2021届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷

2021年江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数

学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}

2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M

N 为

A ．（0，＋∞）

B ．（1，＋∞）

C ．[2，＋∞）

D ．［1，＋∞）

2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为

A ．

16 B ．13 C ．2

3

D ．56 3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(

2)2

π

α-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12

- 4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B ．若//,,,//m n m n αβαβ??则 C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D ．若//,//,//m n m n αα则

5．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ω?ω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ?=，则ω等于（ ）

A ．8

B ．

8

π C ．

4

π D ．

2

π 6．ABC ?外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC

方向的投影为

A ．21

B ．23

C ．21

-

D ．

23-

7．若非零向量,a b 满足22

3

a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为 A ．π B ．

2

π

C ．

34π D ．4

π 8．不等式组2204x y -≤≤??

≤≤?表示的点集记为M ，不等式组2

20

x y y x -+≥??≥?

表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 A ．

732 B ．932 C ．916

D ．716

9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323

π，那么这个三棱柱的体积是（

） A ．

B ．

C ．

D ．10．已知函数1()n n f x x +=,n ∈N *

的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为

A ．1

B ．1－log 20132012

C ．-log 20132012

D ．－

1

11．已知函数0()ln(1),0

x f x x x ≥=?--

f x kx =-有且只有两个零点,

则k 的取值范围为

A ．(0,1)

B ．1(0,)2

C ．1(,1)2

D ．(1,)+∞

12．已知函数()y f x =对任意的(,)22

x ππ

∈-

满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）

A ．(0)()4f π

>

B ()()34

f ππ<

C ．(0)2()3

f f π

>

D ()()34

f ππ-<-

二、填空题

13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则

4a = ．

14．设01a b >>，，若2a b +=，则411

a b +-的最小值为______ ． 15．已知数列

{}

n a 满足1331(*,2)n n n a a n N n -=+-∈≥,且15a =，则

n a = ．

16．有下列4个命题:

①若函数()f x 定义域为R,则()()()g x f x f x =

--是奇函数;

②若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,R x ∈?,()(2)0f x f x +-=,则()f x 图像关于

x=1对称;

③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值（x 1,则()f x 在定义域内单调递减;

④若()f x 是定义在R 上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,则()f x 是以4为周期的周期函数．

其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）．

三、解答题

17．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *

．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1?S n ，n ∈N *

．

（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；

（Ⅱ）设3n n n c b lon a =?，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *

且n ≥2，有

221

b a -+331b a -+…+n

n b a -1＜23

．

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD‖BC， 90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，

Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=3．

（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30，设PM=t ?MC ，试确定t 的值．

19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位： 人）

（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用

的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女

生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ） ． 附表及公式

20．已知椭圆22 2

2

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10

x y

++=与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点(2,0)

M的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足OS OT tOP

+=（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

21．已知函数f（x）=32

3ln2

x x x a

-++，曲线()

y f x

=在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）当1

k<时，曲线()

y f x

=与直线2

y kx

=-只有一个交点,求x的取值范围．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，已知EAD PCA

∠=∠．

证明（Ⅰ）AD AB

=；

（Ⅱ）2

DA DC BP

=?．

23．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线

1

C

方程为2sin

ρθ

=．

2

C的参数方程为

1

1

2

3

2

x t

y

?

=-+

??

?

?=

??

（t为参数）．

（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；

（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围． 24．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；

(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：因为{}

{}1|0,2|>=>==y y x y y M x

，{}{}0|lg |>===x x x y x N ，

所以{}1|>=x x N M ；故选B ． 考点：集合的交并运算． 2．C 【解析】

试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：

所以它的体积为3

2

1131111=??-??；故选C ． 考点：三视图的应用． 3．A 【解析】 试

题

分

析

：

由

题

意

可

得

：

2

tan =α，所以

541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 2

22=+=+==??

?

