PID自适应控制学习与Matlab仿真

0 引言

在P ID控制中，一个关键的问题便是P I D参数整定。传统的方法是在获取对象数学模型的基础上，根据某一整定原则来确定PID参数。然而实际的工业过程往往难以用简单的一阶或二阶系统来描述，且由于噪声、负载扰动等因素的干扰，还可以引起对象模型参数的变化甚至模型结构的政变。这就要求在P I D 控制中。不仅PID参数的整定不依赖于对象数学模型，而PID参数能在线阐整，以满足实时控制的要求。

1 自适应控制的概念及分类

控制系统在设计和实现中普通存在着不确定性，主要表现在：①系统数学模型与实际系统间总是存在着差别，即所谓系统具有末建模的动态特性；②系统本身结构和参数是未知的或时变的；③作用在系统上的扰动往往是随机的，且不可量测；④系统运行中，控制对象的特性随时间或工作环境改变而变化，且变化规律往往难以事先知晓。

为了解决控制对象参数在大范围变化时，一般反馈控制、一般优控制和采用经典校正方法不能解决的控制问题。参照在日常生活中生物能够遏过自觉调整本身参数改变自己的习性，以适应新的环境特性。为此，提出自适应控制思想。

自适应控制的概念

所谓自适应控制是指对于控制对象的动态信息了解得不够充分对周围环境变化尚掌握不够明确的情况下控制系统对控制器的参数进行积极的自动调节。

自适应控制方法应该做到：在系统远行中，依靠不断采集控制过程信息，确定被控对象的当前实际工作状态，优化性能准则，产生自适应控制规律，从而实时地调整控制器结构或参数，使系统始终自动地工作在最优或次最优的运行状态下。

作为较完善的自适应控制应该具有以下三方面功能：

(1)系统本身可以不断地检测和处理理信息，了解系统当前状态。

(2)进行性能准则优化，产生自适应校制规律。

(3)调整可调环节(控制器)，使整个系统始终自动运行在最优或次最优工作状态。

自适应控制是现代控制的重要组成部分，它同一般反馈控制相比较有如下突出特点：

(1) 一般反馈控制主要适用于确定性对象或事先确知的对象，而自适应控制主要研究不确定对象或事先难以确知的对象。

(2) 一般反馈控制具有强烈抗干扰能力，即它能够消除状态扰动引起的系统误差，而自适应控制因为有辨识对象和在线修改参数的能力，因而能消除状态扰动引起的系统误差，而且还能消除系统结构扰动引起的系统误差。

(3) 一般反馈控制系统的设计必须事先掌握描述系统特性的数学模型及其环境变化状况，而自适应控制系统设计则很少依赖数学模型全部，仅需要较少的验前知识，但必须设计一套自适应算法，因而将更多地依靠计算机技术实现。

(4) 自适应控制是更复杂的反馈控制，它在一般反调控制的基础上增加了自适应控制机构或辨识器，还附加一个可调系统。

自适应控制系统的基本结构与分类

通常，自适应控制系统的基本结构有两种形式，即前馈自适应控制和反馈自适应控制。

1.2.1 前馈自适应控制结构

前馈自适应控制亦称开环自适应控制，它借助对作用于过程信号的测量。并通过自适应机构按照这些测量信号改变控制器的状态，从而达到改变系统特性的目的。没有“内”闭

环反馈信号而实现控制器参数是前馈自适应控制的突出特点。

图1 前馈自适应控制结构图

这种结构类似于一般扰动的复合控制，所不同的是增添了自适应机构和可调控制器。1950年，增益调度的前馈自适应控制方案被首次用于飞机。在此，增益被设计为可观测信号的前置量，以描述运行状态，被计算参数以特性曲线表的形式存储在计算机中，以便同控制器参数适配来控制运行状态。前馈自适应控制由于可预先知其过程状态和无须对可观测过程的输入和输出信号进行辨识。因此能够快速反应过程变化是该结构方案的优点。其缺点是，忽略了不可观测信号、干扰和意料之外的过程状态变化，且大量参数存储必须有许多操作，从而限制—厂该方法的使用。

