离散数学第10章习题答案
第10章习题答案
1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈V
v v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得∑∈V
v v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，
其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。
2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。由握手定理知
∑=n
k k
v d 1
)(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。
3. 解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=n
i i d 1
≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、
(3)、(5)能构成无向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。
(5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、
3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于
是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。
4.证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。
5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。
6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。
(1)(3)(5)
(6)
(9)(10)
(13)
(14)
(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。
7. 解 (1)五个结点的图G 与它的补图G 如图所示。对G 与G 建立双射：1v →1v ，2v →2v ，3v →3v ，
4v →4v ，5v →5v 。显然这两个图保持相应点边之间的对应的关联关系，故G ?G 。因此，G 是五个结点的
自补图。
(3)设图G 是自补图，有m 条边，G 对应的完全图的边数为s ，则G 对应的补图G 的边数为s －m 。因为G ?G ，故边数相等，即有m ＝s －m ，s ＝2m ，因此G 对应的完全图的边数s 为偶数。
(2)由(3)知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图n K 的边数为2
1n (n －1)，当n ＝3或n ＝6时，n K 的边数为奇数，因此不存在三个结点或六个结点的自补图。
(4)设G 为n 阶自补图，则需2
1n (n －1)能被2整除，因此n 必为4k 或4k ＋1形式。
8.解 由G 的补图G 的定义可知，G ∪G 为n K ，由于n 为奇数，所以n K 中各顶点的度数n －1为偶数。对于图G 的任意结点v ，应有v 也是G 的顶点，且)(v d G ＋)(v d G ＝)(v d n K ＝n －1，由于n －1为偶数，所以)(v d G 和)(v d G 奇偶性相同，因此若G 中有r 个奇数度结点，则G 中也有r 个奇数度结点。
9.画出4阶无向完全图K 4的所有非同构的生成子图，并指出自补图来。
（1）（2)G
G
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解 下图中的11个图是K 4的全部的非同构的生成子图，其中(7)为自补图。 10.
证明 由握手
定理的推论可知，G 中5度结点数只能是0、2、4、6、8五种情况（此时6度结点数分别为9、7、5、3、1）。以上五种情况都满足至少5个6度结点或至少6个5度结点的情况。
11.证明 设G 为任一3度正则图，有n 个结点1v 、2v 、…、n v ，则所有结点度数之和∑=n
i i
v d 1
)(＝3n 。
若n 为奇数，则3n 也为奇数，与握手定理矛盾。故n 为偶数。
12.证明 若G 中孤立结点的个数大于2，结论显然成立。若G 中有1个孤立结点，则G 中至少有3个结点，因而不考虑孤立结点，就是说G 中每个结点的度数都大于等于1。又因为G 为简单图，所以每个结点的度数都小于等于n -1。因而G 中结点的度的取值只能是1，2，…，n -1这n 个数。由抽屉原理可知，取n -1个值的n 个结点的度至少有两个是相同的。
13. 解 (1)从a 到d 的所有基本路共有10条：abd ，abcd ，abed ，abced ，abecd ，afed ，afecd ，afebd ，afebcd ，afecbd 。
(2)从a 到d 的所有简单路共有14条：除（1）中的10条外还有abcebd ，abecbd ，afebced ，afecbed 。 (3)长度最小的基本回路共4个：bceb ，bdeb ，cdec ，bcdb 。长度最大的基本回路共1个：abdcefa 。 (4)长度最小的简单回路共4个：bceb ，bdeb ，cdec ，bcdb 。长度最大的简单回路2个：abcebdefa ，afebcedba 。
(5)从a 到d 的距离为2。
(6)γ(G )＝2，λ(G )＝2，δ(G )＝2，?(G )＝4。
14. 解 (1)d +
(a )＝2，d -(a )＝1，d +
(b )＝1，d -(b )＝2，d +
(c )＝1，d -(c )＝1，d +
(d )＝2，d -
(d )＝2，d +
(e )＝1，d -(e )＝1。
