简单的论述哈密顿原理
简单的论述哈密顿原理
摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。
关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程
1.引言
哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至
之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为
什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。
2.理论
2.1变分运算与积分运算次序的可交换性
假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称
为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即
显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随
之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的
泛函。
下面证明变分运算与积分运算顺序的可交
换性，该泛函只依赖一个函数，即
自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形
式与不同的函数有许多。
假设这些函数可以表示为如下的形式：
其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函
数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成
引入（2）式的记法（1）可记为
被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数
的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数
在处展开，并只保留线性部分，
注意的变分不包含（3）式中的最后一项，因
是由于处于自变量地位的的形式变化引起的，而不是因为x变化引起的，故泛函的变分为
而
上式积分变量为，变分是由的形式变化引起，因此积分变量与变分无关时，积分次序与变分次序可以交换。
哈密顿原理的数学表达式为
在（4）中代表体系的拉格朗日函数，其表达式为，即体系的动能和势
能之差，哈密顿称为作用函数，它的量纲为功和时
间的乘积，单位为。当它表示为端点时间和位置的函
数时，也叫主函数，并以S表示。如图2所示，满足约
束许可条件的轨道有许多条。其中实线为真实轨道，而
虚线为真实轨道附近只满足约束所许可的条件，图2只画了一条。原理的含义为在约束所许可的许多条可能轨道中真实轨道的作用函数的变分为零。此原理给出了在卫星1即(到位形2，即(之间真实轨道
必须满足的条件就是哈密顿原理。
哈密顿原理是在拉格朗日方程
的两端同乘以然后对从1到S求和
再对（6）从到积分，即
因为
把（8）代入（7）式得
利用初始条件知（9）式左边第一项为零，从而有
因为（5）式中积分变量为t，而变分是由L的形式变化引起，积分变量与
变分无关，所以积分与变分的次序可以交换，即可得到（4）的结果。对于哈密顿原理的判断：保守的，完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定性。即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零卖。从数学角度结果无可非议，但大部分教材并没有说明为什么要这样做，也没有说明哈密顿原理的物理含义，下面将从不同角度说明讨论保守，完整体系哈密顿原理的必然性和深刻含义。
2.2从不同角度理解哈密顿原理
2.2.2从对拉格朗日方程的二次积分意义角度理解
众所周知，拉格朗日函数它是体系的动能和势能之差，它是体系
的一个特性函数，表征者约束，运动状态，相互作用等性质。它的表达式中只含有广义速度，广义坐标和时间，即
(
（１１）式可以看作拉格朗日方程的第一积分或首次积分。而
可以看作拉格朗日方程的二次积分，积分的最终形式为
（１３）式的C为积分常数。式实际上就是蕴含体系运动规律的轨道方程，那么就在位形１和位形２之间从众多约束所许可的可能轨道中挑选出真实轨道
必有，即真实轨道只有一条，所以真实轨道方程的变分为零。也就
是（４）式所示的哈密顿原理的数学表达式。而且还可以把上式写成微分形式，因为对给定的体系，选定的广义坐标和给定的位形拉格朗日函数的吗形式唯一，故哈密顿原理的变分形式可表示为。
2.2.2从虚功角度理解
拉格朗日方程（５）式的左端每一项的量纲都为广义力，其意义为体系在主动力和惯性力的作用下，在非惯性系中作惯性运动或保持相对平衡。给（５）式的左端每一项乘以即（６）式，求出从位形１变化到位形２或体系从时刻
到时刻过程中总的加权（时间为权）虚功，即作用量。若总的虚作用量为零，说明体系仍处于相对平衡，它所走的轨道为实际轨道。否则，说明体系的轨道就不是真实轨道。换句话说，要让体系运动的轨道为实际轨道，则在任何时间间隔内对体系的虚作用量必须为零。
2.2.3从达朗伯－拉格朗日方程的变形结果理解
达朗伯－拉格朗日方程
记
从而有
对于保守系来说，其中主动力为保守力或有势力，所以上式的左边可表示为
从推导结果看对完整，保守系来说，体系在真实轨道中必有动能和势能的虚作用量数量相等符号相反，即动能的虚增量为多少，势能的虚减小量就为多少，同样得到了（４）的结果。
3.结论
综上所述，本文首先证明了在积分变量与变分无关时，积分运算与变分次序的可交换性，使初学者对此有了更清楚的认识。其次分别从拉格朗日方程的二次积分意义，从虚功的角度，从能量转化的角度，对哈密顿原理作了深层次的剖析和论证。
参考文献：
[1]Zhou yanbai, Theory Mechanics Tutorial [M].1986.