1.2.2 反馈自适应控制结构

如果过程品质变化不能直接由外过程信号测量确定，则可采用图中控制方案。这是应用最广泛的自适应控制结构，其特点如下：

(1) 过程特性或信号变化可借助测量各内控制回路信号进行观测。

(2) 除基本回路反馈外，自适应机构还将形成附加反馈级。

(3) 闭环信号流通道能产生非线性第二反馈级。

图2 反馈自适应控制结构

1.2.3自适应控制系统的发展及应用

自适应控制系统的设计始终围绕着解决给定对象(过程)下，寻求控制方案和控制器的合理结构与参数，并考虑控制器远行于包括工作点的整个工作范围。对于确定性的控制对象常采用经典控制方案：开环控制、反馈控制、补偿控制和最优控制，控制器的结构和参数一般是固定的。对于不确定性的控制对象由于经典控制方案不能圆满解决控制任务而迫使人们寻求新的控制方案，并出现了可调控制器。

控制器参数的自动调整最早出现于1940年，当时的自适应控制仅被定义为控制器所具有的按照过程动态和静态特性调整本身参数的能力。在此期间，飞机自适应控制器的设计对自适应控制研究产生了巨大的影响。早在20世纪50年代未，由于飞行控制的需要，美国麻省理工学院(MIT)的怀特克(whztaker)教授首先提出了飞机自动驾驶仪的模型参考自适应控制方案，称为MIT方案。这时因现代控制理论向不成熟和计算机技术的限制。1957年用自动驾驶仪试验时随着飞机失事而失败。直到20世纪70年代，这一方法才重新兴起。

1960年至1970年间，控制理论(如状态空间和稳定性理论)得到了发展，从而为自适应控制设计提供了有效服务。并注入了新技术(对偶控制、白适应控制递推方法及模型辨识与

参数估计)。1962年首次成功地实现了利用过程计算机进行直接数字式控制。1963年罗马尼亚学者波被夫提出了超稳定性理论、随即法国学者兰道把这—理论引用到模型参考自适应控制中。在1966年德国学者帖克斯(Park)提出了用李雅普诺夫第二法推导自适应算法，以保证自适应系统全局渐进稳定。1973年由瑞典学者阿斯待罗姆和威特马克首先提出自校正调节器，并在造纸厂获得成功。此后，自适应控制技术真正转入成功实用阶段。1974年吉尔巴待和温斯顿(Gilbart and Wiston)利用模型参考自适应控制使一种光学跟踪望远镜精度提高了5倍以上，同年博里森和西丁(borrisom and Hedquist)在200kW的矿石破碎机中采用自校正控制，使产量提高约l0％，而且也改进了动态性能。

进入20世纪80年代后，随着数字机件性能价格比的迅速改善和微机脚用技术的个断提高、普及，自适应控制如鱼得水，更显示出了应用活力。1982年第一台工业数字式自适应拉制器进入市场；1986年约有15个公司出售工业过程数字自校正装置或自适应控制器。与此同时，自适应控制技术再度对航空、航天机器入、舰船驾驶以及现代武器系统产生了极大约吸引力，并获得了具体应用。在航空方面，自适应控制首次成功地解决了高性能飞机的自适应自动驾驶仪问题。除此，可借助鲁棒直接自适应控制重构故障后的飞行控制系统；利用飞行员自适应驾驶模型研究和预测新机飞行操纵品质，通过自适应控制技术实现空中飞行模拟和采用自校正控制技术设计飞机刹车防滑控制规律等。在航天领城内，自适应控制为飞船姿态调节和跟踪、卫星跟踪望远镜安装和使用，以及空间环境模拟等必不可少的关键技术。在高新技术密集的现代武器系统上，自适应控制是极其重要的一个方面。以导弹武器系统为例，可以说所有类型的导弹(无论是一般导弹或是遥控导弹，近距小型导弹还是中远程战术导弹)的自动驾驶仪都实现了自适应体制，而对于反舰导弹来说，应用自适应控制技术尤其具有特殊价值和意义。