(2)从a 到d 的基本路2条：ad ，abd 。从a 到d 的简单路5条：ad ，abd ，adcbd ，adead ，adeabd 。 (3)基本回路共3个abdea ，adea ，bdcb .简单回路共4个：abdea ，adea ，bdcb ，adcbdea 。 15. 证明 (1)设无向图G 中只有两个奇数度结点u 和v 。从u 开始构造一条回路，即从u 出发经关联结点u 的边1e 到达结点1u ，若)(1u d 为偶数，则必可由1u 再经关联1u 的边2e 到达结点2u ，如此继续下去，每条边只取一次，直到另一个奇数度结点为止，由于图G 中只有两个奇数度结点，故该结点或是u 或是v
。
如果是v ，那么从u 到v 的一条路就构造好了。如果仍是u ，该回路上每个结点都关联偶数条边，而)(u d 是奇数，所以至少还有一条边关联结点u 的边不在该回路上。继续从u 出发，沿着该边到达另一个结点'1u ，依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样经过有限次后必可到达结点v ，这就是一条从u 到v 的路。
(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达不一定成立。下面有向图中，只有两个奇数度结点u 和v ，u 和v 之间都不可达。
16.证明 设无向图G 是不连通的，其k 个连通分支为1G 、2G 、…、k G 。任取结点u 、v ∈G ，若u 和
v 不在图G 的同一个连通分支中，则[u ，v ]不是图G 的边，因而[u ，v ]是图G 的边；若u 和v 在图G
的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支i G （1≤i ≤k ）中，在不同于i G 的另一连通分支上取一结点w ，则[u ，w ]和[w ，v ]都不是图G 的边，，因而[u ，w ]和[w ，v ]都是G 的边。综上可知，不管那种情况，u 和v 都是可达的。由u 和v 的任意性可知，G 是连通的。
17. 证明 充分性：若连通图G 中存在结点u 和w ，使得连接u 和w 的每条路都经过e ，则在子图G －{e }中u 和w 必不可达，故e 是G 的割边。
必要性：若e 是G 的割边，则G －{e }至少有两个连通分支G 1＝
e ，即u 和w 之间的任意路必经过e 。
18.证明 先证任一结点至少位于一个单向分图中。
任给一结点v ，若v 是孤立结点，则含v 的平凡图即为单向分图。若v 不是孤立结点，则必有一个结点u ，使得u 与v 有一弧e 与它们联结。此时若有单向分图>=<111,E V G ，|1V |≥3，使u ，v ∈1V ，且e ∈1E ，那么结论成立；若不存在这样的1G ，则由u ，v 和e 就构成一个单向分图。因此，任何结点至少位于一个单向分图中。
其次证明，任何一条弧至少位于一个单向分图中。
任给一弧e ，其关联的结点u 和v 。若存在一单向分图>=<111,E V G ，|1V |≥3，使u ，v ∈1V ，且e ∈1E ，那么结论成立。否则，u ，v 和e 就构成一个单向分图。综上可知，任一弧至少位于一个单向分图中。
19.证明 显然任一结点和任一弧都位于一个弱分图中。
假设有一结点v 位于两个不同的弱分图>=<111,E V G 和>=<222,E V G 中，即v ∈1V ∩2V 。由于略去弧的方向后，1V 中所有结点与v 可达，2V 中所有结点也与v 可达，故1V 与2V 中所有结点可达，这与
1G 和2G 为弱分图矛盾，故任一结点不可能包含于不同的弱分图中，即任一结点能且只能位于一个弱分图
中。
假设一弧e 位于两个不同的弱分图中，该弧e 所关联的两个结点也位于两个不同的弱分图中，这是不
v
可能的，因此任一弧也只能位于一个弱分图中。
20. 解
图中得（a ）为强连通图；（b ）为单向连通图但不是强连通图；（c ）是弱连通图但不是单向连通图，当然更不是强连通图。
21.证明 充分性。
给定有向图D ＝
2v ，…，1-n v ，n v }，E ＝{1e ，2e ，…，1-n e }?E ，边i e （1≤i ≤n －1）以i v 为起点，以1+i v 为终点。任给
两个结点l v 、m v ∈V ，不妨设l ＜m ，则l v l e 1+l v …1-m e m v 就是从结点l v 到m v 的路，故D 是单向连通的。
必要性。
对结点数v 进行归纳。
当v ＝1或2时，单向连通图显然有一条经过每一个结点的路。
设v ＝k 时，有一条经过每一个结点的路1v 2v …p v ，其中结点可能有重复，这条路的下标只表示该路所经过结点的次序，显然k ≤p 。
当v ＝k ＋1时，取一结点u ，在图中删去结点u ，使D －{u }还是单向连通图。根据归纳假设，D －{u }有一条经过每一个结点的路1v 2v …p v 。令i ＝max{s |s v 到u 有路}，j ＝min{s |u 到s v 有路}。假如j ＞
i ＋1，则必有t 满足i ＜t ＜j 。由于图D 是单向连通的，t v 与u 之间必有路。如果该路是从t v 到u ，则与i
＝max{s |s v 到u 有路}矛盾。如果该路是从u 到t v ，则与j ＝min{s |u 到s v 有路}矛盾。故而j ＞i ＋1不可能，只能是j ≤i ＋1。当j ＝i ＋1时，有经过每个结点的路1v 2v …i v …u …1+i v 2+i v …p v 。当j ≤i 时，有经过每个结点的路1v 2v …j v …i v …u …j v …i v 1+i v …p v 。
22.证明 设e 为图G 的第个连通分支i G 的一条边。
若e 不是i G 的割边，则i G －e 仍然连通，因而G 的连通分支数不变，即
ω(G )＝ω(G －e ) （1）
若e 是i G 的割边，则i G －e 有且仅有两个连通分支，因而G －e 比G 多一个支连通分支，即
ω(G )＋1＝ω(G －e ) （2）
由（1）和（2）可得ω(G )≤ω(G －e )≤ω(G )＋1。
23.证明 （1）首先证明n －p ≤m 。对边数m 做归纳法。m ＝0时，G 为零图，p ＝n ，n －p ＝0，此时结论显然成立。
设m ＜k （k ≥1）时结论成立，要证m ≥3时结论成立。在G
