关于大学高等数学知识点
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?
>?; *0
()(),
x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): ()
()
x x t y y t =??
=?
(7)变限积分函数: ()(,)x
a F x f x t dt =?
(8)级数和函数(数一,三): 0(),n n n S x a x x ∞
==∈Ω∑
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质:
1. 类型: *lim n n a →∞
; *lim ()x f x →∞
(含x →±∞); *0
lim ()x x f x →(含0x x ±→)
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型: 000,
,1,,0,0,0∞
∞∞-∞?∞∞∞
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论:
11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n
n
n n
a b c a b c ++→, ()00!
n
a a n >→
1(0)x x
→→∞, 0lim 1x
x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim
0n x x x →+∞=, 0lim ln 0n x x x +
→=, 0,
x x e x →-∞?→?
+∞→+∞
? 四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当()0u x →时,
sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 2
11cos ()
()2
u x u x -; ()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-; arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x 2. 泰勒公式:
(1)2
211()2!x e x x o x =++
+; (2)221
ln(1)()2x x x o x +=-+;
(3)341
sin ()3!x x x o x =-+;
(4)24511
cos 1()2!4!
x x x o x =-++;
(5)2
2(1)(1)1()2!
x x x o x αααα-+=+++.
五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞?∞∞); (2)变量代换(如:1
t x
=) 1. 抓大弃小()∞
∞
,
2. 无穷小与有界量乘积 (M α?) (注:1
sin 1,x x
≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):
(1)1
(0)x x
→; (2)()x e x →∞; 1
(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1
ln lim
1x x x x →-与0ln lim 1x x x
x →-) (2)幂指型处理: ()
()ln ()
()v x v x u x u x e
=(如: 1
11111
1(1)x x x x x
e
e e e
-++-=-)
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞
=(?分段函数)
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)()lim ()n x a f n f x →+∞
=?
(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →
(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >
2. 导数定义(洛必达?): 00lim
'()x f
f x x
→= 3. 积分和: 10112lim [()()()]()n n
f f f f x dx n n n n
→∞+++=?,
4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞
→+∞
+-=
5. 级数和(数一三):
(1)1
n n a ∞
=∑收敛lim 0n n a →∞
?=, (如2!
lim n n n n n →∞) (2)121
lim()n n n n a a a a ∞
→∞=++
+=∑,
(3){}n a 与11
()n n n a a ∞
-=-∑同敛散
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →
(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====?()()!!
n
n n
a a f x x x x n n α=
+ (2)0
()x
x
n f t dt
kt dt ??
2. 渐近线(含斜):
(1)()
lim ,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞→∞==-()
f x ax b α?++
(2)()f x ax b α=++,(1
0x
→)
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性)
八. [,]a b 上连续函数性质
1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ?<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ?=(根的个数); (2)()0(())'0x
a f x f x dx =?=?.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数: '()f x =0
()()
lim x f x x f x x
→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--
(1)0
()(0)'(0)lim
x f x f f x →-= (注:0()
lim (x f x A f x
→=连续)(0)0,'(0)f f A ?==)
(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;
(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+?= (1)可微?可导; (2)比较,f df ?与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数
1
'
dx dy y =
三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
(注: 0
()(),
x x F x f x x x a ≠?=?=?, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):
(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题);
(2)()()x
a F x f t dt =?, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x
b
b
a a a f x t dt f x t dt f t dt ???) (3)0
10
2(),
()x x f x y x x f x
≥?,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数) 3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y
dx dx
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =??=?
, 求:22,dy d y
dx dx
5. 高阶导()()n f x 公式: ()
()
ax n n ax
e a e =; ()1
1!
()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2
n n ax a ax n π=+?; ()(cos )cos()2
n n ax a ax n π
=+?
注: ()
(0)n f
与泰勒展式: 2012()n
n f x a a x a x a x =+++++
()(0)
!
n n f a n ?=
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)
2. 物理: (相对)变化率-速度;
3. 曲率(数一二
): ρ=
曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()
f x f x ≥?; '()0()
f x f x ≤?;
(2)分段函数的单调性
(3)'()0f x >?零点唯一; "()0f x >?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:
(1)表格('()f x 变号); (由0
002
'()'()''()
lim 0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x →→→≠≠≠?=的特点)
(2)二阶导(0'()0f x =)
注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)
(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥
*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥
(3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤?=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值 六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ?表格; (0"()0f x =)
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=?==
2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ?()()x
a F x f t dt =?