??-ααααααααπ；故选A ． 考点：1．两直线的位置关系；2．诱导公式． 4．C 【解析】

试题分析：A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 或相交；B ．若//,,,//m n m n αβαβ??则或相交；

D ．若//,//,//m n m n αα则或在平面内；故选C ．

考点：空间几何元素的位置关系． 5．B 【解析】

试题分析：由题意可得：，

,所以

；所以函数的周期为

16即

故选B ．

考点：1．三角函数的性质；2．向量运算． 6．A 【解析】

试题分析：因为-+-=?+=22所以-=，所以

C B O ,,三点共线即AC AB ⊥；又因

为1==，所以2=BC ，所以

()

1BA BC BA AC AB ?=?-=故向量BA 在向量BC 上的投影为2

1选A ．

考点：平面向量数量积的含义及其物理意义． 7．D 【解析】 试

题

分

析

：

由

()(32)a b a b -⊥+可得

2

23

a b b

?=，所以

22

223cos ,222b

a b a b a b b ?===?，所以a 与b 的夹角为4π；故选D ．

考点：向量的运算及夹角． 8．B 【解析】

试题分析：列出相应的区域如下所示：

区域M 是正方形区域，区域N 是阴影区域，()2

9

22

1

2

=-+=?-dx x x s 阴影，所以P ∈N 的概率为

9

32

；故选B ． 考点：几何概型的应用． 9．D 【分析】

根据球体体积求得球半径，结合球半径和棱柱高的倍数关系，以及球半径和底面三角形棱长之间的关系，求得棱柱的高和底面三角形棱长，再由棱柱的体积公式即可求得结果. 【详解】

不妨设该正三棱柱的底面棱长为a ，高为h ，内切球半径为R ， 由题可知

3432

33

R ππ=，解得2R =； 又24R h ==，故可得该棱柱的高4h =， 又因为该球体与棱柱三个侧面都相切，

故半径为2R =的圆是边长为a 的正三角形的内切圆， 231

332

a R a =??=， 解得3a =

故该正三棱柱的体积2

3483V Sh h ==?=故选：D. 【点睛】

本题考查棱柱的内切球，涉及球体体积的计算，属中档题.

10．D 【解析】

试题分析：由题意可得：点()1,1P ，()()n

n x n x f 1'

+=，所以点P 处的切线切线的斜率为1

+n 故可得切线的方程为()()111-+=-x n y ，所以与x 轴交点的横坐标1

+=n n

x n ，则1

2013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 12013

1

log log 20132013212013-===x x x ；故选D ． 考点：1．导数的几何意义；2．对数运算． 11．C 【解析】

试题分析：由题意可得当0≥x 时()12

12

+=x x f 为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为x y 2

1

±

=， 当1=k 时有()x y --=1ln 可得111

'=-=

x

y ，

所以0=x 即()x y --=1ln 在0=x 出的切线方程为x y =此时函数()()F x f x kx =-有且只有一个交点若；故选．若函数

()()F x f x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为1

(,1)2

．

考点：函数零点与方程根的关系． 12．D 【分析】 构造函数()()cos f x F x x

=

，利用函数()'

F x 导数判断函数()F x 的单调性，将

ππππ

0,,,,3434

x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项.

【详解】 构造函数()()cos f x F x x

=

，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x x

F x x

+=

'>'，故函数在定义域

上为增函数，由()π04F F ??< ???得()π04

πcos 0cos

4

f f ?? ?

??<，即(

)π04f ??< ???，排除A 选项. 由

ππ34F F ????> ? ?????得ππ34ππcos cos

34f f ???? ? ?

????>

ππ34f ????

> ? ?????，排除B 选项.由

()π03F F ??< ???得()π03πcos 0cos

3

f f ?? ?

??<，即()π023f f ??< ???，排除C ，选项. 由

ππ34F F ????-<- ? ?????得ππ34ππcos cos 34f f ????-- ? ?

????

，即ππ34f ????

-<- ? ?????

，D 选项正确，故选D. 【点睛】

本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题. 13．2 【解析】

试题分析：因为数列{}n a 为等差数列且1233a a a ++=，5679a a a ++=，所以

212644=?=a a ；故填2．

考点：等差数列的性质． 14．9 【分析】

注意到11a b +-=，可把411a b +-变形为()4

111a b a b ????++- ???-??

，展开后可用基本不等

式求最小值． 【详解】

因为11a b +-=，所以

()4141111a b a b a b ????+=++- ???--??