中找一个边割集，不妨设这个边割集中
（a ） （b ） （c
）
的边为1e ，2e ，…，l e （l ≥1），设G 1＝G －{1e ，2e ，…，l e }，则G 1的连通分支数为p ＋1，边数为m 1＝m －l （l ≥1），由归纳假设得n －（p ＋1）≤m －l ＝m －1，于是n －p ≤m 。
（2）再证m ≤(n －p )(n －p ＋1)/2。为证明此不等式，不妨设G 的各连通分支都是完全图，因为在这种情况下边数最多。而在l －1个连通分支都是完全图的情况下，又以p －1个为1K （平面图），一个n －p ＋1阶完全图1+-p n K 时边数最多，此时的边数为(n －p )(n －p ＋1)/2。为此只需证明下面事实：设i n K 和
j n K 是G 的两个连通分支（i n ≥j n ≥1）。用1+i n K 和1-j n K 分别代替i n K 和j n K ，所得图的结点数和连通分
支数没变，但边数增加了。证明如下：
(
21i n (i n ＋1)＋2
1(j n －1)(j n －2))－(
21i n (i n －1)＋2
1
j n (j n －1))＝i n －j n ＋1＞0 综上所述就证明了结论。
24.证明 必要性。设G 是强连通的，此时若从S 到V －S 没有有向边，则S 中的任一结点u 到V －S 中的任一结点v 均没有有向路，从而与G 是强连通的矛盾。所以从S 到V －S 至少有一条有向边。故G 是1边连通的。
充分性。设G 是1边连通的。任意u 、v ∈V ，{u }到V －{u }至少有一条边，设为uu 1，而{u ，u 1}到V －{u ，u 1}至少有一条边uu 2或u 1u 2。无论那种情况都有从u 到u 2的有向路。因G 中结点有限，所以通过如上递归地求解，一定有u 到v 的有向路。故G 是强连通的。
25.证明 不妨设G 是无向连通图（若G 为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。 设G 中结点为1v 、2v 、…、n v 。由连通性，必存在与1v 相邻的结点，不妨设它为2v （否则可重新编号），连接1v 和2v ，得边1e ，还是由连通性，在3v 、4v 、…、n v 中必存在与1v 或2v 相邻的结点，不妨设为
3v ，将其连接得边2e ，续行此法，n v 必与1v 、2v 、…、1-n v 中的某个结点相邻，得新边1-n e ，由此可见G
中至少有n －1条边。
26.解 下图满足条件但不连通。
27.解 一个n 阶连通图G 为树时割点最少，只有一个；为完全图时割点最多，有n －1个。 28.解 设E 为元素全为1的n 阶矩阵，I 为阶单位矩阵，于是K n 的邻接矩阵为A ＝E －I 。K n 中长度为k 的路的数目由决定k A 。
由于k
A ＝(E －I )k
＝
∑=--k
i i
k
i
k C I E 0
)
(＝∑=---+-k
i i
k i i
k k
C n E
I 1
1)
1()1(＝E n n
I k k k ])1()1[(1)1(---+-
所以，???
????
≠---=---+-=j i n n j i n n a k k k k k k ij
])1()1[(1])1()1[(1)1()
(。
29. 解 (1) 求D 的邻接矩阵为：
??
?
?
?
?
?
?
?=0100100001000121A
且有
???????
?
?=010000100100013
21
2A ??
?
???
?
??=0100100
0010034213A ???
?
??
?
??=100001001000462
14
A (2)由4A 中4)
4(14=a 可知，
D 中v 1到v 4长度为4的路有4条，分别为：1e 1e 4e 6e 、4e 6e 7e 6e 、1e 2e 5e 6e 、1e 3e 5e 6e 。
(3)由3A 中1)3(11=a 可知，D 中v 1到自身长度为3的回路只有1条，为1e 1e 1e 。
(4)D 中长度为4的路总数为
16414
1
)
4(=∑∑==i j ij
a
，其中对角元素之和为3，说明长度为4的回路为3条。
(5)D 中长度小于等于4的路总数为A 、2A 、3A 、4A 中全体元素之和：7＋10＋13＋16＝46，其中回路数为：1＋3＋1＋3＝8。
(6)由??
?
?
?
?
?
?
?=+++=220022002200
814844324A A A A B 可知，D 是单向连通图。
30. 解 (1)求G 的邻接矩阵为：
??
?
?
?
?
?
?
?=0010101011001010
A
(2)由于
??
?
???
?
?
?=1100111010201110
2A
???
????
??=102021202210212
03A ???
?
??
?
?
?=221032303140323
04
A 所以v 1到v 4长度为1、2、3和4的路的个数分别为1、1、2、3。 (3)由于
???
????
?
?=3120110021300000
A A T ???
?
??
?
?
?=120112*********
2T
AA 再由定理10.19可知，所以A T A 的第(2，2)元素为3，表明那些边以2v 为终结点且具有不同始结点的数目为3，其第(2，3)元素为0，表明那些边既以2v 为终结点又以3v 为终结点，并且具有相同始结点的数
目为0。AA T 中的第(2，2)元素为2，表明那些边以2v 为始结点且具有不同终结点的数目为2，其第(2，3)元素为1，表明那些边既以2v 为始结点又以3v 为始结点，并且具有相同终结点的数目为1。
(4)因为=+++=4324A A A A B ???????
?
?001010101100
1010+
???????
??1100
1110
1020
1110
+
???????
??1020
2120
2210
2120
+
=
??
?
?
?
?
?
??2210
3230
3140
3230
??
?
?
?
?
?
?
?4340747074701470
，所以
求可达矩阵为??
