高考数学一轮复习专题 三角恒等变换(学生版)

三角恒等变换专题

【整体感知】：三角恒等变换是我们学习了三角函数之后的两角和差公式以及二倍角公式的运用。 所以在考试中经常和三角函数的图像与性质一起考查。尤其是二倍角公式的运用。

【热点点击】：高考中对于三角恒等变换中的二倍角公式考查的是比较多的，也是高考的一个热点。注意公式的正用和逆用以及变用。

【本章考点】:两角和差的三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换的化简与证明。

【高考命题趋势】：1.考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；2考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；3.考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都放在大题中进行考查；4.解答题数中高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势.

【高考复习建议】：1.首先熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式；2.联系三角函数的有关的图像以及性质，往往先化简后，然后利用三角函数的性质求解，因此化简的过程就是三角恒等变换的重要体现。特别是二倍角的余弦公式。注重通法通解的训练，不要只注重技巧.

第1讲 两角和差的正弦、余弦、正切公式

【知识精讲】

两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形；二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式；升降幂公式；万能公式；. 【基础梳理】

1.两角和与差的三角函数

()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-

2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =

2

22

2

2cos sin 12sin 2cos 11tan cos22tan tan2ααααα

αα

α-=-=--==

3. 半角公式

2

cos 12sin αα

-±

= 2cos 12cos αα+±=

tan 2α=α

αααsin cos 1cos 1sin -=+

4. 万能公式：

22tan 2sin 1tan 2

α

αα

=

+

221tan 2cos 1tan 2

α

αα-=+

22tan 2tan 1tan 2

α

αα

=

-

5. 积化和差：

()()[]

βαβαβα-++=

sin sin 2

1

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]

βαβαβα--+-=cos cos 2

1

sin sin 6. 和差化积：

??? ??-??? ??+=+2cos 2sin 2sin sin y x y x y x ?

?

? ??-??? ??+=-2sin 2cos 2sin sin y x y x y x ?

?

? ??-??? ??+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ??? ??-??? ??+-=-2sin 2sin 2cos cos y x y x y x 7.三角形内角定理的变形

由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）．

而2

2

2

C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2

sin 2cos C B A +=．

8.方法：

1.三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2.三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如

2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的

讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 10.重要结论：

1．sin α±cos α

)4

π

α±．

sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ

±±=±=

3．a sin α＋b cos α

（α

＋φ

（α

－φ1），．

4．(sin α±cos α)2＝1±sin2α. 5．21cos sin 2

2

αα-=.

6．21cos cos 2

2

αα

+=

.

7.

1tan tan().1tan 4

απ

αα±=±

【要点解读】

要点一 三角函数两角和差公式

【例1】 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.

【命题立意】本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用 【误区警示】公式不熟，计算易出错.

【变式训练】已知tan 2

α

=2，求

（I ）tan()4

π

α+

的值； （II ）

6sin cos 3sin 2cos αα

αα

+-的值．

【标准解析】考查两角公式和同角公式的综合运用 【技巧点拨】注意名称间的转换，以及两角和公式的运用。

【例2】已知02

π

βαπ<<

<<，且129cos()β

α-

=-，2

23

sin()αβ-=，求cos()αβ+的值. 【命题立意】考查三角函数的两角和差公式的运用. 【标准解析】先构造角，然后结合函数名称进行求值。 【误区警示】两角和差公式的准确应用.

【变式训练】已知3

5sin()cos cos()sin αβααβα---=

，那么2cos β的值为 （ ）

A 、

7

25

B 、

1825

C 、725

-

D 、1825

-

【标准解析】考查两角公式的变用

【技巧点拨】注意角的整体性，以及两角和公式的运用。

要点二 三角函数二倍角公式

【例3】已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1

2cos 2sin )

4sin(+++ααπ

α的值王新敞

【命题立意】考查三角函数的二倍角公式的运用.

【标准解析】先分析角，然后结合函数名称进行化简求值。 【误区警示】二倍角余弦公式的准确应用.

【变式训练】已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 【标准解析】考查在三角形中的二倍角共识的运用。 【技巧点拨】 先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。

【例4】=+-)12

sin 12)(cos 12sin

12

(cos

π

πππ

（ ）

A ．2

3

-

B ．21-

C ．2

1

D ．23

【命题立意】考查三角函数的二倍角公式的逆用.

【标准解析】先分析角，然后结合二倍角的余弦公式进行化简求值。 【误区警示】二倍角余弦公式的准确应用.

【变式训练】已知14

462

sin(

x )sin(

x ),x (,)π

π

π

π+-=∈，则4sin x =＿＿＿＿。 【标准解析】考查在三角形中的二倍角公式的运用。 【技巧点拨】先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。

【原创题探讨】

【原创精典1】(20XX 年广东卷文)函数1)4

(cos 22

--

=π

x y 是

A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2

π的奇函数 D. 最小正周期为2π

的偶函数

【原创精典2】（2009江西卷理）若函数()(1)cos f x x x =+，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为

A ．1

B ．2

C 1

D 2

新动向前瞻

【样题1】已知关于x 的方程2

21)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，

求：（1）sin cos 1cot 1tan θθ

θθ

+

--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．

【样题2】(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ）

()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16

第2讲 简单的三角恒等变换

【知识精讲】

1.利用三角公式进行恒等变形的方法(变角、变次数、变函数名称、变运算关系等)；

2.证明角相等的方法和证明三角恒等式的方法；. 【知识梳理】 三角等式的证明：

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

【要点解读】

要点三 三角函数两角和差公式求值 【例5】已知1

cos(75)3

α+=

，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值． 【命题立意】本题主要考查两角和公式及诱导公式的求值的方法，对计算能力的要求较高 【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用 【误区警示】公式不熟，计算易出错. 【答案】

【变式训练】已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+?的值． 【标准解析】考查在三角形中的两角和差的运用。 【技巧点拨】先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。 【答案】

要点四 三角函数的化简与证明 【例6】化简： （1

）

2

3

sin12(4cos 122)

--； （2）(cot

tan )(1tan tan )222

α

αα

α-+?； （3

(1sin cos )(sin

cos )

)θ

θ

θθθπ++-<<．

【命题立意】本题主要考查两角和公式及二倍角公式的化简的方法 【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用，多个名称要切化弦进行。 【误区警示】公式的准确运用使我们解决问题的关键。

【变式训练】

1sin 4cos 41sin 4cos 4αα

αα

++=+- （）

()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a

【标准解析】考查在三角函数的二倍角公式的化简的运用。 【技巧点拨】先合理组合表达式，运用三角公式进行化简求解。

【例7】证明：（1）2

2

2(3cos 4)

tan cot 1cos 4x x x x

++=

-；

（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A

+-+=

． 【命题立意】本题主要考查两角和公式证明恒等式。

【标准解析】由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．

【误区警示】公式不熟，计算易出错.

【变式训练】

222cos 12tan()sin ()

44

αππ

αα-=-+ 1 ．

【标准解析】考查在三角函数的两角和差的运用。

【技巧点拨】分析分子和分母的名称，弦切化弦，然后利用二倍角公式化简变形证明

【原创题探讨】

【原创精典3】（2009辽宁卷文）已知tan 2θ=，则2

2

sin sin cos 2cos θθθθ+-=

（A ）43

- （B ）

5

4

（C ）3

4

-

（D ）

45

新动向前瞻

【样题350sin80(13tan10)

++．