[2]Zhang Jianshu,Sun Xiujun,Zhang Zhengjun. Theory Mechanics[M]2005.
[3]Chen Shimin.Theory Mechanics a simple tutorial[M]2008.
[3]Lu Shengzhi.Theory Mechanics basic tutorial[M]2004.
A SIMPLE DISCUSSION OF HAMILTON`S
PRINCIPLE UM WELL
Abstract: Prove the power of the variable of integration and variational unrelated to calculus and variational operator order exchangeability, the meaning of the Hamiltonian principle discussed from different angles
Key words: hamilton’s principle,lagrangian function,the variational lagrange equation
1哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
算子总结;哈密尔顿算子;拉普拉斯算子
?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算 子。Strictly speaking, ?del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field. Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。 , grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f= div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。 rot F 或curl F=? ×F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋 度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。 基本关系： 一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
7第5章哈密顿原理
第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起
的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,*
5.7哈密顿原理作业
１ 哈哈密密顿顿原原理理作作业业 1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为 ，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振 动周期。 1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21 V T L 2 0 其中取悬点O 为零势能点。 于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ?可得：0dt cos mg I 2 121t t 20=??? ??θ+θδ? 即：()0dt sin mg I 2 1t t 0=θδθ-θδθ ? 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0 000I )I (dt d )(dt d I I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 212 1t t 00t t 0=??? ??θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ ?? 即：()0dt sin mg I I 212 1t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ ? 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值 所以：0sin mg I 0=θ+θ 即：0sin I mg 0=θ+θ 而θ≈θsin ，则:0I mg 0 =θ+θ ，此即为所求的运动方程。 其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。 2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。 2.解:取x,y,z 为广义坐标，则： 体系的动能)z y x (m 2 1 T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点） 拉氏函数mgz )z y x (m 21 V T L 222-++=-=
哈密顿算符的运算规则
