胡适耕 实变函数答案 (第二章B)
第二章习题 B
41．作可测集]1,0[?A ,使对任何非空开区间]1,0[??，恒成立0)(>?A m 且
0)\(>?A m ．
证 ①在任一区间),(βα中，对于预先指定数r (0 首先在),(βα中取出以其中点为中心长为)(αβλ-的区间)3 1(< λδ；再在 余下的两个区间10,??中，分别取出以其中点为中心长为)(2αβλ-的两个区间10,δδ；再在余下的四个区间12i i ?)1,0;1,0(21==i i 中分别取出以其中点为中心 长为)(3αβλ-的区间12i i δ)1,0;1,0(21==i i ；等等．如此一直下去．令G 为所 有这些取出的区间之和：111(,) ()n n i i n i i G δδ∞ ?=?= ．显然G 为开集，n i i ,1δδ与为 其构成区间． 111 1() 1 () ()2()12n n n n i i n i i n m G m m λβαδδλβαλ βαλ∞ ∞ +==-=+=-+-= -∑ ∑∑ ， 取r r 21+=λ，则有)(αβ-=r mG ，当0 10<<λ，并可知：G -],[βα为疏朗完全集，从而G 为],[βα中稠集． ②在[0,1]中构造出所要求的集合A ． 对于[0,1]，取4 3= r ，按①作出相应的稠密开集4 3,0 0= mG G ，由0G 为开 集，) 0(1 ) 0(0,i i i G δδ ∞ == 为0G 的构成区间．再对每个) 0(i δ，按①的做法，得出一 稠密开集) 0(i G ，使) 0(2 ) 0()3 11(i i m mG δ- =，并令0) 0(1 1G G G i i ?=∞= ，则 (0) 102 1 1(1)3 i i m G mG m G ∞ == =- ∑ ，由1G 为开集，) 1(1 1i i G δ∞== ，) 1(i δ为1G 的构成 区间．再对每个) 1(i δ，按①做出相应的稠密开集) 1(i G ，使) 1(2 )1()4 11(i i m mG δ- =， 并令1)1(1 2G G G i i ?=∞ = ，则)2 11)(3 11)(4 11(2 2 2 2 -- - =mG ，如此继续下去，得 出一列单调下降的开集： ∏ ==+- = ???n k n n n k mG G G G 0 2 10).1.0)() 2(11(, ， 令n n G A ∞ ==0 ，显然A 可测，且∏ ∞=∞ →= +-= =0 2 2 1)) 2(11(lim k n n k mG mA ． ③证明A 满足题目要求. 任取开区间]1,0[??，易知每一个n G 于[0，1]中稠密，从而可知?≠?A ，设A x ?∈0，则在每一个n G 中有它的一个构成区间) (0n i n x δ∈， 又易知：)(03 11 ) (∞→→< +n m n n i n δ，故存在一充分大的0n ， 使??∈) (000 n i n x δ，由)(0 00 00 ) () (k n k n i n i G A n n ∞ == δδ， ∏∞ =+- =0 00 00 ) (2 ) ()]) 2(11([)(n k n i n i n n m k A m δδ 以及 0] )) 2(11([2 1)) 2(11(11 1 2 2 00 >+- = +- > --=∞ =∏∏ n k n k k k ，可知： 0)() (00 >A m n i n δ，0)\() (00 >A m n i n δ． 从而00 () ()()0;n n i m A m A δ?≥> 00 () (\)(\)0n n i m A m A δ?≥>． 42．每个非空完备集?A R 有非空完备子集B ，使0=mB ． 证 若mA =0，则结论自然成立．下设0>=a mA ； 显然非空完备集A 的每一点均为A 的聚点． 下证A 含有测度为零的非空完全子集． 如能构造一个测度为0的不可列闭集A E ?，则D B E =，B 为非空完备 集．又A E B ??∴0m B m E ≤=，即mB =0，于是B 即合所求． 下面就构造这样的集E ： 在A 中任取两个不同的点10,x x ，做两个小区间10,δδ，使得1100,δδ∈∈x x ，且01012 2 ,,2 2 a a m m δδδδ≤ ≤ =? ．由10,x x 均为A 的聚点，可知 10δδ A A 与均为不可列闭集，记其聚点全体分别为10,P P ，易知1 1(0,1) i P i =为非空完全集且A P i ?1 ，2 2 1 a mP i ≤ ，?