高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)

高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)
高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)

专题07 导数有关的构造函数方法

一.知识点

基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数

①(C )′=________(C 为常数); ②(x )′=________; ③(x 2)′=________; ④????

1x ′=________; ⑤(x )′=________. (2)初等函数的导数公式

①(x n )′=________; ②(sin x )′=__________; ③(cos x )′=________; ④(e x )′=________; ⑤(a x )′=___________; ⑥(ln x )′=________;

⑦(log a x )′=__________. 5.导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′=________________________; (2)[f (x )·g (x )]′=_________________________;

(3)????

??f (x )g (x )′=____________________________. 6.复合函数的导数

(1)对于两个函数y =f (u )和u =g (x ),如果通过变量u ,y 可以表示成x 的函数,那么称这两个函数(函数y =f (u )和u =g (x ))的复合函数为y =f (g (x )).

(2)复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为___________________,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 二.题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型

3.构造x

e 形式的函数 4.构造成积的形式

5.与ln x 有关的构造

6.构造成商的形式

7.对称问题

(一)构造多项式函数

例1.已知函数()()f x x R ∈满足()1f l =,且()f x 的导函数()1'2f x <,则()1

22

x f x <+的解集为( ) A. B.{}|x 1x <- C. D.{}|1x x >

【答案】D

考点:函数的单调性与导数的关系.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,本题的解答中根据题设条件,构造新函数()F x ,利用新函数的性质是解答问题的关键,属于中档试题.

练习 1.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,对于任意的实数x ,都有

,当

(,0)x ∈-∞时,.若

,则实数m 的取值范围是( )

A .1

[,)2-+∞ B .3[,)2

-+∞ C .[1,)-+∞ D .[2,)-+∞ 【答案】A 【解析】∵

,设

,则

,∴()g x 为奇函

数,又,∴()g x 在(,0)-∞上是减函数,从而在R 上是减函数,又等价于

,即

∴1m m +≥-,解得12

m ≥-

. 考点:导数在函数单调性中的应用.

【思路点睛】因为,设,则,可得()

g x 为奇函数,又

,得()g x 在(,0)-∞上是减函数,从而在R 上是减函数,在根据函

数的奇偶性和单调性可得,由此即可求出结果. 练习2.设奇函数

在上存在导数

,且在

,若

,则实

数的取值范围为( ) A . B .

C .

D .

【答案】B

【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用,其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归的思想方法,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x ',对任意x R ∈,都有

,且(0,)x ∈+∞时,

()f x x '>,若,则实数a 的取值范围是( )

A .[)1,+∞

B .(],1-∞

C .(],2-∞

D .[)2,+∞

【答案】B

【解析】令,则,则,

得()g x 为R 上的奇函数.∵0x >时,,故()g x 在(0,)+∞单调递增,再结合(0)0

g =

及()g x 为奇函数,知()g x 在(,)-∞+∞为增函数,又

,即

(],1a ∈-∞.故选B .

考点:函数的单调性及导数的应用.

【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,然后构造函数,通过新函数的性质把已知条件转化为关于a 的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件()f x x '>进行联想,构造出新函数

,然后结合

来研究函数()g x 的奇偶性和单调性,再通过要解的不等式

构造

,最终得到关于a 的不等式,解得答案.

(二)构造三角函数型

例2.已知函数()f x 的定义域为R ,()'

f

x 为函数()f x 的导函数,当[)0,x ∈+∞时,

且x R ?∈,

.则下列说法一定正确的是( )

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】令

,则

.因为当[)0,x ∈+∞时,

,即

,所以

,所以

在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ?∈,,所以

,所以,故

为奇函数,所以

在R 上单调递增,所以

.即,故选B.

练习1.已知函数)(x f y =对任意的满足

(其中)('

x f 是函数

)(x f 的导函数)

,则下列不等式成立的是( ) A . B .

C .

D .

【答案】A

【解析】构造函数,

则,即函数g (x )在单调递增,

则,,即,

故A 正确.,即

练习2.定义在)2

,

0(π

上的函数)(x f ,()'f x 是它的导函数,且恒有

成立,则( )

A.

B.

C . D.

【答案】D

【解析】在区间0,

2π??

??

?

上,有,即令

,则

,故()F x 在区间0,

2π??

??

?

上单调递增.

令,则有,D 选项正确.

