高数上期末试题及答案

高等数学期末及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、.______)

31(lim 2

=+→x

x x 。

2、当k 时，?????>+≤=0

0e

)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．

3、设x x y ln +=,则

______=dy

dx

4、曲线x e y x

-=在点（0，1）处的切线方程是

5、若

?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数x

x x f =)(，则=→)(lim 0

x f x （ ）

A 、0

B 、1-

C 、1

D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. )0(1

ln

+→x x

B. )1(ln →x x

C. )0(cosx

→x D. )2(4

2

2→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．

A ．极大值点

B ．极小值点

C ．驻点

D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A 、

?

+∞

sin xdx B 、dx e x ?+∞-0

2 C 、dx x ?

+∞

1

D 、dx x

?+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。则AMB ∠=

A 、

3π B 、4π C 、2

π

D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 x

x x 2sin 2

4lim

-+→ 。

2、求极限 )1

11(

lim 0

--→x x e x 3、求极限 2

cos 1

2

lim

x

dt e x

t x ?-→

4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '

5、设)(x y f =由已知???=+=t

y t x arctan )1ln(2，求2

2dx y

d 6、求不定积分 dx x x ?+)32

sin(12

7、求不定积分

x x e

x

d cos ?

8、设??????

?≥+<+=0

110

11

)(x x

x e x f x

， 求

?

-2

d )1(x x f

四、 应用题（本题7分）

求曲线2x y =与2

y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分）

若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2

1

(=f ，证明：

在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、6

e 2、k =1 ． 3、

x

x

+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：x x x 2sin 2

4lim

-+→8

1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 ：21

lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe

e e e xe e e e x x e e x 7分

3、解： 2

cos 1

2

lim

x dt e x t

x ?-→e

x xe x

x 21

2sin lim 2

cos

0-

=-=-→ 4、解： )111(112

2

x

x

x y ++

++=

'……………………… …...4分

2

11x

+=

……………………………………… …...7分

5、解：t t t t dx dy 211211

2

2=++= （4分）

2

2

2

2

321

12()241d y t d dy

dx

t dt

t dt dx dx

t t

-

+===-+ （7分） 6、解：C x

d x dx x x ++=++-=+??)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分）

7、 解：

?

?=x

x e x x x e d cos d cos

?+=sinxdx e cos x x e x ?+=x de sin cos x x e x

dx cos sin cos x e x e x e x x x ?-+= C x x e x ++=)cos (sin

8、解：

????

--+==-01

1

11

2

d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f

??+++=-100

11d 1d x x e x x

1001)1ln(d )11(x x e e x x +++-=?- 2ln )

1ln(101

++-=-x e

)1ln()1ln(11e e +=++=-

四．

应用题（本题7分）

解：曲线2

x y =与2

y x =的交点为（1，1）， 于是曲线2

x y =与2

y x =所围成图形的面积A 为

31

]3132[)(10210

23

2

=-=-=?x x dx x x A

A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：

()

πππ10352)(1

0521

4

2=????

??-=-=?y y dy y y V 五、证明题（本题7分）

证明： 设x x f x F -=)()(， 2分

显然)(x F 在]1,21

[上连续，在)1,2

1(内可导， 且 02

1

)21(>=

F ，01)1(<-=F .

零点定理知存在]1,2

1[1∈x ，使0)(1=x F . 4分 由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点

)1,0(),0(1?∈x ξ使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf … …7分

2006-2007第一学期高数试题

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

二、1）函数()1

arcsin

3

x f x -=的定义域为240x x ≤≤=或。

三、2）201cos3lim

x x

x

→-=92

。

四、3）设x

e

y x π=+，则y '=1

ln x e ex

ππ-+。

五、4）设()220x

y a a x

=≠+，dy =()

22

2

2

2a x dx a

x

-+。

六、5）若

0,

a <=

arcsin x

C a

-+。

七、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）

八、1）极限lim 23

x x →∞=+（ D ）

九、 A 、2 B 、2- C 、2± D 、不存在

十、2）下列函数()f x 在[]1,1-上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）

十一、 A 、()f x =

、()2f x x x =

十二、 C 、()arccos f x x = D 、()cot

2

x

f x π=

十三、 3）下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数（ C ） 十四、 A 、2

sin x B 、2

cos x -

十五、 C 、cos2x - D 、2

2

5sin 4cos x x +

十六、 4）设2

221

1

1

ln ,ln ,P xdx Q xdx R =

==?

??

，则下列不等式正确的

是（ D ）

十七、 A 、P Q R << B 、Q R P <<

十八、 C 、R Q P << D 、Q P R << 十九、 5）设()f x 在[],a b 上连续，则()b

a d x f x dx dx ??=?

????（ A ）

二十、 A 、()b

a

f x dx ? B 、()()bf b af a -

二十一、 C 、()()()b

a

x f b f a f x dx -+

?????

D 、()()b

a

f x dx xf x +?

二十二、 计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）

二十三、

1）计算极限sin cos 30lim x x x

x e e x

→- 解：原式sin cos cos 3320

001sin cos sin 1

lim lim lim 33

x x x x x

x x x e x x x x x e

x x x -→→→--==== 2

）设参数方程(

ln sin x t y ?=?

