近世代数期末复习

m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。

证明，首先是循环环，则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群，是一个元素生成的。所以也是主理想。

0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a

I r b qa I a r b qa I

I a I a >∈?<>

=<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明：是主理想整环。

显然，是整环。所以我们只证的理想都是主理想。

设，则存在，使得是中元素最小的。显然我们证明，，事实上，对。

由带余除法，存在使得因为是理想，则但根据的选取，必有则所以，则，即的任何理想都是主理想。

22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈????????????????

--???????????∈=∈??????????-???????

???????=???????? 、设证明是的子环是的理想

证：对，，则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈???

?-???????????∈=∈????????????????????

???????????∈?∈=∈????????????????????

??????=∈????????????

则是的子环。，对，，则是的加法子群，I R 且是左理想和又理想。故是的理想。

4R R I R I

I R I R I

R I I

?、证明：是主理想整环，是的一个理想，则是域当且仅当是由素元生成的主理想。

证明：是域是的极大理想。而在主理想整环中，极大理想和素元生成的主理想是等价的。

则是域当且仅当是由素元生成的主理想

121212

121221121221121212121212125|,,(,)1,(,,)(,)

,(,)1,m R m n n p p R n R m m R n n p n n m m m n m n m m m n m n n n n n p R n n n n n n m m n n ??=∈=+????

+?∈--=-∈=-∈= 、证明：是素数证明，是整环是通常的数的加法与乘法证明：因为是整环，所以我们只要证是的含幺元的子环，

，，其中，与互素。则则，，且显然有则。同样，12121212121212

,(,)1,1,1m m m m m m n n n n p R n n n n q q p R q

R R ∈=∈=∈ 则，，且显然有则。并且数是任意一个与互素的数，则。从而是的含幺元的子环，则是整环

16,,,,,:,.,1,,,I a b I a b a b a b a b a b a b I b a I

a a I a

b a b a b b a a b a a b a b εεηηεηεηεεεε-∈<><><>=<>??<>=<>∈<>=∈=∈==?==∈<><>?<>

<>?<><>=<>、是整环，是两个主理想，求证：相伴证明若，则则同理，，则由是整环，则则是单位。从而相伴

若相伴则存在单位使得，则则同理，，则

7,,,,,,,,,|,|.,,|,|,|,,,

I a b I d a b a b d a b I I u a b u d u u a b a b u a u b u u a u b u a b v a b v a v b v sa tb s t I u ∈<>=<>

<><>=<><>=<><>?<><>?<>+∈<、是主理想整环，是的最大公因子，求证证：因为是的理想，且是主理想整环，则存在使得，

我们来证明，与相伴。实际上，只要证也是的最大公因子因为，则，，则所以是的公因子又设也是的公因子，则则则),|,.

,a b v v u u a b d u a b u d =<>?<><>=<>=<>

，则，即是的最大公因子我们知道，在相伴意义下，最大公因子是唯一的，则和相伴，则

84p p <> 、证明：是域，当且仅当是素数证明：用第题的结论。

9[]5,5,()[]5,()()5() 1.

5,5()5,x x x h x x x h x h x x h x x h x x <><>∈<>=<>

=±<><> 、证明，在中，不是主理想

证：若是主理想，则存在使得则是的因子，也是的因子。从而，但中的元素的常数项都是，从而导致了矛盾。

故不存在这样的，则

222222222222111110.1000100000:0001000100()00.

1001ij ij I I A a I A a a a I ????????????????∈=????????????????????

=≠∈≠ 证明只有零理想和单位理想。但不是体。

证明事实上，，，但则有零因子，从而不是体。

下面证明只有零理想和单位理想，设且不是零理想。

则存在，则至少存在一个非零元素，不妨设因为是理想，则211121111122221010101000010101100100101000100101101000010001A I a a a a A I a I I I ??????????????=∈????????-????????????

????-????????????=∈????????????????????????????

??????=+∈=????????????