=10P P ，对每个1 i P 施行同样的手 续，得出四个完全集12 12(0,1;0,1)i i P i i ==满足：12112 4 ,2 i i i i i a P P m P ?≤ ， ?=1011i i P P ，再对每个12i i P 施行同样的手续，如此一直下去，得到一列完全集： )2()2(),2(212112个个个n i i i i i i n P P P 满足： n i i i i i i i i i a mP A P P n n n 22 ,2112121≤ ??- ，?=' ''n n i i i i i i P P 2121(至少有一个k i 与 'k i 不同)．令 ,,),() 2()()1(212 111 i i i i i i P P P P = = ， ) ,,() (211n n i i i i i n P P = ，易知： ),2,1(2 2 2,2) () () 2() 1( == ? ≤????n a a mP P P P n n n n n ． 再令 ∞ == 1 ) (n n P E ．则E 就是我们要构造的集合． 因为() () ,lim lim 02 n n n n n a E P A m E m P →∞ →∞ ??===． 又由)(n P 均为闭集，知E 为闭集．再因每一个0-1序列{12,,i i ,n i } 所对应的完全集列： ????n i i i i i i P P P 212 11 决定一点，记为12n i i i X ， 易知E 即由所有这样的点所组成的，即： 121211212{|,0,1(1,,,)n n n i i i i i i i i i i i i k E X X P P P i k n =∈== }．由此 可见E 的基数为c ．记E 的凝聚点全体为B ，则B 即为所求的非空零测完备子集． 43．设Q =22 {:},(,),n n n r n N G r n r n F R --∈= -+? 是闭集， 则m (G ΔF )>0． 证 m (G ΔF )= m (G c F )+m ( F \G ) １）若m (G c F )>0,显然m (G ΔF )>0 ２）若m (G c F )=0，假设c F ≠? 又c F 为开集，由有理数稠密性G c F ≠? ，又G 为开集 ∴m (G c F )>0,这与m (G c F )=0矛盾． ∴c F =? ，即F =R ．又m G ∞<++ ++ ≤)12 11(22 2 n ， m F m R ==∞ ∴m ( F \G )≥0m F m G -=∞> ∴m (G ΔF )>0. 44．设A R ?，0,mA >则有x,y ∈A ,使 0≠y x -Q ∈． 证 不妨设A 为有界（否则可取n 充分大，使m 0)],([>-A n n ，然后对有界的A n n A ],[1-= 证本题），即存在0r ，使 0 (0)r A B ? 假设不存在x,y ∈A ,使0≠y x -Q ∈， ?r ∈0 (0)r Q B + ，令{:}r A x r x A =+∈, 显然，?0 12,((0))r r r Q B + ∈ ,若12r r ≠，有1 2 r r A A =? 且 ) 0(0 r B Q r r A + ∈02(0)r B ?．因此 m (0 2(0)r B )1 2 n r r r m A m A m A ≥++???++??? m A m A m A =++???++???=∞,矛盾．故假设不成立． 45．设A R ?，0,mA >则有x,y ∈A ,使 x-y \R Q ∈． 证 假设命题不成立，则,,x y A x y Q ?∈-∈． ,x A ?∈作集合1{|}A y x y A =-∈．因为1||||A A =，由假设，1A Q ?，故1A 可数所以A 也可数， 故0,mA =与0m A >，矛盾． 46．设A R ?，0,mA >10< 证 设A 有界（否则可取n 充分大，使m 0)],([>-A n n ，然后对有界的A n n A ],[1-= 证本题）．由于 A 可测，由2．1．5得： 存在开集G ?A ,使m G ≤1 p -m A =1 p -m (G A )． 由1．5．1定理，存在开集列{}i δ使G =1 i i δ∞ = ,i δ互不相交．