2016年东城一模数学(理)带问题详解

市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）

数学 （理科）

学校_____________班级_____________________________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数(1+)i a i ?为纯虚数，那么实数a 的值为

（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D ）2

（2）集合2

{},{50}A x x a B x x x =≤=-< | | ，若A

B B =，则a 的取值围是

（A ）5a ≥ （B ） 4a ≥ （C ） 5a < （D ）4a < （3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人， 中级职称90人，初级职称15人．现采用分层 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 人数分别为

（A ）9,18,3 （B ） 10,15,5 （C ）10,17,3 （D ）9,16,5 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）

2

1

（B ）1 （C ） 2 （D ）4

（5）在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为 （A ）

2

1 （B ）1 （C ）

2

2 （D

何体的最长棱长为 （A ）2 （B

）（C ）3 （D

（7）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）那么以1F 、2F 为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3

（B ）6

（C ）9

（D ）12

（8）已知12e ,e 为平面上的单位向量，1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 夹角为

3

π

. 平面区域D 由所有满足OP λμ=+12e e 的点P 组成，其中1,0,0λμλμ+≤??

≤??≤?

，那么平面区域D 的面积为

（A ）

1

2

（B

（C

）2 （D

）4

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）在5

)412(x

x +的展开式中，3x 的系数值为__.(用数字作答)

（10）已知等比数列{}n a 中, 2342,32a a a == ，那么8a 的值为 ．

（11）如图，圆O 的半径为1，A,B,C 是圆周上的三点，过点A

P

则COA ∠=__；AP = .

（12）若3sin(),45π

α-=且)4

,0(π

α∈，则sin 2α的值为 ．

（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：

在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.

（14）已知函数()ln f x x =，关于x 的不等式00()()()f x f x c x x -≥-的解集为(0,)+∞,其中

0(0,)x ∈+∞，c 为常数. 当01x =时，c 的取值围是___;当01

2

x =

时，c 的值是___;

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

在△ABC 中，BC =2AC =，且()cos 2

A B +=-． （Ⅰ）求AB 的长度；

（Ⅱ）若()sin(2)f x x C =+，求()y f x =与直线y =相邻交点间的最小距离．

（16）（本小题共14分）

已知三棱柱111C B A ABC -中，1A A ⊥底面ABC ， 90=∠BAC ，1A A 1=，3=

AB ，

2=AC ,E 、F 分别为棱C C 1、BC 的中点.

（Ⅰ）求证 1AC A B ⊥；

（Ⅱ）求直线EF 与B A 1所成的角；

（Ⅲ）若G 为线段A A 1的中点，1A 在平面EFG 的射影为H ，求A HA 1∠.

（17）（本小题共13分）

现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比

（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；

（III）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.

（18）（本小题共14分）

设函数1)(--=x ae x f x

，R ∈a ．

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值围；

（Ⅲ）求证：当),0(+∞∈x 时，2

1ln x

x e x >-．

（19）（本小题共13分）

已知抛物线2

:2(0)C y px p =>，焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM

>.

（20）（本小题共13分）

数列{}n a 中，给定正整数m (1)m >，-1

1

1

()m i i i V m a

a +==

-∑.定义:数列{}n a 满足

1(1,2,

,1)i i a a i m +≤=-，称数列{}n a 的前m 项单调不增.

（Ⅰ）若数列{}n a 通项公式为：*(1)()n n a n N =-∈，，求(5)V .

（Ⅱ）若数列{}n a 满足：*

1,,(m 1,,)m a a a b m N a b ==>∈>，求证()V m a b =-的充分必要条

件是数列{}n a 的前m 项单调不增.

（Ⅲ）给定正整数m (1)m >，若数列{}n a 满足：0,(1,2,

,)n a n m ≥=，且数列{}n a 的前m 项和

2m ，求()V m 的最大值与最小值.(写出答案即可)

市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）20 （10）128 （11）3π

（12）725

（13） 62 （14） []1,0-，2-．

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+=

???? ∴ 0

45C = ……3分

BC =2AC =，

222222cos 2AB AC BC AC BC C ∴=+-?=+- 4=

2AB ∴= ……7分

（Ⅱ）由()sin(2)42

f x x π=+

=， 解得 2243x k ππ+

=π+或22243

x k ππ+=π+，k Z ∈ ， 解得1124x k π=π+

或22524

x k π

=π+，12,k k Z ∈.

因为 1212()66

x x k k ππ

-=-π+

≥，当12k k =时取等号, 所以

当()2f x =

时，相邻两交点间最小的距离为6

π

. …………………13分 （16）（共14分）

（Ⅰ）证明 因为三棱柱111C B A ABC -，1AA ⊥底面ABC 所以 1AC AA ⊥．

因为 90=∠BAC ， 所以 AC AB ⊥．

因为 1A A

AB A =，

所以 11AC A ABB ⊥平面． 因为 111A B A ABB ?平面，

所以 1AC A B ⊥. ……４分 （Ⅱ）解

如图建立空间直角坐标系xyz A —， 则()1,0,0A 1，(

)

0,03B

，，

??

? ??

2120，，

E ，?

??

?

??0,123F ，. 所以 (

)

10,31-=

，B A ，???

?

??--=211,23，. 所以

2

21=

=

B A . 因为 00

10,90A B EF <<，

所以 直线EF 与B A 1所成的角为45°. ……９分

（Ⅲ）解 设??