2 PID自适应控制

PID控制是最早发展起来的控制策略之一。由于其算法简单、鲁棒性好，参数容易调整和可靠性高，而被广泛用于工业量测系统及工业过程控制，尤其适用于确定性控制系统，对于自适应控制系统亦是理想的控制器选择对象。近年来，出现了许多新型PID控制器，如参数自适应PID控制器，基于非参数模型的自适应PID控制器，是人们一直寻求PID控制器自动整定技术的结果，同时为自适应控制的实际应用开辟了新途径。

PID控制的原理和特点

PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。

PID控制器是一种具有固定结构形式的线性控制器，其原理如图3所示。

图3 PID控制器结构

比例控制（P）是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。它是按比例反应系统的偏差，系统一旦出现了偏差，比例调节立即产生调节作用用以减少偏差。

积分（I）控制使控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。积分作用的强弱取决与积分时间常数Ti。加入积分调节可使系统稳定性下降，动态响应变慢。

微分（D）控制器使输出与输入误差信号的微分成正比关系。在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，从而避免了被控量的严重超调。微分作用反映系统偏差信号的变化率，具有预见性，能预见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用，在偏差还没有形成之前，已被微分调节作用消除。

PID控制器的参数整定

PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID 控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。

PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行 PID控制器参数的整定步骤如下：

(1) 首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作；

(2) 仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；

(3) 在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。

3 PID自适应控制方法

PID自适应是一种可自动整定参数功能的控制器，能通过自身来完成控制参数的整定，不需要人工干预。早在20世纪70年代，Astrom等人首先提出了自适应调节器，以周期性地辨识过程模型参数为基础，并和以最小方差为控制性能指标的控制律结合起来，在每一采样周期内根据被控过程特性的变化，自动计算出一组新的控制器参数。

要实现PID自适应控制，首先要对被控制的对象有一个了解，然后选择相应的参数计算方法完成控制器参数的设计。据此，可将PID参数自整定分成两大类：辨识法和规则法。基于辨识法的PID自适应，被控对象的特性通过对被控对象数学模型的分析来得到，在对象数学模型的基础上用基于模型的一类整定法计算PID参数。基于规则的PID自适应，则是运用系统临界点信息或系统响应曲线上的一些特征值来表征对象特性，控制器参数由基于规则的整定法得到。

3. 1 辨识法

这类方法的本质是自适应控制理论与系统辨识的结合。为解决被控对象模型获取问题，Kalman首先将系统辨识的方法引入了控制领域。

辨识法适用于模型结构已知，模型参数未知的对象，采用系统辨识的方法得到过程模型参数，并和依据参数估计值进行参数调整的确定性等价控制规律结合起来，综合出所需的控制器参数；如果被控过程特性发生了变化，可以通过最优化某一性能指标或期望的闭环特性，周期性地更新控制器参数。

参数辨识可用不同类型的模型为依据。例如，附加有辅助输入的自回归移动平均模型(ARMAX) 、传递函数模型或神经网络指数模型等，而最常用的是低阶并等值于有纯滞后的离散差分模型。同样，可用不同的参数辨识方法估计模型参数，例如递推最小二乘法(RLS)、辅助变量法( IV)或最大似然法(ML)等。

在获得对象模型的基础上设计PID参数时常用的原理，经典的有极点配置原理、零极点相消原理、幅相裕度法等；现代的则往往借助于计算机，利用最优化方法或线性二次型指标等，寻找在某个性能指标下的控制器参数最优值。

极点配置法是Astrom在 Wellstead工作的基础上提出来的，它的出发点不是去极小化某一性能指标函数(如使输出误差方差最小)以使闭环控制系统达到预期的响应，而是通过对闭环系统的极点按工艺要求进行配置，来达到预期的控制目的。这种方法适用于二阶或二阶以下的对象，因为在用于二阶或二阶以下对象的情况时，由于在线辨识的参数不多，故能获得期望的动态响应。