故 1 i i m δ ∞ =∑=m G ≤1 p -m (G A )=1 p -1 1 1 ()()i i i i m A p m A δ δ∞ ∞ -===∑∑ ． 所以存在N n ∈,使)(1A m p m n n δδ-≤． 即：)(A m pm n n δδ≤，又0>n m δ． 所以有区间n δ=?，使0 47．设?A R ，0>mA ，则()A A +≠ ?；于是当A A A ?+或A A A ?+2/)(时，A ≠ ?． 证 因为0>mA ，所以存在开区间),(r a r a I +-=使得 )(4 3I A m mI <， 令)2,2(r a r a J +-=，下面证明A A J +?，从而φ≠+0)(A A ． 任意J x ∈0，则区间),(}{0000 r a x r a x I y y x I x +---=∈-=：包含区间I 的中点a 而且与区间I 的长度相同，所以)(22 3)(0 I A m mI I I m x << ．令 }{)(00I A y y x I A x ∈-=：，可以证明φ≠0)()(x I A I A ． 若不然，则)()(2])()[(0 x x I I m I A m I A I A m >=， 但是0 )()(x x I I I A I A ?，从而)(])()[(0 x x I I m I A I A m ≤， 这与上式矛盾．所以φ≠0 )()(x I A I A ， 于是可取0 )()(1x I A I A y ∈，这时存在I A y ∈2使201y x y -=，因为 A y A y ∈∈21,，而且A A y y x +∈+=210，从而A A J +?，所以 ≠+0)(A A ?．从而当A A A ?+或A A A ?+2/)(时，A ≠ ?． 48．设B B B A A A B A B A B A ?+?+≠==∞,,,,),0(φ ，则A ，B 均不可测． 证 先证若A 可测，则必0=mA ．这是因若0>mA ，由A A A ?+，那么上题2-47的结论：0A 就应是R ?∞),0(中的一个非空开集，按R 中非空开集的 构成性质，应有 ∞ == 1 ),(n n n b a A ，其中构成区间),(n n b a 两两不相交：且当端点 R b a n n ∈,时，0 ,A b a n n ?，故B A b a n n =∞∈\),0(,．现在分如下两种情况推 出矛盾． 情况1，存在一个构成区间0),(A b a n n ?且+∞<< 就应有A b a n n ?)2,2(，这时由于B b a n n ∈,，不妨设B b a n n ∈,（由于0>=-c a b n n ，在一般情况下如果B B a n \∈，总可取n n n a a B a <∈' ',并使' n a 充分接近来代替n a ，对n b 也同理） ． 现在，一方面，由于B B B ?+，就应有B b a n n ∈+．但另一方面， n n n n b b a a 22<+<，即A b a b a n n n n ?∈+)2,2(，而φ=B A ，矛盾． 情况2，在 ∞ == 1 ),(n n n b a A 的构成区间),(n n b a 中，没有+∞<< 况出现．由于A A A ?+导致A 是无界集．就必然有一个构成区间),(n n b a 满足 ∞=∞< B A A =+∞=),0(与B 非空矛盾） ，这又与B 非空，B B B ?+，从而B 无界，至少有一点),(+∞∈n a B b ，从而与φ=B A 矛盾． 总之，以上两种情况都说明，若A 是可测集时必0=mA ．同理，若B 是可测集，则也必0=mB ，从而A 与B 不可能都是可测集，否则 ),0(0)(,0∞====m B A m mB mA ，矛盾． 最后，还应该说明A 与B 也不可能有一个可测（例如A 可测），另一个不可测（例如B 不可测）的情况发生．因为将出现),0(,0∞==B A mA 不可测的矛盾．至此本题证毕． 49．作可测集2E R ?，使E 在x 轴与y 轴上的投影均不可测． 证 由2．5．7存在A R ?是不可测集， 令E =A ×{0} {0}×A ,则 A ×{0},{0}×A 可测， 故E 可测，但x E = A {0},y E = A {0}均不可测． 50．设n A R ?,0,mA >则?,0,x A δ∈?>有(())0m A B x δ> ． 证 假设x A ?∈,存在0x δ>,有0))((=x B A m x δ ．