【思路点晴】本题有两个要点,第一个要点是“切化弦”,在不少题目中,如果遇到tan x ,往往转化为

sin cos x x

来思考;第二个要点是构造函数法,题目中,可以化简为

,这样我们就可以构造一个除法的函数,而选项正好是判断

单调性的问题,顺势而为.

(三)构造x

e 形式的函数

例3.已知函数()f x 的导数为()f x ′,且对x R ∈恒成立,则下列函数在实数

集内一定是增函数的为( )

A.()f x

B.()xf x

C.()x

e f x D.()x

xe f x

【答案】D 【解析】设

,则

.

对R x ∈恒成立,且0x e >.

在R 上递增,故选D.

练习1. 设函数)(x f '是函数的导函数,1)0(=f ,且

,则

解集为( ) A.),34ln (

+∞ B.),32

ln (+∞ C.),23(

+∞ D.),3

(+∞e 【答案】B 【解析】依题意

,构造函数

由,得

,ln 2

3

x >

【思路点晴】本题考查导函数的概念,基本初等函数和复合函数的求导,对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.学科网

练习2.已知()f x 定义在R 上的函数,()f x '是()f x 的导函数,若,且()02f =,

则不等式(其中e 为自然对数的底数)的解集是( ) A . B .()1,-+∞ C .()0,+∞ D .

【答案】C 【解析】设,则

,∴

,∴()x g ',∴()x g y =在定义域上单调递增,∵

,∴()1>x g ,又∵

,∴()()0g x g >,∴0>x ,∴不等式的解集为

()0,+∞故选:C.

考点:利用导数研究函数的单调性.

【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键,属于中档题.结合已知条件中的以及所求结论

可知应

构造函数,利用导数研究()x g y =的单调性,结合原函数的性质和函数值,即

可求解.

练习3.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意实数x ,有,且()1f x +

为奇函数,则不等式

的解集是( )

A .(),0-∞

B .()0,+∞

C .1,e ??-∞ ???

D .1,e ??+∞ ???

【答案】B

【解析】设

.由,得,故函

数()g x 在R 上单调递减.由()1f x +为奇函数()01f =-,所以

.不等式

等价于

()

1x

f x e

<-,即,结合函数()g x 的单调性可得0x >,从而不等式

的解集为()0,+∞,故答案为B.

【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题.常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0,即

当是形如时构造;当是时构造,在本题中

令,(R x ∈),从而求导()0<'x g ,从而可判断()x g y =单调递减,从而可得到不等式的解

集.

练习4.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ,满足,且()2+f x 为偶函数,

()41=f ,则不等式()

A .()2,-+∞

B .()4,+∞

C .()1,+∞

D .()0,+∞ 【答案】D

【解析】设,则

∴函数g x ()是R 上的减函数, ∵函数()2+f x 是偶函数, ∴函数

∴函数关于2x =对称, ∴

原不等式等价为1g x ()<, ∴不等式()

∵g x ()是R 上的减函数, ∴0x >.

∴不等式()

,则

解集是( )

A.ln 4,3??+∞ ???

B.ln 2,3??

+∞ ???

C.3,2??+∞ ? ???

D.,3e ??+∞ ? ??? 【答案】B

【解析】设,则

,所以

(c 为常数),则

,由

,2c =,

所以,又由

,所以

即()3f x >,即3213x e ->,解得ln 2

3

x >.故选B . (四)构造成积的形式

例4.已知定义在R 上的函数()y f x =满足:函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,且当()

,0x ∈-∞时,

(()f x '是函数()f x 的导函数)成立.若

,,

,则a ,b ,c 的大小关系是( )

A .a b c >>

B .b a c >>

C .c a b >>

D .a c b >> 【答案】A

【解析】易知()x f 关于y 轴对称,设

,当()0,∞-∈x 时,

,

()x F ∴在()0,∞-上为递减函数,且()x F 为奇函数,()x F ∴在R 上是递减函数.

,即

c b a >>,故选A.

【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较c b a ,,的大小关系,需要构造新函数

,通过已知函数()x f 的奇偶性,对称性和单调性,判断()x F 的各种性质,可得()

x F 在R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.

练习 1.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为'

()f x ,且有,则不

等式的解集为( ) A .

B .

C .(2018,0)-

D .(2016,0)- 【答案】B

考点:函数导数与不等式,构造函数.