(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=?= (3)()
'()()()'()0()()
f x f
g f g F x g x ξξξξ-=?= (4)'()()()0f f ξλξξ+=?()()()x dx
F x e f x λ?
=;
3. ()()0()n f f x ξ=?有1n +个零点(1)()n f x -?有2个零点
4. 特例: 证明()()n f a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)
5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)
6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ?∈,[,]a b ξ?∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ??ξ?ξ)
2. 估计: '()f f x ξ=
九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011
()()'()()"()()"'()()2!3!
f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+
-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学 一. 基本概念: 1. 原函数()F x :
(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+? 注(1)()()x
a F x f t dt =?(连续不一定可导);
(2)()()()()x
x
a a x t f t dt f t dt f x -???? (()f x 连续) 2. 不定积分性质:
(1)(())'()f x dx f x =?; (())()d f x dx f x dx =? (2)'()()f x dx f x c =+?; ()()df x f x c =+? 二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性)
3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)
如: 211(),,ln ,
2dx
dx d ax b xdx dx d x a x =+==2= 4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,
,x t t t t x
====
(2)作用与引伸(化简x t = 5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()x
a x x f t dt ?); (2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax n
x e dx x
xdx ??
(3)特别:
()xf x dx ? (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)
6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x
dx a x b x
++?; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ??快速法; (3)()()n v x dx u x ?
三. 定积分: 1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*2
(0)8
a a π
>=
?; *()02
b
a
a b
x dx +-
=? (3)附:
()()b
a
f x dx M b a ≤-?
,
()()()b
b
a
a
f x
g x dx M g x dx ≤?
?)
(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分()()x
a x f t dt Φ=?的处理(重点)
(1)f 可积?Φ连续, f 连续?Φ可导
(2)(())'x
a
f t dt ?()f x =; (()())'()x
x
a
a
x t f t dt f t dt -=??; ()()()x
a
f x dt x a f x =-?
(3)由函数()()x
a F x f t dt =?参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 3. N L -公式: ()()()b
a f x dx F
b F a =-?(()F x 在[,]a b 上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()b
a f t dt ?的方程.
4. 变量代换: ()(())'()b
a f x dx f u t u t dt β
α=?? (1)00()()()a
a f x dx f a x dx x a t =-=-??,
(2)0()()()[()()]a
a
a
a a f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-??? (如:44
1
1sin dx x π
π
-+?)
(3)2201
sin n n n n I xdx I n
π
--==
?, (4)220
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=??; 20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=??, (5)0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
??,
5. 分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知'()f x 或()x
a f x =?时, 求()b
a f x dx ? 6. 附: 三角函数系的正交性: 四. 反常积分:
1. 类型: (1)(),
(),
()a
a f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
??
?
(()f x 连续)
(2)()b a f x dx ?: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断) 2. 敛散;
3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)
4. 特例: (1)1
1
p
dx x +∞?
; (2)101p dx x ?
五. 应用: (柱体侧面积除外) 1. 面积,
(1)[()()];b
a S f x g x dx =-? (2)1()d
c S f y dy -=?;
(3)2
1()2S r d βα
θθ=?; (4)侧面积
:2(b a S f x π=?
2. 体积:
(1)22[()()]b x a V f x g x dx π=-?; (2)12[()]2()d b
y c a V f y dy xf x dx ππ-==?? (3)0
x x V =与0
y y V =
3. 弧长
: ds =
(1)(),[,]y f x x a b =∈
b
a s =?
(2)12()
,[,]()
x x t t t t y y t =?∈?=?
21
t t s =?
(3)(),[,]r r θθαβ=∈
: s β
αθ=? 4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值(中值定理):
(1)1[,]()b
a
f a b f x dx b a =-?;
(2)0
()[0)lim
x
x f t dt f x
→+∞
+∞=?, (f 以T 为周期:0
()T
f t dt f
T
=
?)
第四讲: 微分方程 一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令()'""x x t y Dy =?=(如欧拉方程)
(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =?=?(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:
1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =
2. 变量分离型: '()()y f x g y = (1)解法: ()()()()dy
f x dx G y F x C
g y =?=+?
?
(2)“偏”微分方程:
(,)z
f x y x
?=?; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x += (1)解法(积分因子法): 00
()01
()[()()]()x
x p x dx
x x M x e y M x q x dx y M x ?=?=
+? (2)变化: '()()x p y x q y +=;
(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x
=Φ (1)解法: '(),()y
du dx
u u xu u x
u u x =
?+=Φ=Φ-??