由第一章68题结论： 对A 的开覆盖A x x B x ∈)}({δ存在A 的可数子覆盖{}n G 满足()0n m A G = ．故 (())n m A m A G = =(())n m A G 1()()0n m A G m A G ≤+???++???= 这与0,mA >矛盾．所以假设不成立． 51．设f 是可测函数，B R ?可测，则1 ()f B -未必可测． 证 用(){}n k I 表示康托集P 的有限余区间集 1 ()()() 1 2 212783231( , ),( , ),(,)3 3 3 3 33 n n n n n n n n n n n n I I I ---=== 其中，11,2,2,1,2,n k n -== 定义[0,1]上的函数?如下 1/2,1/4,()3/4, x ??? ?=? ??? (1/3,2/3) (1/9,2/9) (7/9,8/9)x x x ∈∈∈ 一般地，() 21,(),2 n k n k x I x x P ?-∈= ∈时， ()sup{()|,[0,1]\},(0)0x x P ??ξξξ?=≤∈=，易见?是[0,1]上单调增加连续函数，再作()()x x x ψ?=+,ψ是[0,1]上严格单调增加的连续函数． 在康托集的诸有限余区间上，?分别取常值，因此这些余区间经ψ映射后长度不变，所以如记I=[0,1],便有((\))(\)1m I P m I P ψ==． 因为]2,0[)(=I m ψ，所以(())(())1211m P m I ψψ=-=-=．取D 为()P ψ的不可测子集，1 ()A D P ψ -=?，所以A 是可测的．令1 ()(2),f x x ψ -=则f 在 [0,1]上连续，所以)(x f 可测，取f 值域中的可测集,B A =则有 1 12 (){|},f B x x D -= ∈由于 D 不可测，故1 ()f B -不可测． 52．可测函数的复合函数未必可测． 证 如题51那样先构造一个严格单调增加连续函数]1,0[]1,0[:→?，函数)(x ?通常称为Cantor 函数. 下面利用)(x ?构造一个可测函数)(x g 和一个连续函数 )(x h ，使复合函数))(()(x h g x h g = 不可测. 令2 ) ()(x x x f ?+= ，则)(x f 是从]1,0[到]1,0[上的严格单调增加连续函数，从 而存在严格单调增加连续反函数)(1 x f -，就取)(x h )(1 x f -=. 由于 0))((>P f m ，所以在)(P f 中可取一个不可测集E ，)(P f E ?，P 为零测度 集，从而P E f ?-)(1 ，从而)(1 E f -也为零测度集. 令)(x g 为)(1 E f -的特征函 数，)(x g )() (1 x E f -=χ ， 则)(x g 为]1,0[上可测函数，而且)(x g ..,0e a =于]1,0[. 记=I ]1,0[，则}1))(()(,|{)1(==∈==x h g x h g I x x h g I )}()(,|{1 E f x h I x x -∈∈= E E f x f I x x =∈∈=--)}()(,|{1 1 因为E 为不可测集，所以复合函数))((x f g 在]1,0[=I 上不是可测函数. 53．作R 上几乎处处有限的可测函数f ,使任何与f 几乎处处相等的函数处处不连续． 解：作?? ? ??∈∈=).1,0(\,0);1,0(,1 )(R x x x x h ，则显然h 是R 上处处非负有限可测函数.又 令)()(n n r x h x h -=，其中Q r n ∈，{}∞ ==1n n r Q 是R 中有理数集的一个全排，则 对每一个)(x h n ，作为)(x h 的一个n r 平移，除了与)(x h 一样是R 上处处非负有限可测函数外，还有如下性质)(P ：+∞==+ →+ )(lim )(x h r h n r x n n n ，其等价于对任意 一列+ →n k r x ，都有)()(∞→+∞→k x h k n . 现令)(2 1)(1 x h x f n n n ∑ ∞ == ，则显然)(x f 作为一列非负处处有限可测函数列 )(2 1)(1 x h x S n m n n m ∑ == 的极限函数，)(x f 是R 上非负可测函数. (1)要证f 在R 上是几乎处处有限的.