??=?

，求22d y dx

解：sin dy

t dx

t

=

=

，2

2

cos 1d y t dx t ==。 3）计算不定积分()12ln

11x

x dx x x

+<-?

解：原式()()()32

22

211212ln

ln 111111x x x x x x x dx x dx x x x x x x +--+=-=+-+-+--?? ()()22

12222ln 1111x x x x dx x x x x ??+++=++ ? ?-++-?

?? 2

131ln

2111x x x dx x x x +??=+++ ?-+-?

?? ()()2

21ln 3ln 1ln 11x

x x x x C x

+=++--+- 二十四、 解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）

二十五、 1）在曲线2

1y x =+上求一点M ，使它到点()05,0M 的距离最小。

二十六、

解：设曲线2

1y x =+上一点坐标为()

2

,1a a +，它到点()05,0M 的距离

二十七、 ()()()

2

2

2

51f a a a =-++，我们只须在(),-∞+∞求()f a 得最小值

二十八、 ()()()()()2322541461014410f a a a a a a a a a '=-++=+-=-++

二十九、

当1a =时，()0f a '=，此时，()f a 取最小值。所求点为()1,2

三十、 2）设由cos ,0,0y x y x ===在第一象限围成的图形为D ，其面积为0S 。又曲

线()sin 0y a x

a =>将D 分为左右两部分12,D D ，其面积分别为1

2,S S ，求a 的

值使12:2:1S S =。

三十一、 解：[]2200

cos sin 1S xdx x π

π

=

==?

三十二、 又因为1201S S S +==，12:

S S 三十三、 所以1221

,33

S S =

= 三十四、 ()arccot 102

cos sin 3

a S x a x ==-?三十五、

[]()()cot 0sin cos sin cot cos cot arc a

x a x arc a a arc a a =+=+-

三十六、

25

12

a a a =

-=?=

三十七、

（本题8分）设())

()

()()

1b x b f x x a x -=

--有无穷间断点10x =，有可去间

断点21x =，求,a b 之值。 三十八、

解：因为10x =是无穷间断点，所以0x →时，()f x →∞，因此0a =，

0,1b b ≠≠

三十九、

又因为21x =是可去间断点，而1x →时，()()10x a x --→，所以，当

1x →时，

四十、 有

)

()0b x b -→，因此2b =。

四十一、

（本题9分）设()21

020x e x f x x x ?-≠?

=??=?

，讨论()(),f x f x '在0x =处的连

四十二、 解：因为()()2001

lim lim 20x x x e f x f x

→→-===，所以()f x 在0x =处的连续。

四十三、

()()()222200001

2012220lim lim lim lim 22h h h h h h h e f h f e h e h f h h h h

→→→→------'=====

四十四、

()22221

020x x xe e x f x x

x ?-+≠?'=??=?

，又因为

()2220021

lim lim 2x x x x xe e f x x

→→-+'==，所以 ()f x '在0x =处连续。 （本题10分）设()f x 在(),a b 内连续，可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈

()()()

()00000

f x f x x x x x x f x x x ?-?≠?

-=??'=?

试证明：()x ?在(),a b 内也单调增。

证明：因为()()()

()()0000

lim lim

x x f x f x x f x x x x ??→→-'===-，所以()x ?在0x x =处

连续。

当0x x ≠时，()()()()()()

()

002

0f x x x f x f x x x x ?'---'=

-

在以0,x x 为端点的闭区间上对函数()x ?运用拉格朗日中值定理，至少存在0,x x

之间的一点ξ使得()()

()()()()()0000

f x f x f f x f x f x x x x ξξ-''=?-=--

当0x x ≠时，()()()

f x f x x x ξ?''-'=-，当()0,x a x ∈时，()()f x f ξ''≤，即

()0x ?'>；当()0,x x b ∈时，()()f x f ξ''≥，即()0x ?'>，又因为()x ?在0x x =

处连续。所以()x ?在(),a b 内也单调增。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1） 2

10)(cos lim x x x → =_____e 1________.

（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.

（3）已知x

x

xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2

)(ln 21

x _____ .

（4）曲线

132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.

9131-=x y

（5）微分方程5

2

2(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.

)1()1(32227+++=x C x y

二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1）下列积分结果正确的是（ D ）

(A) 01

1

1=?-dx x (B) 21112

-=?-dx x

(C) +∞=?∞+141

dx x (D) +∞=?∞+11dx x

（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.

(A)21,x x 都是极值点.

(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.

(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.

（3）函数212e e

e x

x

x

y C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）

23e .x

y y y '''--= （C ）

23e .x y y y x '''+-=

（D ）

23e .x

y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()

000

lim

h f x f x h h →--为（ A ）.

(A)

()0f x

'. (B) ()0f x

'-. (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.

(A) (())().

f x dx f x '=? (B)

()().=?df x f x

(C) [()]().d f x dx f x =? (D) ()().f x dx f x '=?

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.

解 )ln 11(lim 1x x x x --→=

x x x x x x ln )1(1ln lim 1

-+-→-------1分 =

x x x x

x ln 1

ln lim

1

+-→-------2分