(2)特例:
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且
N M
x y
??=?? 6. 一阶差分方程(数三): 1*
()()x x x x x n x
x y ca y ay b p x y x Q x b
+=?-=??=? 三. 二阶降阶方程
1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++
2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp
y p x y f x p dx
=?=
= 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp
y p y y p
f y p dy
=?== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:
(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+
(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=
(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()ax f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =?=-= 五. 应用(注意初始条件):
1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距
2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 ()(),()0x
a f x dx F x F a ==? 3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程
4. 变化率(速度)
5. 22dv d x
F ma dt dt
===
6. 路径无关得方程(数一): Q P
x y
??=?? 7. 级数与方程:
(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==
8. 弹性问题(数三)
第五讲: 多元微分与二重积分
一. 二元微分学概念
1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+
(2)lim ,lim
,lim y x x y f f
f f f x y
???==?? (3)2
2
,lim
x y f x f y df + (判别可微性)
注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例:
(1)22
(0,0)(,)0,
(0,0)xy
x y f x y ?≠?+=??=?
: (0,0)点处可导不连续;
(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?
: (0,0)点处连续可导不可微;
二. 偏导数与全微分的计算:
1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y =
注: (1)y x 型; (2)0
(,)x x y z ; (3)含变限积分
2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =
熟练掌握记号''"""
12111222,,,,f f f f f 的准确使用
3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??
=?
(存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)
2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)
(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ?=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).
(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题 四. 二重积分计算:
1. 概念与性质(“积”前工作): (1)D
d σ??,
(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;
(3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶 2. 计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +
附: 2
2
2
:()()D x a y b R -+-≤; 22
22:1x y D a b
+≤;
双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:
(1)单变量: ()f x 或()f y
(2)利用重心求积分: 要求: 题型12()D
k x k y dxdy +??, 且已知D 的面积D S 与重心(,)x y
5. 无界域上的反常二重积分(数三)
五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ
?ΩΩΓ∑?):
1. “尺寸”: (1)D D
d S σ???; (2)曲面面积(除柱体侧面);
2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;
3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.
第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. 级数概念
1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞
(如1
(1)!n n
n ∞
=+∑
) 注: (1)lim n n a →∞
; (2)n q ∑(或1
n
a ∑
); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞
=;
(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→; 二. 正项级数
1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n
S ; (3)收敛n S M ?≤(有界)
2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1
ln k
n n
∑ 3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln b a a b =) (1)比较法(原理):n p k a n
(估计), 如1
0()n
f x dx ?; ()()P n Q n ∑ (2)比值与根值: *1
lim
n n n
u u +→∞
*n 应用: 幂级数收敛半径计算)
三. 交错级数(含一般项): 1(1)n n a +-∑(0n a >)
1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1
lim
1n n n
a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散
2. 标准级数: (1)11
(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1
1(1)ln n p
n
+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?)
(1)前提: n a ∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论: 1(1)n n a +-∑条件收敛.
4. 补充方法:
(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→.
5. 注意事项: 对比 n a ∑; (1)n n a -∑; n a ∑; 2
n a ∑之间的敛散关系
四. 幂级数: 1. 常见形式:
(1)n n a x ∑, (2)0()n n a x x -∑, (3)20()n n a x x -∑ 2. 阿贝尔定理:
(1)结论: *x x =敛*0R x x ?≥-; *x x =散*0R x x ?≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ?=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n
n n a na x x n
∑∑
与n n a x ∑同收敛半径 (2)n n a x ∑与20()n n a x x -∑之间的转换 4. 幂级数展开法:
(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 35
11sin ,3!5!
x x x x R =-+-Ω= 24
11cos 1,2!4!
x x x R =-
++Ω=;
21
1,(1,1)1x x x x
=+++∈--;
21
1,(1,1)1x x x x
=-+-∈-+
(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021
,x x ax bx c
=++)
(3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)x
f x
g x dx f ?=+?
(4)考察原函数: 0
()
()x
g x f x dx ?
()'()f x g x ?=
5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑ (2)'()S x =
,(注意首项变化)
(3)()()'S x =∑,
(4)()"()"S x S x ?的微分方程
(5)应用:()(1)n n n n a a x S x a S ?=?=∑∑∑. 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用(数三):
(1)复利: (1)n A p +; (2)现值: (1)n A p -+ 五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)
1. 傅氏级数(三角级数): 01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数) (2)1
()[()()]2
S x f x f x =-++
3. 系数公式: 01()cos 1
(),,1,2,3,
1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ
π
π
ππππ
π--
-?=??=
=??=??