?
?
?
?
?
??=111011101110
1110
P 。
(5)因为=∧T P P ??
????
?
?
?111011101110
1110
∧???????
??111111111111
0000
＝??
?
?
?
?
?
?
?111011101110
0000
，所以{1v }，{2v ，3v ，4v }构成G 的强分图。
31. 解 (1)n （n 为偶数，且n ≥2）阶圈都是偶数个顶点，偶数条边的无向欧拉图。 (2)n （n 为奇数，且n ≥1）阶圈都是奇数个顶点，奇数条边的无向欧拉图。
(3)在(1)中的圈上任选一个顶点，在此顶点处加一个环，所得图为偶数个顶点，奇数条边无向欧拉图。 (4)在(3)中的圈上任选一个顶点，在此顶点处加一个环，所得图为奇数个顶点，偶数条边无向欧拉图。 32.解 (1)n （n ≥3）阶圈，它们都是欧拉图，又是哈密尔顿图。
(2)给定k （k ≥2）个长度大于等于3的初级回路，即圈1C ，2C …，k C 。将1C 中某个顶点和2C 中的某个顶点重合，但边不重合，2C 中某个顶点和3C 中的某个顶点重合，但边不重合，续行此法，直到将1-k C 中某个顶点和k C 中的某个顶点重合，但边不重合，设最后得到的连通图为G ，则G 是欧拉图，但不是哈密尔顿图。
(3)在n （n ≥4）阶圈中，找两个不相邻的顶点，在它们之间加一条边，所得图是哈密尔顿图，但不是欧拉图。
(4)在(2)中的图中，设存在长度大于等于4的圈，比如1C ，在1C 中找，两个不相邻的顶点，在它们之间加一条边，然后按照（2）的方法构造图G ，则G 既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图。
33.解 (1)一般情况下，我们不考虑1K 。n （n ≥2）为奇数时，无向完全图K n 是欧拉图。K n 各结点的度均为n －1，若使K n 为偶拉图，n －1必为偶数，因而必n 为奇数。K 2仅存在欧拉路而不存在欧拉回路。
(2)设s r K ,为完全二部图，当r 、s 均为偶数时，s r K ,为欧拉图。
(3)设W n （n ≥4）为轮图，在W n 中，有n －1个结点的度数为3，因而对于任何取值的n （n ≥4），轮图W n 都不是欧拉图。
34.证明 设1C 为K 9中一条哈密尔顿回路。令1G 为K 9删除1C 中全部边之后的图，则1G 中每个结点的度均为6。由定理10.26可知1G 仍是哈密尔顿图，因而存在1G 中的哈密尔顿回路2C （显然2C 也是K 9中的哈密尔顿回路，并且1C 与2C 无公共边）。再L 设2G 为1G 中删除2C 中的全部边后所得图，2G 为4正则图。
由定理10.26可知
2
G具有哈密尔顿通路。设L为2G中的一条存在哈密尔顿通路，显然1C、2C、L无公共
边。
事实上，可以证明在K9中存在4条边不重的哈密尔顿回路。
可以证明：在K3中存在一条边不重合的哈密尔顿回路，K5中存在两条边不重合的哈密尔顿回路，K7中存在3条边不重合的哈密尔顿回路，一般情况下，K2k+1(k≥1)中最多可存在条边不重合的哈密尔顿回路。
35.解用a、b、c、d、e、f、
g 7个结点代表7个人，若两人能
交谈（会讲同一种语言），就在代
表它们的结点之间连无向边，所得
无向图如下图（1），此图中存在哈
密尔顿回路：，如图（2）粗边所示，
于是按图（3）所示的顺序安排座位
即可。
36.证明由定理10.26可知D中存在哈密尔顿通路，设D为n（n≥3）阶竞赛图，
1
v2v…n v为中的
一条哈密尔顿通路，若边<
n
v，1v>在D中，则1v2v…n v1v为D中一条哈密尔顿回路，故D为哈密尔顿图。
否则边<
1
v，n v>在D中，将改变方向得到边
37.证明若n≥2
1-
m
C＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。
若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝∑
∈V
w
w
d)
(＜m＋(m－2)(m－3)＋m＝m2
－3m＋6，与（1）矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m。由定理10.26可知，G是哈密尔顿图。
38.证明若G中有割点v，则G－{v}中至少有两个连通分支，从而ω(G－{v})＞|{v}|，由定理10.25可知，G不是哈密尔顿图。
若G中有割边e，当G只有两个结点时，显然G不是哈密尔顿图。当G的结点数多余2时，从G中删除割边e之后至少有两个连通分支，其中一个连通分支含有割边e的一个端点v且其结点个数大于1，于是ω(G－{v})＞|{v}|，由定理10.25可知，G不是哈密尔顿图。
39.解可能。依题意，若用结点代表人，两人是朋友时相应结点之间连一条边，则得到一个无向图G＝
由于对任意u、v∈V，有d(u)＋d(v)≥10＋10＝20，根据定理10.26，G为哈密尔顿图，G中存在哈密尔顿回路，按此回路各点位置入席即为所求。
40.证明由握手定理的推论可知，k是偶数。对k做归纳法。
(1)当k＝2时，由定理10.22可知，G中存在偶拉路，结论得证。
(2)设k≤2r（r≥2）时结论成立，要证k为2r＋2时结论成立。
设1v ，2v 为G 中任意二奇度结点，由G 的连通性可知，从1v 到2v 存在路径0P ，删除0P 上的全部边，得连通分支1G ，2G ，…，s G 。这些连通分支共含2r 个奇度结点，设i G 中含i r 个奇度结点，则2i r ≤2r （1≤r ≤s ），且
∑=s
i i
r 1
2＝2r 。由归纳假设可知，i G 中存在i r 条边不重合的简单通路，它们含i
G 中的所有边。
于是G 中共含1＋1r ＋2r ＋…＋s r ＝1＋r ＝
2
k
条边不重合的简单通路，它们含G 中的全部边。 41. 解 设.甲、乙、丙、丁四位教师分别用1v 、2v 、3v 、4v 表示，1V ＝{1v ，2v ，3v ，4v }，数学、物理，电工和计算机原理四门课分别用1u 、2u 、3u 、4u 表示，2V ＝{1u ，2u ，3u ，4u }。若i v 能教j u ，令∈E 。所作图G ＝
方案。
42.解 7个位读者分别用1v 、2v 、…、7v 表示，1V ＝{1v ，2v ，…，7v }，7个题目分别用1u 、2u 、…、
7u 表示2V ＝{1u ，2u ，…，7u }。若i v 为j u 做解答，令∈E 。所作图G ＝