利用第三章65题的结果，应用Levi 逐项积分定理与积分平移不变性，可得)(1 R L f ∈，从而f 几乎处处有限. (2)要证对R 上每个函数g ，只要0)(=≠f g m ，则g 在R 上处处不连续. 事实上只需证明对每一点R x ∈0，+∞=+ )(0x g 或不存在即可.为此，先取一列 0x r m ↓，要证明对每个m ，存在)1,(m r r t m m m + ∈满足条件：m t f t g m m ≥=)()(.事实上，由于..,e a f g =于R ，所以在)1,(n r r m m + 中总有一点) (n m t 使得 )()()()(n m n m t f t g =，现在)() (∞→→+ n r t m n m ， 对固定的m ，对)(x h m 用性质)(P ，就应有 )()(2 1) (∞→+∞→n t h n m m m ，于是就可取到{}∞ =1) (n n m t 中的某一个作为 )1,(m r r t m m m + ∈满足 m t h m m m ≥)(2 1.这时m t h t f t g m m m m m ≥≥ =)(2 1)()(， .,2,1 =m 因为0x r m ↓，)1,(m r r t m m m + ∈，所以+ →0x t m ，从而 +∞==≥∞ →∞ →+ )(lim )(lim )(0m m m m t f t g x g ， 故)(0+ x g 不存在或为∞+，从而g 在0x 点不连续，由R x ∈0的任意性，故g 在R 上处处不连续. 54．作[0,1]上的有界可测函数f ,使它不与任何连续函数几乎处处相等． 证 作??????? ∈∈-=] 1,2 1[,1)2 1,0[,1)(x x x f . 任取[0,1]上的连续函数()g x ，考察() g x 在2 1= x 的函数值，有1()2 g >0或1()2 g <0或1()2g =0，不妨设1 ()2 g >0．据() g x 的连续性知，必有δ>0,使当11( , 2 2 x δδ∈-+）时， ()0g x >，而当 1 1 ( ,22 x δ∈-）时，()1f x =-，从而{:()()}0mX x f x g x δ≠≥>． 55．设f ：R →R 可测，)()()(y f x f y x f +=+，则ax x f =)(． 证 因为若f 是R 上的连续函数，且满足)()()(y f x f y x f +=+，则必有 ax x f =)(．故只须证f 是R 上的连续函数． 先证)(x f 是奇函数，在)()()(y f x f y x f +=+中，令0==y x ， 则)0(2)0(f f =，故0)0(=f ，再令x y -=，则)()()0(0x f x f f -+==，故)()(x f x f -=-，即)(x f 是奇函数 对任意自然数n >2，证f 在],[n n -上连续，由Luzin 定理，取闭集],[n n E -?使得1)\],([<-E n n m ，且f 在E 上连续．有 12)\],([]),([)(->---=n E n n m n n m E m 由f 在E 上连续，有)2 10(,0< ?δδε，当δ<-∈2121,x x E x x 且时， ε<-)()(21x f x f ． 下面证：当],[,n n x x -∈'''，且δ<''-'x x 时，也有ε<''-')()(x f x f ，记d x x +'=''，今证必有E x x ∈21,，使得d x x =-21．只要证()E E d +≠ ?其中2 1< d ，}|{E x d x d E ∈+=+． ∵ ()[,]E E d n n d +?-+ ∴(())2m E E d n d +≤+ ∴(())()(())m E E d mE m E d m E E d +=++-+ ))((2d E E m mE +-= 022)2(24>-->+-->d n d n n ∴()E E d φ+≠ ∴,,21E x x ∈?使得d x x =-21 则ε<-=-==''-'=''-')()()()()()()(2121x f x f x x f d f x x f x f x f ∴[,]f n n -在上连续，故f 在R 上连续．则命题得证． 56．设∞ X ，在δX 上n f )(∞→∞n ． 