八年级数学暑假专题四边形上海科技版知识精讲

初二数学暑假专题——四边形上海科技版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

暑假专题之五四边形（上）

多边形内角和、平行四边形

二、教学重点、难点

重点：平行四边形的判定和性质

难点：平行四边形的性质和判定的应用

三、具体教学内容：

1、n边形的内角和等于?

-180

)2

n(，任意多边形的外角和等于?

360，n边形的对角线条数

为

2)3

n(n-

。

2、有两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形。

3、平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，平行线之间的距离处处相等。

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

5、连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角线的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

【典型例题】

例1、一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和为?

2520，则原多边形的边数是多少？

分析：多边形截去一个角时，有三种情况（以五边形为例）

（1）截后少一边（2）截后多一边（3）截后边数不变

（1）（2）（3）

设新多边形的边数为n，则?

=

?

?

-2520

180

)2

n(。

解得n=16，因为截去一个角时有三种情况，所以原多边形可能是十五边形或十六边形或十七边形。

例2、一个n边形的n个内角中，至多有锐角（）个。

A、1个

B、2个

C、3个

D、)3

n(-个分析：若多边形的内角为锐角，则相邻的外角为钝角，而n边形的外角和为360°，因

此是钝角的外角不能超过3个，否则外角和大于360°，因此n 边形的n 个内角中至多有3个锐角。

故选C 。

例3、如图，M 是平行四边形ABCD 的一边AD 上任意一点，若△CMB 的面积为S ，△CDM 的面积为S 1，△ABM 的面积为S 2，则下列关于S ，S 1，S 2的大小关系中正确的是（ ）。

A 、21S S S +>

B 、21S S S +=

C 、21S S S +<

D 、无法确定

分析：由平行线间的距离处处相等知，△CDM 、△ABM 及△BCM 的高相等，设为h

∵h DM 21S 1?= h AM 21S 2?= h BC 2

1S ?= 又 DM+AM=AD=BC

∴h )AM DM (2

1S S 21?+=+ S h BC 2

1=?= 故选B 。

例4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠FEC=∠B 。

（1）CF=DE 吗？请说明理由。

（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE 的面积。

分析：因为DE 为△ABC 的中位线，所以DE ∥AC ，且AC 2

1DE =

。 再证DC ∥EF ，四边形DCFE 为平行四边形，容易求出其面积。

解：（1）CF=DE ，理由如下

∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点，

∴DE ∥AC ，AC 2

1DE = 又∠ACB=90° ∴DB AB 2

1CD == ∴∠B=∠BCD

∵∠FEC=∠B ∴∠FEC=∠BCD ，EF ∥CD

∴四边形DCFE 是平行四边形，∴CF=DE （2）∵AC=6 AB=10

∴在Rt △ABC 中， 8AC AB BC 22=-=

∴S 四边形DCFE =DE ·CE=AC 2

1·21BC=12

例5、已知，如图，任意作一个四边形，将其中点依次连接，得到一个新的四边形，这个四边形是什么形状？证明结论。

分析：连接BD ，在△ABD 、△BCD 中分别应用三角形中位线定理，可利用“两组对边分别相等”证明四边形EFGH 为平行四边形。

证明：连接BD

∵E 、H 分别为AB 、AD 的中点

∴EH ∥BD EH BD 2

1= ∵F 、G 分别为BC 、DC 的中点

∴FG ∥BD ，BD 2

1FG = ∴EH ∥FG ，EH=FG

∴四边形EFGH 为平行四边形

例6、如图，在△ABC 中，E 、F 是AB 边上的点，且AE=BF ，分别过EF 作AC 的平行线交BC 于点H 、G ，试问EH 、FG 、AC 之间有什么关系？试说明你的结论。

分析：三条线段之间的关系，一般情况下，两条线段的和等于第三条线段，题中给出HE ∥CA ∥GF ，过点E 作BC 的平行线，就这样把EH 平移到AC 上与CD 重合，再证△ADE ≌△FGB 。