??
?
4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=
∈-(分段表示)
(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =
6. 附产品: ()f x ?01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. 向量基本运算
1. 12k a k b +; (平行b a λ?=)
2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a a
αβγ=
)
3. a b ?; (投影:()a a b b a
?=
; 垂直:0a b a b ⊥??=; 夹角:(,)a b a b a b
?=)
4. a b ?; (法向:,n a b a b =?⊥; 面积:S a b =?) 二. 平面与直线 1.平面∏
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=
(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=?+++= (3)其它: *截距式1x y z a b c
++=; *三点式 2.直线L
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000
:
x x y y z z L m n p
---== (3)一般方程(交面式): 11112222
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?
(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t
y b b b t t z c c c t
=+-??
=+-∈??=+-?
)
3. 实用方法:
(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点0
00(,)M x y 到平面的距离d =
(3)对称问题; (4)投影问题.
三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面
(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=? (或(,1)x y n z z =--) 2. 曲线
(1)形式()
:()()
x x t y y t z z t =??
Γ=??=?
, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?;
(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =?) 3. 应用
(1)交线, 投影柱面与投影曲线;
(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算. 四. 常用二次曲面 1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=
变形: 2222x y R z +=-
, z =,
2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= 3. 锥面
: z =
变形: 222x y z +=
, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,
变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy = 五. 偏导几何应用 1. 曲面
(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =?=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =?=-
(2)切平面与法线: 2. 曲线
(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===?= (2)切线与法平面 3. 综合: :Γ0
F G =??
=? , 12s n n =? 六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):
(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=? (2)计算(充分条件:可微):
cos cos cos x y z u
u u u l
αβγ?=++? 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y z
f f l
θθ??
=+? (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f
f f f l
θθθθ?=++?
2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G : (1)计算:
()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =?==; (2)结论 ()
a u
l
??0G l =?; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.
第八讲: 三重积分与线面积分(数一) 一. 三重积分(fdV Ω
???)
1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
大学高等数学所有公式大全.
大学高等数学公式 ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·平方关系： sin^2(α+cos^2(α=1 tan^2(α+1=sec^2(α cot^2(α+1=csc^2(α ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβ tan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα ·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t，其中 sint=B/(A^2+B^2^(1/2 cost=A/(A^2+B^2^(1/2 tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα cos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(α tan(2α=2tanα/[1-tan^2(α] ·三倍角公式： sin(3α=3sinα-4sin^3(α cos(3α=4cos^3(α-3cosα ·半角公式： sin(α/2=±√((1-cosα/2 cos(α/2=±√((1+cosα/2 tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα ·降幂公式
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
[实用参考]大学数学公式总结大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.360docs.net/doc/5c13880947.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
大学高数公式(考前必备)
大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学考试知识点
《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；
10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 二、一元函数微分学 考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径； 考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；
高数知识点公式大全
高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
大学高数三角函数公式大全
三角函数 1. 与（0°≤ ＜ 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： 终边在 x 轴上的角的集合： 终边在 y 轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在 y = x 轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系： 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ． 1 °＝≈ 0.01745 （ rad ） 3 、弧长公式：. 扇形面积公式：
4 、三角函数： 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异 于原点的）一点 P （ x,y ） P 与原点的距离为 r ，则 ； ； ； ； ； . . 5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6 、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sin x cos x tan x cot x sec x csc x r o x y a 的终边 P （x,y )正切、余切 余弦、正割 正弦、余割
8 、同角三角函数的基本关系式： 9 、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 (3) 若 o
考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（基本积 分表） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经
同济大学___高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
小学到大学所有数学公式
小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形
大学高数公式大全
高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C
三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u
高数部分知识点总结
1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法 则，对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型 的题目则是先转化为00 型或∞ ∞ 型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答 案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，
把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有 ?-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于 ? 2 )(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数 、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
高等数学公式(大学课程里面的) 非常全
高等数学公式 辛苦整理的，留给自强不息的朋友。 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数上册知识点
高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点) 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 : εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 :εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 +-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性； 4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)1 1(lim )1(lim 1 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221 ~cos 1x x - c) x e x ~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） e) x x αα ~1)1(-+ 二、 导数与微分