零极点相消原理是由Astrom首先提出的，它的基本思想是利用调节器传递函数中的零极点抵消被控对象传递函数的某些零极点，从而使整个闭环系统工作在期望的状态上。采用零极点相消原理，要求过程必须是二阶加纯滞后对象，而且要求传递函数的分子项中常数项不为零。

幅相裕度法是利用幅值裕度和相角裕度整定PID参数，这能使系统具有良好的控制性能和鲁棒性能。Ho等在这方面作了许多工作，在他最新的研究中将幅相裕度法和性能指标最优设计相结合，给出了能同时满足系统鲁棒性和性能指标最优要求的PID参数整定公式。Ho还指出，在确定了幅值裕度(或相角裕度)的前提下，最优指标和相角裕度(或幅值裕度)间需要折衷处理，给出了在幅值裕度一定的情况下，使得ISE(误差平方积分)最小的相角裕度计算公式。

至于现代的PID参数设计法，如Nishikawa 等人提出的参数自动整定法，在控制器参数需要整定时，给系统一个小的不至于影响正常运行的干扰信号，以估计对象参数，然后运用ISE指标设计PID参数，一方面能使系统性能满足某些优化指标，但另一方面却可能因有些优化算法无解而带来问题。

这类基于辨识的参数自整定方法直观、简单，易于实现，已有众多的文献资料提供了有关模型辨识和控制器的设计方法，而且在过程控制及其参数校正方面不需要特定的经验，所以说它是比较容易开发的。但这并不意味着这种为设计者带来的优点就一定能够转变为用户的效益。因为与此方法相关联的一些问题，例如闭环辨识、时滞估计、测量噪声和干扰输入的抑制以及安全保护措施等，虽然已被了解，但并未得到有效解决。

仅在噪声影响方面，必须承认系统辨识对噪声是敏感的，当噪声超过一定强度时就可能得到不正确的辨识结果。如当数据被噪声所影响时，使用最小二乘法估计的ARMAX模型参数就将是有偏的。另外，在基于被控过程的数学模型求取控制器参数值时，关键是要较为精确地获得被控对象的数学模型，然而，辨识所得到的数学模型一般都含有近似的部分，不可能做到完全精确，这也对控制精度带来影响。再加上辨识工作量大，计算费时，不适应系统的快速控制，限制了这类方法的使用。

规则法

基于规则的自适应方法，根据所利用的经验规则的不同，又可分成采用临界比例度原则的方法、采用阶跃响应曲线的模式识别方法和基于模糊控制原理的方法等。

3. 2. 1 采用临界比例度原则的方法

早在1942年.和Nichols .就提出了临界比例度法，这是一种非常着名的工程整定法。它不依赖于对象的数学模型，而是总结了前人在理论和实践中的经验，通过实验由经验公式得到控制器的近似最优整定参数，用来确定被控对象的动态特性的两个参数：临界增益Ku 和临界振荡周期Tu。Ku和Tu是系统在纯比例控制器作用下产生等幅振荡时的比例增益和振荡周期P，PI，PID三种情况的参数整定值就是利用Ku，Tu由经验公式求得的。

为避免临界稳定问题，在求取Ku，Tu时可让系统作4∶1衰减振荡来代替临界等幅振荡，这也被称为衰减振荡法。

Astrom等人提出用继电特性的非线性环节代替 Z-N法中的纯比例控制器，使系统出现极限环，从而获取所需要的临界值。基于继电反馈的自动整定法避免了Z-N法整定时间长、临界稳定等问题，保留了简单的特点，目前已成为PID自适应方法中应用最多的一种，而且众多学者对该方法进行了深入的研究，提出了许多扩展改进的方法。

