棱BC 的中点，求证：11AE C F 为平行四边形. 例3 求证：三棱柱两底面全等.

已知： .

求证： .

证明： .

B .异面直线的判定

例1 如图，已知正方形ABCD A B C D ''''-.

（1）哪些棱所在直线与直线BA '是异面直线？

（2）直线BA '和CC '的夹角是多少？

（3）哪些棱所在直线与直线AA '垂直？

解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD ，DC ，CC '，DD '，D C ''，B C ''所在直线分别与直线BA '是异面直线.

（2）由//BB CC ''可知，B BA ''∠为异面直线BA '与CC '所成的角，45B BA ?''∠=，所以直线BA '与直线CC '的夹角为45?.

（3）直线AB ，BC ，CD ，DA ，A B ''，B C ''，C D ''，D A ''分别与直线AA '垂直. 例2 如图，,a b 是异面直线，,A B a ∈，,C D b ∈，,E F 分别是线段AC 和BD 的中点，判断EF 和a 、EF 和b 的位置关系，并证明你的结论.

答：EF 和a 是异面直线，EF 和b 也是异面直线.

证明：假设EF 和a 是共面，设这个平面为α，则EF α?，a α?. ∴,,,A B E F α∈. ∴BF α?，AE α?.又∵C AE ∈，D BF ∈，∴,C D α∈.于是b α?. 从而,a b 共面于α，这与题设条件,a b 是异面直线相矛盾.

同理可得EF 和b 也是异面直线.

变式如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11A B 、

11B C 的中点，问：

（1）AM 和CN 是否是异面直线？请说明理由；

（2）1D B 和1CC 是否是异面直线？请说明理由.

C .求异面直线所成角

例1 已知棱长为1的正四面体ABCD ，E ，F 分别是AC ，AD 中点，求异面直线BE ，CF 所成角的余弦值.

解：取AF 中点G ，连结EG ，BG ，则//EG CF . ∴BE 与EG 所成角就是异面直线BE ，CF 所成的角

12EG CF =

，BE ABC △中，1AB =，14

AG =，60BAG ?∠=

，BG . 在BEG △中，根据余弦定理2221cos 26

BE EG BG BEG BE EG +-∠==?，∴异面直线BE ，CF 所成角的余弦值为16. 例2 在空间四边形ABCD 中，若6AB BC CD DA ====，对角线8AC DB ==，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.

解：如图，将空间四边形放入一个长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则有

22222236,36,2,64a b a b c b c a c ??+==??+=?=????+==??EF //EF CD AB ，2EB =EF O BOE ∠BOE △3OB OE ==7cos 9BOE ∠=. 例3 如图所示，已知在空间四边形ABCD 中，3AB CD ==，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，并且::1:2BE EC AF FD ==

，EF =AB 与CD 所成的角的大小.

解：取BD 上一点H ，使得:1:2BH HD =.连结FH 、EH ，由题意知//FH AB ，//EH CD ，则EH 与FH 为异面直线AB 与CD 所成的角.

又:::1:2AF FD BH HD BE EC ===， ∴223FH AB ==，113

HE CD ==. 在EFH △中，由余弦定理知：

222221271cos 22122EH FH EF EHF EH FH +-+-∠=

==-???，∴120EHF ?∠=， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60?.

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1 推进新课新知探究提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

空间位置关系的判断与证明

. . 空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明

. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?；点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?；直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?；直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；知识内容

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．知识点二平行直线 1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示： 2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1. a∥b b∥c a∥c C D B A1 C B1 D C D

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛教学案参赛人: 王立广参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系学习目标： 1、知识与技能（1）理解空间两条直线的位置关系。（2）会用平面衬托来画异面直线。（3）掌握并会应用平行公理。（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。学习重点：异面直线的判断；学习难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型一、课前导学平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有个公共点；平行直线公共点。【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？）二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把叫做异面直线。【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内在同一平面内按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？（学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案）【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断经过一点和一点的直线，和的直线是异面直线。【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。线与面的关系是_____________________，用符号______________。点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二公理4(平行公理) 文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言知识点三空间等角定理 1.定理

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形（其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下上上（④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =

空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一平面的基本性质【例1】在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件．【例2】判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【例3】若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个【例4】下列推理错误的是（） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________．共线问题【例6】在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析板块一.对平面的进一步认识

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________．答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________．答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