()4151

b a

a

b -=+

+

-，因1b >，故10b ->，又0a >，

由基本不等式得()41591

b a

a

b -+

+

≥-，当且仅当24,33a b ==时等号成立，

故

41

1

a b +-的最小值为9，填9． 【点睛】

应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 15．n a =11322

n n ??++ ??? 【解析】

试题分析：)2(1331≥-+=-n a a n n n ①，1331

1-+=∴++n n n a a ②，

②—①，得)2(32)(311≥?+-=--+n a a a a n

n n n n ，即

23

31

1

1+-=---+n n n n n n a a a a ， 又63

,2313531222=-=-+?=a a a ，所以数列{}1--n n a a 是以6312=-a

a 为首项、公差

为2的等差数列，则22)2(263

11+=-+=---n n a a n n n ，即1

13)22(--?+=-n n n n a a ；

则1

12332??=-a a ，

223342??=-a a ， 334352??=-a a ，

???，

113)1(2--?+=-n n n n a a ，

上述式子相加，得]3)1(2353433[21

321-?++???+?+?+?=-n n n a a ，则

=-)(31a a n ]3)1(232353433[21432n n n n ?++?+???+?+?+?-，

两式相减除以2，得n

n n n a a 2)1()3333(914321?+-+???++++=--，即

2

9

3)21(2)1(31)31(3921-?+=?+---+=--n n n n n n a a ；

则21321+???? ??

+

=n n n a ；故填21321+???? ?

?

+n n ．

考点：1．由数列的递推式求通项；2．累加法；3．错位相减法． 16．①④ 【解析】

试题分析：①()()()()()[]()x g x f x f x f x f x g -=---=--=-所以函数是是奇函数，②若()f x 图像关于1=x 对称则应有()()20f f =，由

()(2)0f x f x +-=可得

()()020=+f f 所以不一定成立，③21,x x 值的取法应该是任意的，④因为()f x 是定义在R

上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,

所以()()()()()(),222,1 +-=+--=-x f x f x f x f 由()1可得()()22--=+-x f x f ，将()3代入()2可得()()22--=+-x f x f 即()()22-=+x f x f ，所以()f x 是以4为周期的周期函数；故填①④． 考点：命题真假的判断． 17．（Ⅰ）a n =3n –1

b n =2

n –1

；（Ⅱ）T n =（n –2）2n

+2；（Ⅲ）见解析．

【解析】

试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；由n S 推n a 时，别漏掉1=n 这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列

{}n n b a ?的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的

公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论． 试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，

∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为a n =3

n –1

．

∵2b n –b 1=S 1?S n ，

∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1?S 1， ∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1． ∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，

∴b n =2b n –1，

∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为b n =2

n –1

．

（Ⅱ）c n =b n ?log 3a n =2

n –1

log 33

n –1

=（n –1）2

n –1

，

T n =0?20

+1?21

+2?22

+…+（n –2）2

n –2

+（n –1）2

n –1

……①

2T n = 0?21

+1?22

+2?23

+……+（n –2）2n –1

+（n –1） 2n

……②

①–②得：–T n =0?20

+21

+22

+23

+……+2

n –1

–（n –1）2

n

=2n

–2–（n –1）2n =–2–（n –2）2n

∴T n =（n –2）2n

+2． （Ⅲ）

n n b a -1

=11231---n n =122331---?n n =)23(231222----+n n n ≤2

3

1-n 221b a -+331b a -+…+n n b a -1＜031+131+…+231-n =3

11)31

(11

---n

=23（1–13

1-n ）＜23

． 考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题． 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3． 【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．．

试题解析：（Ⅰ）∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q

为AD 的中点，

∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．

∵BQ ?平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． （Ⅱ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．

∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC 的法向量为 (0,0,1)n =；

(0,0,0)Q ，3)P ，3,0)B ，(3,0)C -．

设(,,)M x y z ，则

(,,3)PM x y z =，(13,)MC x y z =---

1(1)3(3)3()3

t x t x t x t y t y y z t z z ?=-?+=--??

??=?????

=-??=

?? PM t MC =?,∴，

在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，

331t t QM t ?=- +?， ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．

∵二面角M BQ C --为30°，∴2

3

cos3030n m n m

t ??=

=

=

?++，

得3t =

考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题．． 19．（Ⅰ）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．；（Ⅱ）

1

8

；（Ⅲ）0．5．

【解析】

试题分析：（1）独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值k ，k 越大说明两个分类变量有关系的可能性越大．（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性．（3）在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形．

（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．． 试

题

解

析

：（

Ⅰ）由表中数据得

2

K 的观测值

()2

2

5022128850 5.556 5.024*********

K ??-?==≈>???

所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．

（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为

57

68

x y ≤≤??