哈密顿算符的运算规则 厦门大学物理系李明哲 【摘要］本文从哈密顿算符的定义出发，根据哈密顿算符的性质．给｜＿｝｛哈离顿算符完整、统…的运算规划，以克服现有物理教剩书中该算符运算规则升；…‘致的缺点，进而帮助学习者更好地掌握该算符。 【关键词】晗密顿算符运算规则场论 物理学中处理“场”的问题时，熟练掌握哈鬻顿算符非常关键。例如。本科《电动力学》整门谋程在菜种程度上可以说就是利用哈密顿算符的性质处理壹克斯市方程组的。该课程被物理系的本科生视为最难的谋私之。，实质原幽在于对晗密顿算符的运算掌握ａｉ好。所以，在正式学习该课程之前，总是需要先温习这部分知识。 然而，～些常用教科书（例如《电动力学》…）在舟绍哈密顿算符的运算规则时并没有给出宠籀、统一、清晰的规则，导致读肴不耪理解和掌握；而另外一然教科书（例如《经典电动力学》“）则直接将其列为公式，并未给山证明，读者遇到列出的公式之外的运算就无法进行，当然也就无法真正掌握。 本文希望能克服这一不足之处，从哈密顿算符豹定义出发，分析暗密顿算符的两个报本性质，并由此给出一套哈密顿算符的完整、统…的运算规则。 一、哈密顿算符的定义 哈密顿算符定义为： 甲＝磋＋瑶＋礓 ∞Ｗ∞ 由上图可以看出算符同时具有失罱性和微分性两个根本性质，所以在其运算过程中要同时ｊ主意这两方面的性质。由该定义，场的梯度、教度和旋度可以分别理解为算符Ｖ直接作用、点乘和义乘该场。 二、哈密顿算符的运算规则 根姑前商晗密顿算符的定义和性质的分析，哈密顿算符的运算规则为： 步骤１．根据口的微分性写成几项，在Ｖ的下标标明算符Ｖ作用于哪个函数上。 步骤２．将甲看成…．个矢量，利用失?９０?量和标量的性质重新排列，使得甲叫纠。【即舻＋∥ｌ纠（４１）墨繁慕嚣翌霈善ｖ㈤：嗽７＋四回㈣面。排列时注意汛注意各符号７够』２Ｖ掣；歹＋掣Ｖｊｑ纠荽嚣差耋篁嚣兰嚣置。和，。㈤书曲。刊ｖ。刁㈤Ｘ的位置；ｂ．注意正负号。…惮，一ｔ’…，“，１…～’“ｏ，…叫：≤凳耋耋耋０等萝二墓ｖ西司：ｉ婶ｘ７卜７ｐ函＂）三个运算步骤充分体现了哈密…叫。、 叫。㈩’’ 篓苎篓竺翌０警烹性质?以下举Ｆ×西裔：善形．（Ｖ疆＋ｐ裔再旷ｖ蓐（４５）例示范这三个步骤： …“”’…、……。。 步骤１．类似于做微分运算。例如： Ｖ啦曲＝口，缸¨＋已∞∽（２１） ｖ∞却，㈤＋ｖ㈤（２．２） ｖｘ∞＝Ｆ，ｘ∞＋Ｌ×∞ｏ．３） Ｖ晒＝Ｖ，嘲＋ｖ，黼儡４） ９ｘＢ西＝Ｄｘ｜７硝＋Ｖ。×∞西让５） 步骤２．常用的矢量性质有： 于将看成个矢量，然后还需注意正在 处理的是矢量和标量的点乘（标秘）和叉 乘（矢积）等逛算。它是有别于数乘的。掌 握了．匕述哈密顿算符的运葬规则，对物 理学中场的问题的处理就能够得心应手 了。 于喜＝ｇ，，／ｘｇ＝一ｇｘ， ７Ｅｘ茅）＝；Ｆ×动＝≯Ｆ×动，Ａ管×习：矿疆一萨蕊例如：Ｖ，扣囝十Ｖ，（￡ｆ计＝妒∥≯＋“０∽ｏ１） 甲，翰＋ｏ㈤＝帆∞丸妒，回（３２） ｏｘ㈤＋巧ｘ∞＝盹办丸毋，×另 ０ｘ够ｊ＋巧ｘ㈣＝Ｒ咖，十心，×力（３筇 ＬＶｘ鲫＋可ｌｐ×ｇ）＝ｇＰ，ｘ，Ｊ一，甲ｌｘ酣（３４）÷÷＿—｝｛，■～●—＊÷，．ｈ●＿＿ Ｖ，ｘ扩。ｇ）＋Ｖｊｘ矿。ｇｊ＝培，Ｖ，弦一ｐ，ｊ，）ｇ＋审，ｇ驴一ＶＶ，量（３５） 步骤３壤简单，抹玉的下标即可－所参考文献 以，由（２．１）～（２．５）和（３．１）一（３．５）得【１］郭硕鸿．电动力学【Ｍ】．北京：高总结；由以Ｌ哈密顿Ｖ算符的运算等教育出版社．１９９７ 规则的三个步骤可以看出，第二二步垠容【２］蘩圣善，束耘经典电动力学【Ｍ】，崭出错。在做这一步运算时茸先要习惯ｔ海：复旦夫学出版社，１９８５※ 万方数据
哈密顿算符不同坐标下的表示
哈密顿算符不同形式下的表达式 胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。 关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用 1.引言 在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符： V m p V T H +=+=2/????2 如果我们从波函数)?(r ψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =? 它的分量是 x x =? ，y y =? ， z z =? 动量算符表示为 ?-= i p ? 它的分量是 x i p x ??-= ? ，y i p y ??-= ? ，z i p z ??-= ? 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则?-→ i p 得到 V m H +?-=22 2? 在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。 2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式 2.1、极坐标下的哈密顿算符 极坐标中独立变量ρ、?与直角坐标中独立变量 x 、y 之间的关系： ?? ? ??=+=x y y x a r c t a n 22?ρ 图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有： ? ρ?ρ? ??ρρ?? - ??=????+ ????= ??s i n c o s x x x ? ρ?ρ ???ρρ?? + ??=????+????=??cos sin y y y x y ρ ?