在获取了所需要的临界值的基础上，计算PID参数的方法有多种，运用Z-N法参数整定公式整定而得的PID参数在实际控制中往往会引起系统响应的超调量过大，振荡较为剧烈等不符合工艺要求的结果。针对Z-N法的这些不足，Hang C. C.等人提出了改进的Z-N法，改进的Z-N法定中引入了设定值权值和积分时间修正系数。Astrom和 Hagglund则提出了基于临界信息利用相幅裕度整定参数，在临界比例度原理上，结合 ISTE(时间和误差平方乘积积分)准则，给出了参数整定公式。

另外，由于临界点和Nyquist曲线上其他点之间存一定关系，所以应用Nyquist 曲线上其他点信息也可以获取临界点信息为基础]的自适应方法。

3. 2. 2 采用阶跃响应曲线的模式识别方法

模式识别的概念是由Bristol 首先提出的。模式识别的主要出发点是为了避开过程模型问题，用闭环系统响应波形上的一组能表征过程特性，而数据量尽可能少的特征量作为状态变量，以此作为设计通用的自整定方法的依据。在整定过程中，过程连接一个PID控制器，构成闭环系统，控制器参数根据实测的阶跃响应模式与理想响应模式的差别来进行整定在PID参数工程整定法中有一类整定法，是要据广义对象的时间特性来整定参数。这种方法通过分析对象开环或闭环阶跃响应曲线，提取如静态增益 K、上升时间 T等特征参数，然后基于这些特征参数按给定的性能指标整定PID参数。Coon-Cohen开环整定法就是在获取广义对象特性的基础上，在负载干扰下并采用多种性能指标，如4∶1衰减、最小余差和最小积分平方误差( ISE) ，综合出参数整定法。

从原理上看，这种方法与模式识别法有异曲同工之处。这样获取对象特性参数的方法虽然简单易行，但怎样确定反应曲线上的斜率最大处，通过该处的切线该如何画等问题还有待于解决，同时，这种方法近似程度太大，过于粗，这些都会给自适应带来极大的误差。3. 2. 3 基于模糊控制原理的方法

将模糊控制与常规的 PID控制相结合，用模糊控制器实现PID参数的在线自适应，就构成了模糊式PID自适应控制器。模糊控制器用以实现 PID参数自适应的方法有两种：一种直接将模糊控制器构造成具有PID控制功能，另一种则用模糊监督器完成PID参数的在线修正。

将模糊控制器构造成具有PID功能，这种形式学者们研究得比较多，提出了许多种结构形式，如三维模糊 PID、模糊PI +传统D、模糊PD +传统I、模糊P +传统ID、并行模糊PD +模糊PI、串行模糊PD +模糊 PI、并行模糊P +模糊I +模糊D等等，这些都是非线性PID控制器。这类控制器还可以进一步通过调整量化因子、比例因子来类似于 PID三参数在线自适应。

至于用模糊控制器作为监督机构调整 PID控制器的参数，一般是根据比例系数、积分

时间和微分时间对误差及误差变化的不同作用，由误差及误差变化来调整参数；也可以由误差及响应时间来调整参数，如此便于充分考虑在响应的不同时段三参数所起的不同作用；另外，也可用响应曲线上的其他特征量来调整PID 参数。

4一种自适应PID 控制算法推导与仿真

考虑具有如下传递函数G 0 (s ) 和 PI D 控制 D (s )的对象

012()(1)(1)

Ke G s T s T s τ-=++，1()(1)p d i D s K T s T s =++ （1）其中12p T T K k τ

+=，12i T T T =+，1212T T Td T T =+。采用单位负反馈控制时，它可以在保持原有传递滞后的情况下达到输出无偏差。

设采样周期

T T1 ，T 2 ，可近似采用后向差分变换11(1)s z T --=-及t L e z τ--=，L=τ/T+。于是由

02212121()1

s L s

Ke be G TT S T T s s a s a ττ--==+++++ （2）其中1211212121,,T T K a a b TT TT TT +===，其Z 变换为201201