≤≤?（如图所示）

y

x

11

O

设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >

∴由几何概型1

11

12()228P A ??==? 即乙比甲先解答完的概率为18

． （Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ?种；两人都被抽到有221C =种

X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1

(2)28

P X == X 的分布列为：

151211()0+1+22828282E X ∴=?

??=．

考点：1．2K 检验；2．几何概型，超几何分布

20．（Ⅰ）.12

22

=+y x ；（Ⅱ）()2,2-． 【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式?：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．． 试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程

为2

22)(a y c x =+-，

∴圆心到直线01=++y x 的距离12

c d a +=

=（*）

∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b c =,c b a 22==

， 代入（*）式得1b c ==， ∴22==b a ，

故所求椭圆方程为.1222

=+y x

（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：(

)028821222

2

=-+-+k x k x

k ，

∴(

)()

0816282146422

2

4

>+-=-+-=?k k

k

k ，∴2

1

2<

k ． 设()11,y x S ,()22,y x T ，则2

22122

21212

8,218k k x x k k x x +-=+=+，

由OS OT tOP +=，

当0t =,直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；

当0≠t ，得201220121228124(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=????+-=

+???

∴20218,12k x t k =?+02

1412k y t k -=?+． 将上式代入椭圆方程得：1)

21(16)21(322

222

2224=+++k t k k t k ， 整理得：2

22

2116k

k t +=，由212

考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题． 21．（Ⅰ）e ；（Ⅱ）()0,1-． 【解析】

试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点()2,0处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到a 的值．（2）根据曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,可以得到方程

32322x x x kx -++=-有唯一解,构造函数24

()31(0)h x x x x x

=-++≠，然后利用函数

的性质得到x 的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．

试题解析：（I ）由2

()36ln f x x x a '=-+,知(0)ln f a '=, 而曲线()y f x =在点(0,2)处的切线过点(2,0)-,

20

ln 02a -=

+ ， a e =

（II ）法一 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,

?1k <时方程32

322x x x kx -++=-有唯一解,

即32

34(1)x x x kx k -++=<有唯一解． 当x=0时，显然无解．

当0x ≠时，变形为24

31(1)x x k k x

-++

=<， 令2

4()31(0)h x x x x x

=-++≠，由2224(2)(22)

()23x x x h x x x x -++'=--=，

知2x >时()0h x '>，()h x 为增函数，02x <<时()0h x '<，()h x 为减函数， 故(0,)x ∈+∞时，()(2)1h x h ≥=．而1k <，故方程①无解． 若0x <,()0h x '<，()h x 为减函数,且(1)1h -=,

即10x -<<时()1h x <，故10x -<<时，方程①有唯一解， 综上知，所求x 的取值范围是(1,0)x ∈-．

法二 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,

?时方程32

322x x x kx -++=- （1k <）有唯一解,

当x=0时，显然无解．

当0x ≠时，变形为3234

(1)x x x k k x

-++=<，

解3223234(2)(1)34100x x x x x x x x x x

-++-+-+

得1

x 0．

令3234()x x h x x -+=,知22

(2)(22)

()x x x h x x -++'=,

当1

x 0，时()0h x '<，()h x 在(1,0)，单调递减，

故1

x

0，3234(1)x x x k k x

-++=<，有唯一解．

综上知，所求x 的取植范围是x (1,0)

考点：函数与导数性质的应用．

22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析． 【解析】

试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：EAD DCA ∠=∠又由已知EAD PCA ∠=∠进而

可得DCA PCA ∠=∠所以可以得出AD AB =；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可

DC

BA

=

所以得到2DA DC BP =?． 试题解析：（Ⅰ）∵EP 与⊙O 相切于点A ， ∴EAD DCA ∠=∠． 又EAD PCA ∠=∠，

∴DCA PCA ∠=∠， ∴AD AB =．

（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴D PBA ∠=∠， 又DCA PCA PAB ∠=∠=∠， ∴ADC ?∽PBA ?． ∴

DA DC BP BA =，即DA DC

BP DA

=

，∴2DA DC BP =?． 考点：圆的性质的综合应用．

23．（Ⅰ）1C ：()2

211x y +-=，2C 0y -+=；（Ⅱ）????

． 【解析】

试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点P 到曲线2C 距离的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：()2

211x y +-=，

2C 0y -=． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，

1C 的圆心()0,1到2C 的距离为1d =

=

<，则1C 与2C 相交，

P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为1

2

d r +=

，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为

????

．

考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式． 24．（1）3；（2）

9

2