算符函数及其应用..
算符函数及其应用 物理与能源学院物理学专业 106012011017 吴敬圣指导教师：林秀敏 【摘要】由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中力学量必须用算符表示，因此研究算符函数具有重要意义。本文首先系统地阐述了算符、算符函数的定义及其在量子力学中的相关应用；接着基于算符代数的非对易特性，介绍算符和算符函数的几个常用公式；然后以受外场驱动的N个二能级原子与单膜腔场相互作用系统为例，说明如何利用算符函数对一个难以求出本征解的哈密顿量进行变换和简化，从而得到能求出本征解的有效哈密顿量，以此说明算符函数在处理量子系统问题时的重要作用。 【关键词】算符；算符函数；哈密顿量 1引言 量子力学是描述微观粒子运动规律的一门学科。由于微观粒子具有波粒二象性，所以在量子力学中，微观粒子的状态不能再采用与描述经典粒子相同的方式去描述[1]，而必须用波函数描述。如果已知波函数的具体形式，那么粒子在空间各点出现的概率即可求出。同样地，微观粒子的波粒二象性也决定了量子力学中各力学量（如坐标、动量、角动量等）的性质不同于经典物理中的力学量[2]。经典物理中各力学量在一切状态下都具有确定值，但在量子力学中力学量可能有多种可能值，且力学量之间可能存在相互制约关系，如坐标和动量就不可能同时具有确定值。因此，量子力学中力学量的描述方式与经典方式不同，必须采用算符方式描述[3-5]。 算符代数与普通代数之间的最大区别在于：算符的顺序是有意义的，而普通代数的顺序无关紧要，这一点使算符代数有着许多不同的运算性质[6-8]。力学量在量子力学中是用算符表示的，往往是算符函数。因此，量子理论必须采用非对易代数来处理有关问题。众所周知，无论在量子光学还是在量子力学、量子场论、量子信息学中，往往需要求解哈密顿量的本征解，其体系的哈密顿量往往比较复杂，很难用解析的方法求出其本征解。但如果利用算符函数对其进行简化，那么就可以求解简化形式的近似解。如对大多数实际量子体系，其哈密顿算符本征值往往难以求解，我们必须借助算符函数对该哈密顿算符进行变换和化简，得到可以求解出本征值的有效哈密顿量。前人对于算符已经进行了许多讨论，例如算符的运算[9]、量子态的叠加性质[10]、力学量与算符的关系[11]等等。同时，已有许多文献在具体求解时使用了算符函数[12-14]。因此，系统探讨算符函数及其应用对处理量子系统实际问题具有重要的意义。为了更好地体现算符函数在处理实际量子问题的重要作用，本文就利用一个具体的例子，详细阐述如何利用算符函数求解量子系统问题。 2算符 2.1 算符 所谓算符，就是使问题从一种状态变化为另一种状态的手段[15-16]。从数学上看, 算符被定义为由一个函数集向另一个函数集的映射，即指作用在一个函数上得到另一函数的运算符号，其单独存在时并没 有什么意义。如微分算符d dx 作用在函数() u x上就代表对() u x的求微分运算，其数学表达式为 () du x dx 。 2.2 量子力学中的力学量算符及其运算规则 由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量。众所周知，
1哈密顿原理
1哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到
1哈密顿原理-新版.pdf
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中， 真实运动的主函数具有 稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时） ；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数 L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量 ),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，i q dt dq i /是广义速 度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上 运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有 ,两 个，其中cos sin R x ，cos ,sin sin R z b R y ；一 般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐 标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势 能之差；U T L 哈密顿量H
简单的论述哈密顿原理
简单的论述哈密顿原理 摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。 关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程 1.引言 哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至 之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为 什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。 2.理论 2.1变分运算与积分运算次序的可交换性 假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称 为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即
显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随 之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的 泛函。 下面证明变分运算与积分运算顺序的可交 换性，该泛函只依赖一个函数，即 自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形 式与不同的函数有许多。 假设这些函数可以表示为如下的形式： 其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函 数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成 引入（2）式的记法（1）可记为 被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数 的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数
经典力学的哈密顿理论.