【思路点晴】本题考查函数导数与不等式,构造函数法.是一个常见的题型,题目给定一个含有导数的条件

,这样我们就可以构造函数

,它的导数恰好包含这个已知条件,

由此可以求出()F x 的单调性,即函数()F x 为减函数.注意到原不等式可以看成,

利用函数的单调性就可以解出来.

练习2.设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数,其导函数为()f x ',且有,

则不等式

的解集为( )

A .()2012,+∞

B .()0,2012

C .()0,2016

D .()2016,+∞ 【答案】D

【解析】试题分析:∵函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数,

∴函数2

y x f x =()在()0,+∞上是增函数,

∴不等式的解集为()2016,+∞.

【名师点睛】本题考查函数的单调性,解不等式,以及导数的应用,属中档题.解题时正确确定函数

2y x f x =()在()0,+∞上是增函数是解题的关键

练习3.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数,其导函数为()'

f

x ,且满足

,则

不等式的解集为( )

A .

B .

C .

D .

【答案】C

(五)与ln x 有关的构造

例5.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f (1)=4,且()f x 导函数()3f x '<,则不等式的解集为( )

A.(1,)+∞

B.(,)e +∞

C.(0,1)

D.(0,)e 【答案】D

【解析】设t=lnx,则不等式

化为13)(+>t t f ,设g(x)=f(x)-3x-1,则

因为()3f x '<,所以

<0,此时函数g(x)单调递减。因为f(1)=4,所以g(1)=f(1)-3-1=0,所以

当x>1时,g(x)3x+1的解为x<1,即不等式f(t)>3t+1的解集为t<1.由lnx<1得0

练习1.设

为自然对数的底数.若,则( )

A .

B .

C .

D .

【答案】B

【解析】由不等式启发,可构造函数,则,

又由,得

,即()F x 在()0,+∞上为单调递增函数,因为

22e e <<,所以

,即

,又,整理可得

.故正确答案选B.

【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识,属于中高档题.首先根据条件

,构造函数

,对函数()F x 求导,则有

,可知

()F x 在()0,+∞上为单调递增函数,又22e e <<,即

,化简整理即得正确答案.

(六)构造成商的形式

例 6.已知()f x 在()0,+∞上非负可导,且满足,对于任意正数,m n ,若m n <,则必

有( ) A . B . C . D .

【答案】D

【解析】构造函数,则由可知函数是单调递减函数,

因为n m ≤,所以,即,也即,因此应选D .

考点:导数的运算和灵活运用.

【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概

括,先构造一个新的函数,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件,判

断出函数是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.

练习1.已知函数()y f x =是R 上的可导函数,当0x ≠时,有

,则函数

的零点个数是( )

A .0

B .1

C .2

D .3 【答案】B

【解析】令.

,即当

0x >时,

,为增函数,当0x <时,

,为减函数,函数1

y x

=-

在区间上为增函数,故在区间(),0-∞上有一个交点.即

的零点个数是1.

考点:1.函数与导数;2.零点.

【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点,如本题中的的零点,可以

转化为

,也就是左右两个函数图象的交点个数,函数1

y x

=-

在区间上为增

函数,通过已知条件分析,即当0x >时,

为增函数,当0x <时,

,为减函数,由此判断这两个函数在区间(),0-∞上有一个交点.

练习 2..已知定义在R 上的函数()f x 满足,当

时,下面选项中最大的一

项是( )

A .()n n

f m m B . C .()

m m

f n n

D .

【答案】B

【解析】令,则,又,所以最

大的一项是

,选B.

考点:利用导数研究函数单调性

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构

造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造

,构造,构造等

练习3.已知()f x 是定义在R 上的减函数,而满足,其中()'f x 为()f x 的导数,则( )

A .对任意的

B .对任意的

C .当且仅当

D .当且仅当

【答案】B

【解析】由题意'()0f x <恒成立,由得

.令1x =得(1)0f >,又()

f x 为减函数,所以当1x <时,,而当1x >时,由

()

0'()

f x f x <,从而()0f x >,综上有当x R ∈时,()0f x >.故选B . 考点:导数与单调性.

【名师点睛】本题考查导数的应用,在解题时,关键是导导数与单调性的关系得出'()0f x <恒成立,然后

对已知不等式

进行分析,首先可得(1)0f >,从而有得到部分()f x 的正负,即1x <时,

,实际上这个结果就排除了A ,C 的正确性,也说明D 是错误的,只有B 是正确的.这是

利用了选择题的特征.