证 不妨设0>n f ,令P X B f X P n -=+∞→=),(，由假设知：0=B μ 取数列),2,1(}{ =+∞↑i a i ，则有 ∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =≤= >= 1111)(),(i n n k i n n k i k i k a f X B a f X P ． 记 ∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =∞ == ≤= ≤= 1111 )(,)(i n n k i n i n i k n k i k i n A a f X B a f X A ，由B μ=0可知： 0)(1 =∞ =i n n A μ，易知i n i n A A ?+1，又∞<≤X A i μμ1从而).2.1(0lim ==∞ →i A i n n μ， 现取正数列0}{↓i η，且 ∞<∑∞ =1 i i η ，则对于每一个i i a η,必存在i n ，使得 i i n i A ημ<， 对0>?δ，必有0i 存在，使得δη<∑∞=0 i i i ，令 ∞=∞ =>=0)(i i i n k k a f X X i δ， 则δη μμμδ<< ≤ =-∑∑∞ =∞ =∞ =0 )()(i i i i i i n i i i n i i A A X X ． 下面证：在δX 上)(x f k 一致趋于∞+．对任给正数M ，必有)(01i i ≥存在， 使M a i >1，对任一 ∞ =∞ =>= ∈0)(i i i n k k a f X X x i δ，必有：1 ()i k i k n x X f a ∞ =∈ > ， 此式表明，当1 i n k ≥时，对一切δX x ∈恒有M a x f i k >>1 )(，而1 i n 的取法与x 无关，只与M 有关，故在δX 上，n f ()n ∞→∞． 57．设),2,1)(( =∈n X M f n 几乎处处有限，则}{n f 测度收敛0>??σ： ),(0)(∞→→≥-n m f f X n m σμ． 证 “?” ∵n f 测度收敛于f ，对N ?>>?,0,0σε，当n >N 时，2 )2(ε σ μ< ≥ -f f X n ，又易知： )2 ()2 ()(σ σ σ≥ -≥-?≥-f f X f f X f f X m n m n ， ∴()()()2 2 n m n m X f f X f f X f f σ σ μσμμ-≥≤-≥ +-≥ ∴当n>N ，m>N 时，εσμ<≥-)(m n f f X ． “?”先找出一个子序列)}({x f k n 在X 上几乎处处收敛．任取数列 ∑∞ =+∞<>1 ,0},{k k k k ηηη，由所设条件可知：k n ?，使得： )21,21(,)21( ，，，，==<≥ -+m k f f X k k n n m k k ημ，从而可取+∞↑k n ，且有k k n n m k k f f X ημ<≥ -+)2 1(，对这列}{k n 作集合P B 、： )2 1(),2 1(1111k n n i i k i k i k n n k k k k f f X B X P f f X B < -= -=≥ -= ++∞=∞ =∞=∞ = 令)2 1(1k i k n n i k k f f X R ≥ -= ∞ =+ ，显然 ?????+121n n R R R R ∞ == 1 i i R B ，∑∑∞ =∞ =∞<≤ ≥ -≤ +111)2 1( 1k k k k n n k k f f X R η μμ又． 11lim lim ()lim 02 k k i n n k k i i i k i k i B R X f f μμμη+∞ ∞ →∞ →∞ →∞ ==∴=≤-≥ ≤=∑∑．0=∴B μ． 下面证：)}({x f k n 是P 上的收敛基本列． 令)2 1(1 k n n i k i k k f f X A < -=+∞ = ，则 ∞ =∞=∞ == < -= +1 1 )2 1(1i i k n n i k i A f f X P k k ， 显然 21++??i i i A A A 若P x ∈，必存在0i ，使得 ??∈+1 00 i i A A x ，对 0>?ε，必有0i i >，使得 ??∈<+-11,2 11 i i i A A x ε，故对一切 .2.1,=>m i l 有 ε<= ≤ -≤ -≤ -∑ ∑ ∑ ∞ =-∞ =-+=+++i j i j i j n n l m i j n n n n j j j j m l i f f f f x f x f 1 1 2 12 1)()(11． 