第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用 z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变， 用k j i ,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变 矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v ,等物理量。从直角坐标到极坐 标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
哈密顿原理
哈密顿原理 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性
1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x = ， θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义 坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差； U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 ),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ） 其中 )(/i i q L p ??=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。作用量I 定义为 ?=2 1 t t Ldt I 其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。 2.哈密顿原理及轨道稳定性
量子力学算符
5.3 量子力学算符 1.算符及其运算 算符(operator)是代表进行某种运算规则的一种符号。例如，数学算符ln 、x d d 等，其所进行的运算规则大家是熟悉的。算符的作用是：算符作用在一个函数上，得到一个新函数。如函数f ＝x ２则算符x d d 作用其上即x f x f 2'd d ==。令A ?表示一个任意的算符(即用“∧”来标记算符)，如果A ?将函数f (x )变成新函数g (x )，就可写成)()(A ?x g x f =。 算符的运算是：若两个算符相加，即)(B ?)(A ?def )()B ?A ?(x f x f x f ++；两个算符相乘，即)](B ?[A ?def )()B ?A ?(x f x f ；一个算符的平方，则是)](A ?[A ?def )(A ?2x f x f ；算符的乘法 是结合的，即)C ?B ?(A ?C ?)B ?A ?(=；算符的乘法和加法是分配的，即C ?A ?B ?A ?)C ?B ?(A ?+=+；若算符A ?与B ?不是对易的，必有A ?B ?B ?A ?≠；若算符A ?和B ?是对易的必有A ?B ?B ?A ?=。 2.量子力学算符 在量子力学中，系统的每一个力学量都有一个相应的算符。如坐标x 的算符X ?，动量Ｐx 的算符x P ?，势能Ｖ的算符V ?。不同的力学量算符对波函数的作用方式不同。如ψψx =X ?，x i x ??=ψψ P ?。 利用算符可非常方便地表示量子力学公式。如???? ????+??+???2222222 def z y x 叫拉普拉斯算 符（laplace operator), ?? ????+?-V ?2def H ?22m 叫哈密顿算符(Hamilton operator)，利用这些算符则定态薛定谔方程式(5-１１）可简化地表示成 ψψE m =?? ????+?-V ?222 （5-１５） 或ψψE =H ? （5-１６） 3.本征方程 若一个算符作用在一个函数上的结果是一个与该函数成比例的函数，则此函数就称为该算符的一个本征函数（eigen function)，而比例常数为本征值(eigenvalu)，该方程式则叫 本征方程（eigen equation)。如方程(5-１６）就是一个本征方程，ψ则为算符H ?的本征函数，而E 为算符的本征值。
梯度算子 哈密顿算符 偶极子
梯度算子（Gradient Operator ，?）、Hamiltonian 与偶极子 p ? 是p 的梯度，是一位梯度 dy dx 的一般形式。它与dy dx 类似，但遵循矢量运算法则（如矢量的加，减，乘积）和操作符法则（如微商，微分）。梯度算子的基本属性如下： 1. p p p p i j k x y z ????= ++??? 2. 1 2 2 2 2 p p p p x y z ??????????????=++ ? ? ?????????????? 3. p i p x ???= ? （给出了p 在i 方向的变化速率） 4. cos a p a p θ??=? （是p 在a 方向的变化速率，即 p a ??，也叫方向微分） 从以上性质可以看到：p ? 是一个矢量，它的模和方向给出了p 的最大变化速率及最大梯度的方向。例如： 对于气压p ，如果我们做出等高线：
p ? 从低压指向高压，而气压力p -? 则由高压指向低压 p ?的最后两个性质： 5. p ?指向更大的p 值 6.? 是一个常量，它与坐标轴位置和方向无关。在笛卡尔坐标系和圆柱坐标系的p ?是相同的矢量，只是它们的分量不同。例如： 考虑气压2p x = ，则2dp F p i xi dx =-?=- =- ? 与?的点积是拉普拉斯算子2? ，在三维笛卡尔坐标系中拉普拉 斯算子为： 222 2 222x y z ????=++???
