二项式定理及其系数的性质

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理赋值法求各项系数的和 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0 127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例6． 设()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，

当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得： 230122222n n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==， 点评：对于 101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高中数学完整讲义——二项式定理6.二项式定理的应用3近似计算或估计

高中数学讲义 1 思维的发掘 能力的飞跃 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫 做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时， 其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系 数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 近似计算或者估计

二项式定理知识点总结

二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

二项式定理专题复习教学内容

二项式定理知识点、题型与方法归纳 一．知识梳理 1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中) ,,2,1,0(n r C r n Λ=叫二项式系数．式中的r r n r n b a C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r r n r n r b a C T -+=1. 2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1 n ，一直到C n － 1n ，C n n . 3．二项式系数的性质： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5 n ＋…＝2 n － 1. 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) B A.6 B.7 C.8 D.9

二项式定理常见题型

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和 等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C -,12n n C +同时取得最 大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，从而解出r 来。

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

(完整版)二项式定理学生讲义

二项式定理 【2013年高考会这样考】 1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0 n a n ＋C 1 n a n －1 b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的 ．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫 系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的 ，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 _______ (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0 n ，C 1 n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．即C r n ＝C n －r n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜ n ＋1 2 时，二项式系数逐渐 ．由对称性知它的后 半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项T 12 +n 二项式系数取得最大值；当n 是奇数时， 中间两项1 2 1 2 1n ,+++n T T 的二项式系数相等且最大。 (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝_____； C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝________.

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

高中数学二项式定理全章复习

第十一讲 二项式定理 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】 一．二项式定理的定义 在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号 就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.

(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质 四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】 题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用 【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二 单括号型 【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（ ）

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理中展开式系数的六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

二项式定理教学设计(何磊)

课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3） 教学设计 河北正定中学何磊

《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的 特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程

二项式定理知识点及典型题型总结汇编

二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n 2、几个基本概念 （1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项 （3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ 3、展开式的特点 （1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： （1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21 -n n C =21+n n C （3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴02 13 n-1 n n n n C +C +=C +C + =2

二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +的展开式；a 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x -的展开式； 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ，常数a 的值为 2．确定二项展开式的常数项 例5．103 )1(x x -展开式中的常数项是

二项式定理

课题：二项式定理 讲课人：小邵 正阳县育才外国语学校 2018年 3月6日

课题：《二项式定理》 课型：一轮复习课 课时：1课时 讲课人：小邵 教学目标：知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与 二项展开式有关的简单问题。 过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以 猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性 问题的解决方法。 教学重点：二项式定理和二项展开式的通项公式. 教学难点：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力. 理科数学考纲要求：1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式在近似值计算中的应用，本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n 等． 教学过程： 知识回顾 ⒈二项展开式(a+b) n = 。 ⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项 ⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有： ⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 1 1+-=+；⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ； （4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。 （5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二 项式系数相等且最大。 ⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题： ⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项； ⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．． ；

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

二项式定理系数的性质

二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．

将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和

活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++

二项式定理

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1.3 二项式定理（1） 教材分析 本节内容是数学选修2-3 第一章 第三节，是在学习了计数原理的基础上展开的。一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分步做准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性的、具有联系不同内容作用的知识. 课时分配 本节内容用2课时的时间完成，第一节主要用两个计数原理分析()n a b +的展开式，归纳的 得出二项式定理，并能用计数原理和数学归纳法证明。掌握二项展开式的通项公式，并会简单应用。第二课时主要是运用二项式定理解决整除问题、求特殊项等问题。 教学目标 重点: 用两个计数原理分析()n a b +的展开式，归纳的得出二项式定理，并能用计数原理证明。掌握 二项展开式的通项公式。 难点：用两个原理分析()n a b +的展开式；用两个原理证明二项式定理． 知识点：理解二项展开式的推导过程；掌握公式的运用。 能力点：如何探寻二项展开式证明思路，归纳思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：运用数学归纳法证明二项式定理. 考试点：用通项公式求特殊项. 拓展点：用数学归纳法证明二项式定理. 教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课 ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233 3333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4 b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即0 4C 种，4a 的系数是0 4C ；恰有1个

江苏省苏州市高中数学 第一章 计数原理 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教学反思 新人教A版选修2-3

杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流