所以()k n f x 在P 上收敛于某f (x )，其中))((lim )(P x x f x f k n k ∈=∞ →，显然 k n f f ，故对0>?δ，0>ε，N ?，当N n k >，N n >时 2 )2 (ε δ μ< ≥ -k n n f f X ,2 )2 (ε δ μ< ≥ -f f X k n ，而 )2 ()2 ()(δ δ δ≥ -≥ -?>-f f X f f X f f X k k n n n n ． 所以当n N >时，εδμ<>-)(f f X n ．即}{n f 测度收敛． 58．设∞ ∞=∑n a 而∞<∑n n f a ，a ．e ．． 证 令)1(k f X A n n k < =，取 <<21k k ，使得 11(\)(\())2 k n n n n n X A X X f k μμ=< < ，取 <<21n n 使i n i k 2> 当 ，21,n n n ≠时，令0=n a ；当 ，21,n n n =时，令1=n a ， 则：∞== = ∑∑ ∑k k n n n k a a 1，∞<< < = ∑ ∑ ∑ ∑k k i n k n n n n n i k k k f a f a 2 11． 59．设*μ是X 上的外测度（以下皆如此），A *μ与B *μ有限，则 ).(* **B A B A ?≤-μμμ 证 不妨设B A **μμ≥，由*μ的次可加性，有 * * ((\)())A A B A B μμ= ))\()()\((* A B B A B A μ≤ )())\()\((**B A A B B A μμ+≤B B A **)(μμ+?≤ ∴***()A B A B μμμ-≤? ∴***()A B A B μμμ-≤?． 60．设)(0)(**C B B A ?==?μμ，则0)(*=?C A μ. 证 显然)\()\()\()\()\()\(B C C B A B B A A C C A ? 即：)()(C B B A C A ???? ．由*μ的次可加性 * * )(μμ≤?C A (()())A B B C ?? 0)()(* * =?+?≤C B B A μμ ∴*()0A C μ?=. 61．设*μA <∞，B 为-*μ可测，则).()(* ***B A B A B A μμμμ-+= 证 因B 为-* μ可测及定理2．5．3 * * * ()(())(()\)A B A B B A B B μμμ=+ =+B *μ)\(* B A μ +=B * μ+)(* B A μ)\(*B A μ)(* B A μ- )(* * * B A B A μμμ-+=． 62．设)1(n i B i ≤≤是互不相交的-* μ可测集，i i B A ?则∑ = i i A A * * )(μμ ． 证 显然B =i n i B 1 = 为-* μ可测集，A =B A i n i ?=1 ，因为)1(n i B i ≤≤是互不 相交的． )(1 * i n i A = μ=))()((1 1 * i n i i n i B A == μ∑== n i 1 * μ ))((1 i i n i B A = ∑== n i 1 * μ ()i i A B ∑== n i 1 * μ i A . 63．设X X f →:是双射，*μ=)(A f *μ)(X A A ??，则当A 为-*μ可测时 )(A f 亦然． 证 X F ?? ∵A 为-*μ可测 ∴*1 (())f F μ-=))((1 *A F f -μ)\)((1 *A F f -+μ 又∵ X X f →:是双射，且*μ=)(A f *μA ∴*μ=)(F ))((1*F f -μ，=))((*A f F μ))((1 *A F f -μ， =))(\(* A f F μ)\)((1 * A F f -μ．将这三个关系式代入前面的等式，即得： *μ=)(F +))((*A f F μ))(\(*A f F μ，故)(A f 也是-* μ可测， 注：设E 是n R 中的点集，如果对n R 中的任何点集F ，都有 *μ=)(F +)(*E F μ))\(*E F μ，则称E 为-* μ可测． 64．设R A ?，则有δG 集B ，使B A ?，且A m *mB =.