z G z z z θθθ-----（）=。设22101121,2/,1/,/,f a T aT a T f f bT f θθθ=++=

+=-=（）于是 12012()(1)()Y z z z u k L θθθ----=- （3a ）

再进行z 反变换，则得到对象的离散化形式为

012()(1)(2)().y k y k y k u k L θθθ=-+-+- （3b ）

设S 为设定值，e (k )=S －y (k )，连续PID 控制算法可离散化为

0(){()()[()(1)]}k d p i i

T T u k K e k e i e k e k T T ==++--∑。设()(),()2d d p p i T T T A k K B k K T T T

=-++=+。对L=1，记 2()()()()[(1)()](1)u k u k A k y k A k B k y k =---+-；

对L=2，记 2()()()()u k u k A k y k =-；

对L>2，记 2()()u k u k =

代入（3）式，有

对L=1，021222()[(1)](1){[(2)(1)]}

y(k-2)+u (k-1);y k A k y k A k B k θθθθθ=+--++-+-

对L=2，01222()(1)[(2)](2)(2)y k y k A k y k u k θθθθ=-++--+-

对L>3，0122()(1)(2)()y k y k y k u k L θθθ=-+-+-

统一记作 0,1,22()(1)(1)()L L y k y k y k u k L θθθ=-+-+-

易见2()u k 的阶数远大于对象的阶数，所以在闭环状态下，对象(3b)的参数是可辨识的。对不同的L 进行参数辨识，得到的估计参数记为0,L θ∧，1,L θ∧，2θ∧

，进一步可以得到如下的第K 次估计参数：对，L=1，有0,12???(1)A k θθθ=--，11,12

???[(2)(1)]A k B k θθθ=--+-；对L=2，有00,2θθ=，11,22

???(2)A k θθθ=-- 对L>3，有00,??L θθ=，11,??L

θθ= 再由(012,,θθθ) 与(a 1，a ，b) 及 (,,p i d K K K ) 之间的关系式，可以得到如下第K 次估计值：

0111??[2]?a ()?k T θθθ-+=，0121??1?()?a k T θθθ+-=，221

??()?b k T θθ= 012??2?()?p K k L θθθ+=，0101??(2)?()??1i T T k θθθθ+=--，1d 1

??()=??2c T T k θθθ-+ (4) 仿真结果

例1考虑如下式模型为

0.4021()()()()

b t e G s s a t s a t -=++ 其中1()30.002a t t =-，() 1.50.0015a t t =+，() 1.920.001b t t =+。取周期为60的方波，按(4)式采用静态PID 参数Kp=4，Ti=，Td=，其初始为图(a )令人满意；当t=920秒时，由于模型参数变化，系统已变为二阶震荡系统，状态图1(b)已处于震荡状态；当采用自适应PID 参数，其初始为图2( a)，当运行到f =920秒时，由于PID 参数已调整为Kp=，Ti=，Td=，其运行状态为图2( b)，令人满意。这说明算法对一般的二阶系统有效。

…

(a)(b)

图4 静态PID参数仿真图

…

(a)(b)

图5 自适应PID参数仿真图

参考文献

[1] 刘兴堂.应用自适应控制[M]. 西安：西北工业大学出版社..

[2] 韩曾.自适应控制系统[M].北京：机械工业出版社..

[3] 赵建华,沈永良. 一种自适应 PID控制算法[J]. 自动化学报,第27卷,第3期

2001(5):417-420

[4] 王伟,张晶涛,柴天佑.PID参数先进速写方法综述[J].自动化学报,第26卷第3期2000

（5）：347-355

[5] 李自强，薛美盛.用于PlD参数自整定的性能指标仿真研究[J].自动化仪表,2009（2）：

30-33

[6] 夏红,赏星耀,宋建成.PID参数自整定方法综述[J]. 浙江科技学院学报,第15卷第4

期 ,2003年12月:237-240

[7] 王正林,王胜开,陈国顺.MATLAB/Simulink与控制系统仿真[M].北京：电子工业出版社.