? ??2100，，

G

则 ()020，，=GE , ???

? ??-=211,23，. AH 所在直线的向量与平面GEF 的法向量平行.

设平面GEF 的法向量为，(,,)n x y z =，

因为 ?????⊥⊥，

所以 ?

????=-+=.021

2

3,02z y x y 令3=

z ，则()

3,0,1=n .

所以 AH 所在直线的单位向量为???

?

??=23,0,21. 因为 1(0,0,1)AA =, 所以

2

3

=

. 因为

10,AA e π<<， 所以 16

HA A π

∠=

. .…１４分

（17）（本小题共13分）

解：（I ）三场比赛共有336A =种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女

单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为

1

6

． …３分 （II ）令A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛. 按ABC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：

1202545t =+=（分钟）．

按ACB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：

2203555t =+=（分钟）．

3202545t =+=（分钟）．

按BCA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：

4352560t =+=（分钟）．

按CAB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：

5352055t =+=（分钟）．

按CBA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：

6352560t =+=（分钟）．

且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为

1

6

，所以平均等待时间为 ． 454555556060160

63

+++++=

…11分 （III ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少

---------------------------------------------------------13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当1a =时，则()1x

f x e x =--，

则'()1x

f x e =-.

令'()0,f x =得0.x =

所以 当0x <时，'()0f x <，()f x 在(),0-∞上单调递减；

当0x >时，'()0f x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增；

当0x =时，min ()(0)0f x f ==． ……4分 （Ⅱ）因为0>x

e ，

所以01)(>--=x ae x f x

恒成立，等价于x

e x a 1

+>

恒成立． 设x e

x x g 1

)(+=

，),0[+∞∈x ， 得x x x

e x e x g -=+-=)1()('，

当),0[+∞∈x 时，0)('≤x g ， 所以 )(x g 在),0[+∞上单调递减， 所以 ),0(+∞∈x 时，1)0()(=

x a 1

+>

恒成立， 所以),1[+∞∈a ． ……11分

（Ⅲ）当),0(+∞∈x 时，2

1ln x x e x >-，等价于012>--x

x

xe e ． 设1)(2

--=x

x

xe e x h ，),0[+∞∈x ．

求导，得)12

(2)('2222

--=--=x

e e e x e e x h x x x x x

．

由（Ⅰ）可知，),0(+∞∈x 时， e 10x

x -->恒成立．

所以),0(+∞∈x 时，(0,)2

x

∈+∞，有2e 102x

x -->．

所以 '

()0h x >．

所以)(x h 在(0,)+∞上单调递增，当),0(+∞∈x 时，0)0()(=>h x h ．

因此当),0(+∞∈x 时，2

1ln x

x e x >-． ……14分

（19）（共13分） 解：（Ⅰ）

因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(

,0)2

P

F ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2

p

y k x k =-

≠． 所以2112(0)y px p =>，2

222y px =．

因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以

12

y y p x x =-．

所以2

21212

(

)y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,

p y k x y px ?

=-???=? 消y 得22222

(2)04k p k x k p p x -++

= 其中

22222(2)0k p p k p k =+->

所以2

124

p x x =， 2122

2k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2

:8C y x =． ……8分

（Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，

所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，00

4(2)y k x k

=-=. 所以直线OD 的斜率为02022

op y k

k x k =

=+. 直线OD 的方程为2

22

op k y k x x k ==

+代入抛物线2

:8C y x =的方程， 得22

32

2(2)k x k +=.

所以

23

(2)x k x =+. 因为 2

0k >, 所以230

(2)2OD x

k OM x ==+>. ……13分

（20）（共13分）

解（Ⅰ） (5)=8V . ……2分 （Ⅱ）充分性：若数列{}n a 的前m 项单调不增，即21m a a a ≤≤≤

此时有：

-1

1122311

()()()()

.

m i i m m i V m a a a a a a a a a a a b +-==-=-+-+

+-=-=-∑

必要性：反证法，若数列{}n a 的前m 项不是单调不增，则存在(11)i i m ≤≤-使得1i i a a +>，

那么:

-1

11-1

111

1

1

11111111()()()().

m i i

i i m

i i i i i i

t t i i i i m i m i i i i i i i i V m a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a

b a a a a +=+++==+++++++=-=-+-+

-=-+-+-≥-+-+-=-+-+-∑∑∑

由于1,i i a a a b +>>，.

11()a b i i i i a b a a a a ++∴-+-+->-.

与已知矛盾. ……9分 （III ）最小值为0.此时{}n a 为常数列. ……10分

最大值为2

42,2 2.

m m

m =??>?

当2m =时的最大值：此时12124,(,0)a a a a +=≥, ……11分

12404a a -≤-=.

当2m >时的最大值：此时21212,(,,

,0)n a a m a a a ++

=≥.

由x y x y -≤+易证，{}n a 的值的只有是大小交替出现时，才能让()V m 取最大值. 不妨设：1i i a a +≤，i 为奇数，1i i a a +≥，i 为偶数. 当m 为奇数时有：

-1

11

123234541

(1)/2

211

21

()222.

m i i

i m m m m

i i

i i m i i V m a a a a a a a a a a a a a a a m +=--====-=-+-+-+-++-=-

≤=∑∑∑

∑

当m 为偶数时同理可证. ……13分