练习4.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=﹣1,其导函数f′(x )满足f′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )

A .

B .

C .

D .

【答案】C

【解析】根据导数的概念得出>k >1,用x=代入可判断出f ()>,即

可判断答案. 解;∵f′(x )=

f′(x )>k >1,

∴>k >1,

即>k >1, 当x=时,f ()+1>×k=

即f ()﹣1=

故f ()>,

所以f ()<

,一定出错,

故选:C .

练习5.已知奇函数()f x 定义域为

为其导函数,且满足以下条件①0

x >时,

;②()1

12

f =;③

,则不等式

()

224f x x x

<的解集为 . 【答案】

【解析】0x >时,令

,又()f x 为奇函数,所以()g x 为偶

函数,因为,所以,,从而

解集为

考点:利用导数解不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造

,构造,构造等

(七)对称问题

例7.设函数是的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数

都有对称中心,其中满足.已知函数

,则()

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】,解得,所以函数的对称中心为,设是函数的图象上关于中心对称的两点,则,

,故选D.

考点:1、转化与划归思想及导数的运算;2、函数对称的性质及求和问题.

【方法点睛】

本题通过“三次函数都有对称中心”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题,属于难题.遇到探索性结论问题,应耐心读题,分析新结论的特点,弄清新结论的性质,按新结论的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解

决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称性和的.

练习1.对于三次函数

,给出定义:设()'

f

x 是函数()y f x =的导数,()''f x 是

()'f x 的导数,若方程()''0f x =有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过

探究发现:任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若,请

你根据这一发现,则函数的对称中心为( )

A. 1,12??

??? B. 1,12??

- ??? C. 1,12??

- ??? D. 1,12??

-- ???

【答案】A

专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中.在导数小题中构造函数的常见结论:出现()()nf x xf x '+形式,构造函数()()F n x x f x =;出现()()xf x nf x '-形式,构造函数()() F n f x x x = ;出现()()f x nf x '+形式,构造函数()()F nx x e f x =;出现()()f x nf x '-形式,构造函数()() F nx f x x e = . 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1.利用()f x 与x (n x )构造 常用构造形式有()xf x , ()f x x ;这类形式是对u v ?,u v 型函数导数计算的推广及应用,我们对u v ?,u v 的导函数观察可得知,u v ?型导函数中体现的是“+”法,u v 型导函数中体现的是“-”法,由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造u v ?型,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 u v . 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数,若当 时, ,则函数 的零点个数为 A .0 B .1 C .2 D .0或2 【答案】A 【解析】 设 ,因为函数 为偶函数,所以 也是上的偶函数,所以 .由已知, 时, ,可得当 时, , 故函数在上单调递减,由偶函数的性质可得函数在 上单调递增.所以

,所以方程,即无解,所以函数没有零点.故选A. 【指点迷津】设,当时,,可得当时,,故函数 在上单调递减,从而求出函数的零点的个数. 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是,其导函数为,若,且(其中是自然对数的底数),则 A.B. C.当时,取得极大值D.当时, 【答案】C 【解析】 设,则 则 又得 即,所以 即 , 由得,得,此时函数为增函数 由得,得,此时函数为减函数 则,即,则,故错误 ,即,则,故错误 当时,取得极小值 即当,,即,即,故错误 当时,取得极小值 此时,则取得极大值

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题(小题) 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握,导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ,则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性,而是包含()f x 的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是'()f x 的形式,则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ,因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如:'()0f x >,则我们知道原函数()f x 是单调递增的,若'()10f x +>,我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的,因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程,只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数,那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候,但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可,例如()g x 的原函数是不能准确的找到的,但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ,则也能大致将那个函数看成是原函数,例如'()()g x m x x =,或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式,我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结: 关系式为“加”型: (1)'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+(2)'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+(3)'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+(注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ! (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132,则n 等于 . 变式:已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 例2:设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

例3;已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-, 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例4:已知R a ∈,函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=. (Ⅰ)如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围.

