(人教版)初中数学《三角形》经典例题题目学习资料

A D

初中数学《三角形》经典例题

1、如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ．

（2）图（2）中的点A 向下移到BE 上时，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化。说明你的结论的正确性．

（3）把图（2）中的点C 向上移到BD 上时（1），求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E ）有无变化。说明你的结论的正确性．

2、（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°

（2）延伸探究：

6、已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题： （1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）

（2）如果图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论即可）

变式、（1）已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点.， 求证：AB+AC>DB+DC ；（2）已知：如图2，△ABC 中，D 为AB 边上一点，求证：AB+AC ≥DB+DC;

（3）如图3，点P 为△ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC>2

1

(AB+BC+AC);

D C B A 图2 P C B A 图3

E D C B

A 图4

2F 2

E 2E 2

D 2

D 2

D 2C 2C 2

C 2

C 2

B

2

B 2

B 2

B 1F

2

A 2A 2A 2

A

1

E

1

E 1

D 1

D 1

D 1C 1

C 1

C 1

C 1B 1B 1

B 1

B 1

A 1

A 1

A 1A 第26题(1)

第26题(3)

第26题(2)第26题(4)

K

变式.如图，（1）在图（1）中，猜想：=∠+∠+∠+∠+∠+∠222111

C B A C B A 度；

（2）试说明你猜想的理由.

（3）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为222111

C B A C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠；

图2称为2环四边形，它的内角和为22221111

D C B A D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠； 图3称为2环5五边形，它的内角和为22211111

C B A E

D C B A ∠+∠++∠+∠+∠+∠+∠+∠

22E D ∠+∠+…………请你猜一猜，2环n 边形的内角和为 度（只要求直接写出结论）

1、如图甲，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ． （1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ； （2）若∠C ﹣∠B=30°，则∠DAE= ；

（3）若∠C ﹣∠B=a （∠C ＞∠B ），求∠DAE 的度数（用含a 的代数式表示）；

（4）如图乙，当∠C ＜∠B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _________ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B ﹣∠C= _________ °． 2、已知：如图1，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画PH ⊥BC 于H

（1）求证：∠DPH=（∠B ﹣∠C ）；

（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH ⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．

3、如图，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1=∠2．

1、问题1

如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．

研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是_________

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA和∠A的数量关系是_________

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．

猜想：_________理由

问题2

研究（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是_________．

1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；

（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．

3、如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：

①求证：∠P=∠1+∠A+∠2；

②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？

③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、

∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．

4、如图、CE为△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA的延长线于点E。

（1）试判断∠BAC与∠B的大小关系。

（2）若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数。

5、如图、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，试说明∠BED＞∠C。

D

A

C

B

E

1、（1）已知△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠BOC 与∠A之间的数量关系，并说明理由．

（2）已知BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠BOC 与∠A之间的数量关系，并说明理由．

E

B D

A

C

E

A A

P

（3）已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．

2、如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

3、如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．

（1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；

（2）如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM 相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线

变式：已知如图，△ABC

(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点。

(2)如图②，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点。

(3)如图③，若P点是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点。

请猜测三种情况下，∠BPC与∠E的数量关系，并选择其中一种情况说明理由。

FN相交于点N．

①当∠AHO=60°时，求∠M的度数；

②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．

4、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．

（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；

（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．

5、如图：在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）2=0．

（1）求B、C的坐标；

（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB﹣∠CNB的值；（3）如图：AB∥CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，给出下列两个结论：

①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．

5、如图，AF平分∠EAC，PB平分∠GBC．求∠Ｄ，∠Ｃ，∠Ｐ的关系．

6、在△ABC中

（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点P，求∠BPC的度数．

（2）如图②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分线交于点P（∠1=∠ABC，∠2=∠ACB），求∠BPC的度

数．

（3）如图③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，求∠BPC的度数．

7、如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC的度数．

8、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y 个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，

问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的

H

G

F

E

D

A