二部图。由已知条件可知1V 中每个结点关联两条边，中每个结点也关联两条边，即G 满足t ＝2的“t 条件”，所以存在1V 到2V 的完备匹配，又因为|1V |＝|2V |，因而对于任意的1V 到2V 的完备匹配M ，不存在M -非饱和点，故M 也是完全匹配。即使得7个题目的7个解答分别由7个读者给出是办得到的。
43.证明 设|V 1|＝m 1，则|V 2|＝m －m 1，于是n ≤m 1(m －m 1)＝m 1m －2
1m 。因为0)2
(21≥-m m
，即
2
1
124
m mm m -≥，所以n ≤m 2/4。 44.证明 1)不妨设G 是连通的，否则可以对它的每个连通分支进行讨论（因为每个连通分支均满足条件）。因而由偶拉公式有
n －m ＋r ＝2， （1）
又由已知条件得r ＜12且n ≤3
2m ， （2） 将（2）其代入（1）得2＜32m －m ＋12，m ＜30。 （3） 若所有的面均至少由5条边围成，则
5r ≤2m ，r ≤5
2m ， （4）
1234
u
将（2）、（4）代入（1）得
2≤3
2
m －m ＋5
2m ，m ≥30。 （5） （3）与（5）是矛盾的，因而必存在至多由4条边围成的面。
2)十二面体图有12个面，每个结点均为3度，每个面由5条边围成，并没有4条边围成的面。 45.解 在每个区域放一个结点，当两区域相邻时就在相应的两个结点之间连一条线，如此构造了一个平面图且是完全图βK ，而最大的平面完全图为4K ，所以β最大为4。
46.证明 反证法。设G 为非连通的，具有k ≥2个连通分支1G ,2G ,…,k G 。设i G 的结点数为i n ，边数为i m ，i ＝1，2，…，k 。
若存在j n ＝1，则k 必为2，因为只有此时G 为一个平凡图并上一个6K 才能使其边数为15，可是6K 不是平凡图，这矛盾于G 为平面图这个事实，所以不存在j n ＝1。
若存在j n ＝2，j G 中至少有一条边（因为G 为简单图），另外5个结点构成5K 时边数最多，但充其量为10条边，这与G 有15条边矛盾。
综上所述，i n 必大于等于3，i ＝1，2，…，k 。由定理10.37可知，i m ≤3（i n －2）＝3i n －6，i ＝1，2，…，k 。求和得
m ≤3n －6k （1）
将n ＝7,m ＝15代入（1）得15≤21－6k ，于是k ≤1，这与k ≥2矛盾。 至此证明了G 必为连通图。
47.解 不妨设G 是连通的，否则因为它的每个连通分支的边数都应小于30，因此可对它的每个连通分支进行讨论，所以可设G 是连通的。
若G 中无回路，则G 必为树，结论显然成立。若G 中有回路，由于G 为简单图，因而G 中每个面至少由3个边围成，由定理10.37有m ≤3n －6。
下面用反证法证明结论。若不然，G 中所有结点的度数均大于等于5，由握手定理可知2m ＝
∑=n
k k
v d 1
)
(≥5n ，所以n ≤5
2m ，将其代入m ≤3n －6得m ≤3×5
2m －6，于是m ≥30，与m ＜30矛盾，所以一定存在结点v 使得d (v )≤4。
48.解 设G 的各面的边界长度之和为T 。G 的每条边在计算T 时，均提供2，又因为G 的平面图G ' 的每个面至少由f 条边围成，所以f r ≤T ＝2m 。又因为r ＝k ＋1＋m －n ，将其代入f r ≤2m 得f (k ＋1＋m －n )≤2m ，整理得m ≤
2
-f f
(n －k －1)。 49.证明 显然G *
是连通图，设*v 为G *的任一结点，*v 位于G 的面R 中，由于R 由偶数边围成，所以d(*v )为偶数，由*v 的任意性可知，G *
是欧拉图。
50.解 每个面由3条边围成。因图中结点数和边数分别为n ＝6，m ＝12。根据欧拉公式n －m ＋r ＝2
得r ＝8。
又因为∑)(i
v d ＝2m ＝24，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以G 中每个面由3条边
围成。
51.证明 由偶拉公式得|V |－|E |＋|F |＝2，所以|F |＝2－|V |＋|E |＝8，又由定理10.31得∑∈F
f f d )
(＝2|E |＝24。若存在f ∈F ，使得d (f )＞3，则3|F |＜2|E |＝24，于是|F |＜8，与|F |＝8矛盾。故对任意f ∈F ，d (f )＝3。
52.证明 若存在这样的平面图G ，设G 的对偶图为G *，则G *也是平面图。由于G 有5个面，所以G *具有5个结点。设*v 为G *的任一结点，设它位于G 的面R 中。由于R 与其余4个面均有公共边，所以*v 与其余面中的结点均相邻，于是d(*v )＝4，而且G *为简单图，所以G *必为5K ，可是5K 为非平面图，这与G *为平面图矛盾。
53. 解 (1)设T 中有x 个1度结点，则T 中结点数n ＝3＋1＋x ，T 中边数m ＝3＋1＋x －1＝3＋x 。T 中各结点度数之和
∑=n
i i
v d 1
)(＝3×3＋2×1＋1×x ＝11＋x 。由握手定理得11＋x ＝2m ＝6＋2x ，于是x ＝5。
所以T 中有5个1度结点。
(2)下图中所示的两棵树均满足要求，但它们是不同构的。
54.解 设T 中有x 个1度结点，则T 中结点数n ＝
∑=k i i
n 2
＋x ，T 中边数m ＝∑=k
i i
n 2
＋x －1。T 中各结点
度数之和
∑=n
i i
v d 1
)(＝∑=k
i i
n i 2
*＋1×x ＝∑=k
i i
n i 2
*＋x 。由握手定理得2(∑=k
i i
n 2
＋x －1)＝∑=k
i i
n i 2
*＋x ，于是x ＝
∑=k
i i
n i 2
*－2∑=k
i i
n 2
＋2＝∑=-k
i i
n i 3
*)2(＋2。
所以T 中有
∑=-k
i i
n i 3
*)2(＋2个1度结点。
55.证明 设T 为一棵具有两个1度结点的树（n ，m ），则m ＝n －1且有
∑=n
i i
v d 1
)(＝2m ＝2(n －1)。
又T 连通且除两个1度结点外，其他结点度数均大于等于2，而
∑=n
i i
v d 1
)(＝2＋∑-=2
1
)(n i i
v d ，有2(n －1)＝2
＋
∑-=21
)(n i i
v d ，故∑-=2
1
)(n i i
v d ＝2(n －1)。因此n －2个分支结点的度数都恰为2，即T 为一条通路。