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ (I )求()f x 的单调区间; (II )若()f x 在[0,1]上单调递增,求a 的取值范围。子集思想 例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=,kx x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数. (1) 求实数k 的取值范围; (2) 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

构造函数利用导数解决函数问题

构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题 例:[2011·辽宁卷]函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2, 则f (x )>2x +4的解集为( ) A .(-1,1) B .(-1,+∞)C .(-∞,-1) D .(-∞,+∞) 【解析】构造函数G (x )=f (x )-2x -4,所以G ′(x )=f ′(x )-2,由于对任意x ∈R ,f ’(x )>2, 所以G ′(x )=f ′(x )-2>0恒成立,所以G (x )=f (x )-2x -4是R 上的增函数, 又由于G (-1)=f (-1)-2×(-1)-4=0,所以G (x )=f (x )-2x -4>0, 即f (x )>2x +4的解集为(-1,+∞),故选B. 训练: 1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当 (,0),()'()0 x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2 0.22 (2) a f =g ,log 3(log 3) b f π π=g ,3 3log 9(log 9) c f =g ,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >> 解: 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为 奇函数.因为 [()]'()'() xf x f x xf x =+,所以当 (,0) x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数 () y xf x =单调递减,当 (0,) x ∈+∞时,函数() y xf x =单调递减.因为 0.2122 <<,0131og π <<,3192 og =,所以0.23013219 og og π <<<,所以

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里是几种常用的构造技巧. 技法一:“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)=e x-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<e x. [解] (1)由f(x)=e x-ax,得f′(x)=e x-a. 因为f′(0)=1-a=-1,所以a=2, 所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2, 令f′(x)=0,得x=ln 2, 当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明:令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增. 所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x. [方法点拨] 在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”,并利用(1)的

结论求解. [对点演练] 已知函数f (x )=x e x ,直线y =g (x )为函数f (x )的图象在x =x 0(x 0<1) 处的切线,求证:f (x )≤g (x ). 证明:函数f (x )的图象在x =x 0处的切线方程为y =g (x )=f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0). 令h (x )=f (x )-g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0), 则h ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)= 1-x e x - 1-x 0 e 0 x = ?1-x ?e 0 x -?1-x 0?e x e 0 +x x . 设φ(x )=(1-x )e 0 x -(1-x 0)e x , 则φ′(x )=-e 0 x -(1-x 0)e x , ∵x 0<1,∴φ′(x )<0, ∴φ(x )在R 上单调递减,又φ(x 0)=0, ∴当x <x 0时,φ(x )>0,当x >x 0时,φ(x )<0, ∴当x <x 0时,h ′(x )>0,当x >x 0时,h ′(x )<0, ∴h (x )在区间(-∞,x 0)上为增函数,在区间(x 0,+∞)上为减函数, ∴h (x )≤h (x 0)=0, ∴f (x )≤g (x ). 技法二:“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )=ae x ln x +be x -1 x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1)) 处的切线为y =e (x -1)+2. (1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>1. [解] (1)f ′(x )=ae x ? ?? ??ln x +1x +be x -1 ?x -1? x 2 (x >0), 由于直线y =e (x -1)+2的斜率为e ,图象过点(1,2),

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年:设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =, 求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥, 求a 的取值范围 2019年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >, 且1x ≠时, ln ()1x k f x x x >+-, 求k 的取值范围. 2019年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(, 求b a )1(+的最大值.

2019: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++, ()g x =()x e cx d +, 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时, ()f x ≤()kg x , 求k 的取值范围. 2019一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+, 曲线()y f x =在点(1, (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ , ()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时, x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m , n 中的最小值, 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x , 讨论()h x 零点的个数.

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

合理构造函数解导数问题

合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析,高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题,考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。在内容上日趋综合化,在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题,有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法,但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的,那么怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1:(2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题) 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点,求实数a 的值; (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数,求实数a 的取值范围; (3) 若1-=a 时,方程()()x b x x f = ---3 11有实根,求实数b 的取值范围。 解:(1)因为3 2= x 是函数的一个极值点,所以0)32 (='f ,进而解得:0=a ,经检验是 符合的,所以.0=a (2)显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立,所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31x 时递增, 故此我们只需要保证()0231 1≥--++= 'a a a f ,解得:.2510+≤≤a (3)方法一、变量分离直接构造函数 解:由于0>x ,所以:( )2 ln x x x x b -+=32 ln x x x x -+= ()2 321ln x x x x g -++=' ()x x x x x x g 1 266212---=-+='' 当6710+< ''x g 所以()x g '在6 7 10+< x 时,(),0<''x g 所以()x g '在6 71+>x 上递减; 又(),01='g ().6 7 10, 000+< <='∴x x g

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

相关文档
最新文档