空间位置关系与距离专题

1 C _ A _ B _ M _ D _ E O _ C 空间位置关系与距离专题【考题回放】 1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（） A ．16 B ．14 C ．13V D ．12 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥ ③若βαβα//,//,,则n m n m ? ?； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??，其中真命题是（） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线' BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD ' 有可能垂直于平面D BB ' 以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号） 6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 1．转化思想： ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

高考数学命题角度4_3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理

命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解 1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=?．（1）求证： 1AB B C ⊥；（2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值．【答案】(1)见解析；（2） 21 7 . 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值. （2）∵1ABB ?为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，

∵在ABC ?中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点， ∴1OC = ， ∵12B C =， 13OB =，∴222 11OB OC B C +=， ∴1OB OC ⊥，又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ．以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ()1,0,0A -， () 10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ，则() 1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3 C -， ()1 1,0,3AB =， () 10,1,3AC =，则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =，设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130, {30, n AB x z n AC y z ?=+=?=+=令1z =-，∴3x y ==， ∴( ) 3,3,1n = -， ∴21 cos ,7m n m n m n ?= =?．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

空间中直线间的位置关系

翔宇教育集团课时设计纸总课题：7.1直线的倾斜角和斜率总课时2 第2课时主备人：杨玉叶课题：直线的倾斜角和斜率（二）课型：新授课教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。（2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。（3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。教学重点：过两点的直线的斜率公式。教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。教学过程：一复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？二讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关；（2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。（4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？（2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。

利用空间向量证明空间中的位置关系-新人教B版高考数学一轮总复习测试

核心素养测评四十三利用空间向量证明空间中的位置关系 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,1,1), 则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1), 所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α. 2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 ( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 【解析】选 A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2. 3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.

以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.=+=+,=+=+,所以∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确. 5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( ) A.B1E=EB B.B1E=2EB C.B1E=EB D.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2), 设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为·=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________. 【解析】=1,-3,-,=-2,-1,-, a·=0,a·=0,x∶y∶z

2021版高考数学二轮复习专题限时集训8空间位置关系的判断与证明文2020147

专题限时集训(八) 空间位置关系的判断与证明 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．若a ，b 是空间中两条不相交的直线，则过直线b 且平行于直线a 的平面( ) A ．有且仅有一个 B ．至少有一个 C ．至多有一个 D ．有无数个 B [∵a ，b 是空间中两条不相交的直线．∴a ，b 可能平行或异面．若a ，b 平行，则过直线b 且平行于直线a 的平面有无数个；若a ，b 异面，在b 上取一点O ，过O 作c ∥a ，则b ，c 确定平面α，∴a 平行于α，此时过直线b 且平行于直线a 的平面只有一个．故选B.] 2．(2019·长沙模拟)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为4，底面边长为2 3.若点M 是线段A 1C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为( ) A.12 B.13 C.23 D.34 C [过点M 作MN ⊥AC 于N ，连接BN (图略)，则∠MBN 为直线BM 与底面ABC 所成角，由题意可知MN ＝2，BN ＝3，所以tan∠MBN ＝MN BN ＝23 .] 3．已知α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β，若以其中两个推出另一个构成命题，则正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 C [由①②?③、①③?②是真命题，而由②③不能得到①，故选C.] 4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是( ) A ．平面ABD ⊥平面ABC B ．平面AD C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ADC ⊥平面ABC D [因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，CD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.] 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间与三条直线A 1D 1，

空间中的位置关系1：平面及公理

平面在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？ 1．平面通常把水平的平面画成一个__平行四边形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚线__画出来，如图2所示 (1)用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α [归纳总结]习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面． 2．点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面.

或 [归纳总结]从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示． 3．公理1 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__l?α__ 4．公理2 A，B，C三点__不共线__?有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α [归纳总结](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．

(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一，强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．5．公理3 P∈α∩β?α∩β＝l且__P∈l__ 论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．预习自测 1．下列命题： (1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(A) A．1B．2 C．3D．4 [解析]因为平面是无限延展的，故(1)错；平面是无厚度的，故(2)错；平面是无限延展的，不可度量，故(3)错；平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确．2．(2018·永春一中高一期末)下列说法正确的是(D) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．共点的三条直线确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 [解析]A中三点共线时为直线，故A错误；B中四边形可为空间四边形，故B错误；

空间直线与直线的位置关系(教案).

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。教学目标： 1、知识与技能（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。（2）.会用平面衬托来画异面直线。（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式问题——自主、合作——探究

空间中直线与直线之间的位置关系教案

空间中直线与直线之间的位置关系教案一、教学目标： 1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？共面直线