56.解 设G 的k 个连通分支为1T 、2T 、…、k T ，设结点i v ∈i T ，i ＝1，2，…，k 。在G 中添加边(i v ，
1+i v )，i ＝1，2，…，k ，设所得图为T ，则T 连通且无回路，因而T 是树。所以边的添加数k －1是使得G
为树的最小数目。
57.解 4个结点的所有非同构的无向树有2棵，如图（1）和（2）所示。5个结点的所有非同构的无向树有3棵，如图（3）、（4）和（5）所示。
58.证明 ?设e 包含在G 的每棵生成树中，但e 不是G 的割边。在图G 中删去e 得图G '，G ' 仍是连通图。对G 来说必有一棵生成树T ，T 中不包含边e ，与假设矛盾。
?设边e 不是G 的割边，删去e ，G 就分成两个互不连通的子图G 1和G 2。对于G 的任一一棵生成树T ，由于T 是连通图，故连结G 1和G 2之间的唯一边e 必在T 中。
59.解 一个有向图G 为根树，它的邻接矩阵A 必须满足：1）所有主对角元素为0；2）矩阵中有一列元素全为0，所有其它列中都恰有一个1。
如果一个邻接矩阵对应的有向图是根树，那么全0列对应的结点为根。而全0行对应的结点为树叶。 60.证明 设T 中结点数为n ，分支结点数为i ，根据正则二叉树的定义得下面等式成立：
n ＝i ＋t (1) m ＝2i (2) m ＝n －1 (3)
由以上三式整理得m ＝2t －2。
61.证明 设完全二叉树T 有n 个结点，m 条边。依定义，T 中每个分支点都关联两条边，所以m 必为偶数。
又由T 是树，有n ＝m ＋1，故n 为奇数。 因此，完全二叉树必有奇数个结点。
62.解 高为2的所有不同构的二叉树有7棵，如图所示。其中有2棵正则二叉树，如图(5)和(7)；1棵满二叉树如图(7)。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
63.解 (1)构造最优二叉树的全部过程如图所示。树的权为(2＋3)×3＋(5＋7＋8)×2＝55。 (2)该二叉树对应的2元前缀码为{000，001，01，10，11}。
64. 解 求最优r 叉树的Huffman 算法：r 为分支数，t 为树叶数，(1)若
1
1
--r t 为整数，求最优r 叉树的算法与求最优2叉树的算法类似，只是每次取r 个最小的权。(2)若r -1除t -1余数s 不为0，1≤s ＜r -1，将s +1个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的通路上，然后的算法同(1)。
(1)所求树的树叶数t ＝9，分支数r ＝3。1
1
--r t ＝4，说明所求3叉树为正则3叉树。由Huffman 算法
得3叉树如图所示。
(2) 所求树的树叶数t ＝10，分支数r ＝3。11--r t ＝2
9
，于是r -1除t -1余数为1，由Huffman 算法得3
叉树如图所示。
65. 解 (1)和(2)中的各字符串互不为前缀，因而(1)和(2) 是前缀码。
而(3)中，1既是11的前缀，又是101的前缀，因而(3)不是前缀码。由(1)和(2)构造的二叉树如图所示。
66.证明 若>= 反之，若χ(G )＝2，不妨设G 中的结点分别着颜色1C 和2C ，令1V 为G 中着颜色1C 的所有结点组成的集合，和2V 为G 中着颜色2C 的所有结点组成的集合，1V 和2V 中都不存在相邻的结点。故G 为二部图。 67. 解 （1）和（2）的着色数分别为3和5。 68. 解 χ*(G )＝χ(G * )＝2。 69.解 χ*(K 4)＝3，χ*(K 5)＝5。 70.解 χ*(K 3,3)＝3。 71. 证明 设K 6的结点为1v ，2v ，…，6v 。给K 6的边随意用红、绿色涂上。由抽屉原理可知，由1v 引出的5条边中存在3条涂同种颜色的边。不妨设存在着3条红色的边，又不妨设这3条边的另一端点分别是2v 、3v 、4v （否则可重新给结点编号）。红色边用粗实线表示，绿色边用细实线表示。由1v 引出的另外两条边的颜色可红可绿。 若2v 、3v 、4v 构成的3K 中的边再有一条红色边，比如[2v ，4v ]着的是红色，则1v 、2v 、4v 构成的三角形为红色的3K ，如图（1）。若2v 、3v 、4v 构成的3K 中的边全是绿色的边，则存在绿色边的3K ，如图（2）。 72. 解 G 的邻接矩阵为 求解的全过程如表所示 ?? ??? ?? ??? ?∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞70410201 023*********＝A （1） （2 ） v 1 于是从b 到a 的最短路径为bca ，长度4；从b 到c 的最短路径为bc ，长度1；从b 到d 的最短路径为bcad ，长度12；从b 到e 的最短路径为bce ，长度5；从b 到f 的最短路径为bcf ，长度4；从b 到g 的最短路径为vcfg ，长度11。 73. 解 (1)利用公式})({max )() (Pr ij j i v ee j v i v TE v TE ω+=∈ 求得各结点的最早完成时间为： TE (v 1)＝0 TE (v 2)＝max {0＋3}＝3 TE (v 3)＝max {3＋0，0＋2}＝3 TE (v 4)＝max {0＋4，3＋2}＝5 TE (v 5)＝max {3＋4，3＋4}＝7 TE (v 6)＝max {3＋4，7＋0}＝7 TE (v 7)＝max {5＋5，7＋3}＝10 TE (v 8)＝max {7＋3，10＋1}＝11 TE (v 9)＝max {7＋6，11＋1}＝13 (2)利用公式})({min )(L ) (Succ ij j v v i v TL v T i j ω-= ∈求得各结点的最晚完成时间为： TL (v 9)＝13 TL (v 8)＝min {13－1}＝12 TL (v 7)＝min {12－1}＝11 TL (v 6)＝min {12－3}＝9 TL (v 5)＝min {13－6，9－0}＝7 TL (v 4)＝min {11－5}＝6 TL (v 3)＝min {9－4，6－2，7－4}＝3 TL (v 2)＝min {7－4，3－0}＝3 TL (v 1)＝min {3－3，3－2，6－4}＝0 (3)利用公式TL (v i )－TE (v i )求得各结点的缓冲时间为： TS(v1)＝TS(v2)＝TS(v3)＝TS(v5)＝TS(v9)＝0 TS(v4)＝6－5＝1 TS(v6)＝9－7＝2 TS(v7)＝11－10＝1 TS(v8)＝12－11＝1 于是，所求关键路径为v1v2v5v9，v1v2v3v5v9。 