解：AC=EH+FG

理由：过E 点作ED ∥BC 交AC 于点D ，

则∠ADE=∠C ，又∵HE ∥CA ∥GF

∴∠C=∠FGB

∴∠ADE=∠FGB

又∵∠GFB=∠A ，AE=BF

∴△ADE ≌△FGB

∴AD=FG

又由题意可知四边形DEHC 为平行四边形

∴DC=EH

∴AC=DC+AD ，即AC=EH+FG

【模拟试题】

1、m 边形与n 边形内角和的差为720°，则m 与n 的差为（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

2、以不在同一条直线上的三点为平行四边形的三个顶点，则可以作出平行四边形的个数是（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

3、已知平行四边形ABCD 被对角线AC 分成两个周长为6cm 的三角形，如果平行四边形ABCD 的周长是7cm ，那么AC 的长等于（ ）

A 、1cm

B 、2.5cm

C 、3.5cm

D 、9.5cm

4、平行四边形ABCD 中，AB+BC=11cm ，∠B=30°，S 平行四边形ABCD =15cm 2，则AB 与BC 的值可能是（ ）

A 、5cm 或6cm

B 、4cm 或7cm

C 、3cm 或8cm

D 、2cm 或9cm

5、如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 周长为12，则PD+PE+PF= 。

6、如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加10

1，则这个多边形的边数是 。 7、平行四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边的长度分别为cm )3x (-，cm )4x (+，5cm ，则它的周长为 。

8、如图，已知：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是直线AC 上的两点，并且AE=CF ，

求证：四边形BFDE 是平行四边形。

9、某同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？

10、平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且点E把AD分为4cm和5cm 两部分，求平行四边形ABCD的周长。

11、如图，平行四边形ABCD中，∠C=60°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求

（1）∠EDF的度数

（2）若AE=4，CF=7，求平行四边形ABCD的周长

12、如图，在平行四边形ABCD中，AB// CD，M、N在直线AC上，且MA=NC，问BM 和DN存在怎样的关系？说明理由。

13、如图，D、E、F分别在△ABC的边BC、AB、AC上，且DE∥AF，DE=AF，G在FD的延长线上，DG=DF，试说明AG和ED互相平分。

【试题答案】

1、C ?=?--?-720180)2n (180)2m (

2、C

3、B 5.22]7)66[(=÷-+

4、A

5、4

6、12

7、34cm

8、∵AC 、BD 为平行四边形ABCD 的对角线，交于O ，

∴AO=CO ，BO=DO ，∵AE=CF

∴AO+AE=CO+CF 即EO=FO

∴四边形BFDE 为平行四边形。

9、设这个多边形的边数为n ，这个内角的度数为x ，由题意，得??-=+?180)2n (x 1125。 ∵边数n 为正整数，∴2n -也是正整数

又∵?<

++=-180x 0180x 4562n 且 ∴?=+?180x 45 ?=135x ∴162n +=- n=9

∴这个内角是?135，这个多边形是九边形。

10、如图，∵AD ∥BC ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2

∴∠1=∠3，∴△ABE 为等腰三角形，∴AB=AE=4

或AB=AE=5，∴C 平行四边形ABCD =4+5+9+4+4=26或

C 平行四边形ABC

D =5+4+9+5+5=28

11、（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD

∴∠B=?=?-?=∠-?12060180C 180，∵DE ⊥AB

DF ⊥BC ，∴∠EDF=?=?-?-?-?601209090360

（2）由题意得∠A=∠C=?60，Rt △ADE 中∠ADE=?30

∴AD=2AE=8，∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴BC=AD=8，同理AB=CD=14，∴平行四边形ABCD 的周长为44。

12、BM //=DN ，连接BD 交AC 于O ，连接BN 、DM 。

∵AB //=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形

∴OB=OD ，OA=OC ，∵MA=NC

∴OA+MA=OC+NC ∴OM=ON 又OB=OD

∴四边形MBND 是平行四边形，∴BM //=DN

13、连接AD 、GE 。

∵DE //=AF ，∴四边形AEDF 是平行四边形

∴AE //=FD ，∵DG=DF ，∴AE //=DG

∴四边形AEGD 是平行四边形

∴AG 和ED 互相平分。