在量子力学中，Hamiltonian 是对映于系统总能量的算符，用H 、 H ∨ 或H ∧ 表示。因为 Hamiltonian 与系统的时间演化相关，故 Hamiltonian 在量子理论中极其重要。 薛定谔哈密顿量： 对一个粒子，类似于经典力学，Hamiltonian 表示为几个操作符的和，对应于系统的动能与势能： H T V =+ 其中，()V V r t =+是势能操作符，2 2 2222p p p T m m m ?= ==-? 是动能操作符，动量p i =-? 是动量操作符，? 是梯度算子，2? 是拉普拉斯算子。因此，波函数(,)r t ψ 描述的系统的薛定谔方程为： 2 2(,)2(,) 2H T V p p V r t m V r t m =+?= +=- ?+ 对N 个粒子组成的体系，薛定谔哈密顿算符为： 2212121111 (,,...,,)(,,...,,)22n n n n n n n n n i i i n n p p H T V V r r r t V r r r t m m ===?=+=+=-?+∑∑∑ 对于粒子间存在相互作用的多粒子体系，动能会存在交叉项 2 2i j M - ??? 对于没有粒子间相互作用的多粒子体系，哈密顿算符的一般形式为： 2 222 11111()22n n n n i i i i i i i i i i i H V V H m m =====-?+=-?+=∑∑∑∑ 薛定谔方程： Hamiltonian 产生量子态的时间演化，用()t ψ 来描述t 时刻系统的状
由哈密顿原理推导拉格朗日方程
由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班 一、问题重述 试由210t t Ldt δ=?推导()0d L L dt q q αα ???-=?? 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ?= ，和 22 11()0t t t t Ldt L dt δδ==?? (1) 现在来秋L δ。L 是q , q ? , t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L L L q q q q δδδ????=+??……………………..（2） ()()()L L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ?????????==?-????……………….（3） 将（3）代入（2）得 ()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ?????=?-+???…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt q q q δδδ??????+-+=????…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为 2 1(())0t t d L L q q dt dt q q δδ???-=???………………………………（6）即 2 1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ???-+=???……………………………………（7） q 是独立变量，所以有 ()0d L L dt q q ???-+=??即 ()0d L L dt q q ???-=??此式即为拉格朗日方程
7第5章哈密顿原理
第 5 章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判 别准则以区分真实运动和可能的运动。 哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间 的位形轨迹加以比较， 而哈密顿作用量 S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函， 从而得到对 真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系， 开拓了应用前景； 由动力学普遍方程对时间积分， 导出一个重要的力学变分原理——哈密顿 原理， 提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则； 对于有限过程， 提供了 一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是 2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题 是研究这个微分方程组的积分， 但是求解往往是很困难的。 哈密顿正则方程的重要性在于它 将 n 个二阶微分方程变换为 2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了 有利条件。 若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用， 则哈密顿正则方程对分析力学 中的积分理论起着基础的和推动的作用。 哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性 研究中， 并不需要求解微分方程组， 而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方 法求解。 5.1.1 正则方程的建立 设拉格朗日函数 L 满足条件 2 L det 0 q j q k 于是， 可由式 (5-2)反解出 q j f j (q 1, ,q k , p 1, , p k , t) (j 1,2, ,k) 式(5-3)和式(5-4)就把方程 (5-1)由 k 个二阶微分方程化为 组(5-4) 并非正则形式。引入 哈密顿函数 k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 dL dt q j L q j 0 ( j 1,2, ,k) 引入广义动量 p j L (j 1,2, ,k) q j 代入式 (5-1) ，有 L p j (j 1,2, ,k) (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) 2k 个一阶微分方程，其中方程 对于主动力均有势的 q j
耗散系统的哈密顿原理及其应用
题目耗散系统的哈密顿原理及其应用 学生闫俊杰学号1210014049 所在学院物理与电信工程学院 专业班级物理学1202 班 指导教师王剑华__ __ 完成地点理工学院
2016 年 5 月20 日
耗散系统的哈密顿原理及其应用 作者：闫俊杰 （理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级，723000） 指导老师:王剑华 [摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。 [关键词] 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律. 引言 哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，