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧? ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧?? 《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； 习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1. （2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表： 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}} 第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r); 离散数学习题三 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：p s r r q q ,,,p →∨?∨? 结论：s 证明：① p 前提引入 ②q ∨?p 前提引入 ③ q （①②析取三段论） ④r q ∨? 前提引入 ⑤ r （③④析取三段论） ⑥s r → 前提引入 ⑦ s （⑤⑥假言推理） 12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：s)(r q r),(q p →→→→ 结论：s q)(p →∧ 证明：①q)(p ∧ （附加前提） ② p （①化简规则） ③ q （①化简规则） ④r)(q p →→ 前提引入 ⑤r q → （②④假言推理） ⑥ r （③⑤假言推理） ⑦s)(r q →→ 前提引入 ⑧s)(r → （③⑦假言推理） ⑨ s （⑥⑧假言推理） 13、前提：s r ,q p q,q)p (→∨∧→? 结论1：r 结论2：s 结论3：s ∨r （1）证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。 证明：（1）①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→? 1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨?? ②s ∨ → ∨ → ? ((→ ∨ ∧ s)) p( q) r( q) q) (p ∧ ? ? ∨ ∨ ∧ ? ? ? ∨ ∨ ? q) r( q) ∨ s 1 p s)) p ( q) ((? ③s) ∨ ∨ → ∨ ?r → → ∧ (p q) s)) ((∨ ( r( q) q) p( ? ∧ ∨ ∧ ? ? ? ?r ∨ ∨ ? ∨ ∨ r( q) ∨ s 1 p s)) ((? p q) ( q) 即结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）s) ∨ ∧ ∧ ∧ → (→ ? r( p( (p q) q) q) ∧ ? ∨ ? ∧ ? ∨ ∧ ∧ ∧ ? ? ? ∨ ? ∨ ∧ ∧ (∨ (p q) p( q) ( s) r s) q r p ( q) q) ( q) (p ∨ ? ∧ 0? ? ∨ ∧ s) (p r ( q) 即推任何结论的推理都是正确的。 14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：q → p， → (q r) p, r→ 结论：s 证明：①r) →前提引入 p→ (q ②p 前提引入 ③r) (q→①②假言推理 ④q 前提引入 ⑤r③④假言推理 r→⑤附加律 ⑥s 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理： 前提：q → ， →s p→ (q p, r) s→ 结论：r 证明： ①s 附加前提引入 ②p s前提引入 → ③p①②假言推理 ④r) →前提引入 p→ (q ⑤r q→③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 即根据附加前提证明法，推理正确。 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律) 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. 离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q)）的真值表。 答案： 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： ４. 写出下列式子的主析取范式: 答案： )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧? 5． 构造下列推理的论证:p ∨q, ｐ→?r ， s →t, ?s →ｒ， ?t ? ｑ 答案: ①s →ｔ 前提 ②t 前提 ③ｓ ①②拒取式I12 ④s →ｒ 前提 ⑤ｒ ③④假言推理I １１ ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论Ｉ10 6. 用反证法证明:ｐ→(?(r ∧s ）→?q ）, p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨ ７. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F （ x )：ｘ是鱼 Ｗ（ x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8． 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( ｘ ):x 是有理数 R （ x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令Ｍ(ｘ)：x 是人 Ｃ（x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 １０. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥ｘ。 答案: 令P(x):x 是正实数 Ｓ（ｘ,y): x+y ≥x １１． 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x ）:x 是人 Q （ｙ）: y 是课外活动 S(ｘ,ｙ）:ｘ参加y ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→?? 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： . 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8 欢迎共阅 一、填空题 1设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3},B={1,2},则A-B ＝____________________; ?(A)-?(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|?(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a ,b },B={1,2},则从A 到B 的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________. 4.6设A 、7.设R 8.9.设集合 R 1?R 2 R 1210.11设A ∩13.14.设一阶逻辑公式G=?xP(x)??xQ(x)，则G 的前束范式是_______________________________. 16.设谓词的定义域为{a ,b },将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17.设集合A ＝{1,2,3,4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)},S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ?S ＝_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________. 二、选择题 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不是命题的（ A ）。 (A) 你打算考硕士研究生吗？(B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学是计算机系的一门必修课。(D) 雪是黑色的。 ?命题公式P(P P)的类型是（ A ） (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A是重言式，那么A的否定式是( A ) A. 矛盾式 B. 重言式 C. 可满足式 D.不能确定 ?以下命题公式中，为永假式的是( C ) A. p→(p∨q∨r) B. (p→┐p)→┐p C. ┐(q→q)∧p D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值是( D ) A. 00,11 B. 00,01,11 C.10,11 D. 10 ?谓词公式) x R xP∧ ?中，变元x是( B ) ) x ( , (y A. 自由变元 B. 既是自由变元也是约束变元 C. 约束变元 D. 既不是自由变元也不是约束变元 ?命题公式P(Q Q)的类型是( A )。 (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?设B不含变元x，) x→ ?等值于( A ) A (B ) ( x A. B x xA →?)( B. ))((B x A x ∨? C. B x xA →?)( D. B x A x ∧?)(( ? 下列语句中是真命题的是( D )。 A ．你是杰克吗？ B ．凡石头都可练成金。 C ．如果2+2=4，那么雪是黑的。 D ．如果1+2=4，那么雪是黑的。 ? 从集合分类的角度看，命题公式可分为( B ) A. 永真式、矛盾式 B. 永真式、可满足式、矛盾式 C. 可满足式、矛盾式 D. 永真式、可满足式 ? 命题公式﹁p ∨﹁q 等价于( D )。 A. ﹁p ∨q B. ﹁(p ∨q) C. ﹁p ∧q D. p →﹁q ? 一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ? 下列含有命题p ，q ，r 的公式中，是主析取范式的是 ( D )。 (A) (p q r) (p q) (B) (p q r) (p q) (C) (p q r) (p q r) (D) (p q r) (p q r) ? 设个体域是整数集合，P 代表x y ((x y )(x y x ))，下面描述正确的是 （ C ）。 (A) P 是真命题 (B) P 是假命题 (C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式 ? 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ??∧∧?的说法正确的是( B ). (A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的； (B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的； (C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的； 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧? ∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567 m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：离散数学复习题及答案
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