则，即单位矩阵在中，从而即非零理想都是，22? 从而只有零理想和单位理想

11111

(-10,101

R ab ba a ba aba a a a R ba ba =?==-=-=-=?=、是含幺元的无零因子环，求证证明：）因为无零因子，则

12(){|0,|(),(),0,0(-)0-()

,()()0()

()R X R Ann X r R rx x X Ann X R r s Ann X x X rx sx r s x x X r s Ann X R u R ur x u rx x X ur Ann X Ann X R

=∈=?∈∈?∈===?∈∈?∈==?∈∈ 、是交换环，是的非空子集，令求证证明：取则对，，则对成立。则因为是交换环，我们只证左吸收律。对成立则则 13[:]{|,}

[:],[:],,,,,,()(-)-[:]

()()()().,[:]

()()R I J R I J x R xJ Jx I I J R

x y I J xJ Jx I yJ Jy I I J x y J xJ yJ I I I J x y Jx Jy I I I

x y I J rx J r xJ rI I J rx Jr x Jx I r R

r R rx I J xr J x rJ =∈?∈??-=-?+==?+=-∈=?==???∈?∈∈=? 、是环，，是的两个理想，令求证证：

取则且考虑到是理想

则，即，即对()(),,[:]

[:]xJ I J xr Jx r Ir I r R

r R xr I J I J R ?=???∈?∈∈ ，即对综上

14(1)21(),,()()()(),,()()()S R I R I S S S R R S R I I I I

S I S I

S R R S I I

S S a I a S a I a S S I I

S S b I S b S b I S I I S S S I πππππππππ?=+∈∈+=∈?+∈∈+∈?= 、设是的子环，是的理想，且，证明

是的子环（）若是的理想，则是的理想证明：首先，显然，也是的理想，所以是一个商环（）考虑的自然同态，我们只要证若则从而，则反过来，若则则，则从而，而显然，(2)(1),,.()()()()()()()().

()R I

S R I I

r R rS S Sr S rS r S S Sr S r S R r R r I

S R I I

πππππππππππ≤?∈======?∈ 。由已经证得了是的加法子群，所以只要证明吸收律即可。对对以上两式作用自然同态，即

，因为是满射，则对，取遍了。则吸收率成立，从而

22220015|,0000000000,000000,S x y S x y S S S S S x y z w x y z w x z y w S S x y z w yz yw ??????=∈????????

??????????∈-=∈??????????--??????????

??????=∈????????????

、，求证对矩阵加法和乘法成环，并且无单位元。并求出的所有零因子。

证：因为是环的子集，所以我们只要证明是的子环即可。

取，则从而是220000000000100100000000,1001z bz a a b a b z w z w bz bw w bw b a z wa a z w z w a wa w z w w w a ?=∈????????????==?????????????==??????????????????

=?????????==?????????=?????????

??????

的子环，则对矩阵加法和乘法成环。设使之满足则所以是左单位元。使之满足则这里说明与有关，所以0000000000000000000,0,00.0,0,0

0000S x y z w yz yw x y z w yz yw x y z w y x z w S x S x ??????????????==≠????????????????????????????

===≠=≠??≠????不是左单位元。综上，没有单位元。下面计算零因子

且，则与不全为，与不全为从而有

则的所有左零因子为，。没有右零因子。

1116,,()()11|,0.

()p p p

p p p p

i

i p i p i i

i

i p i p p p p p

F p x y F x y x y F x y x y C x y i p p C C x y x y x y --=-?∈+=++=++≤≤-=+=+∑、是特征为的域，求证有证明：因为是域，则由二项式定理而当时，则此时从而

22222217[]1()()1

()()11

(1,0),(0,1),1[]1i i a bi c di a bi c di a b c d a b a bi i

i i ±±++++=++=+=±±+±±±± 、证明高斯整数环的单位是，。

证：若是单位，则存在使得则，则而上式的整数解只有则是，即的单位是，

()222222218[]1-2[]1-21-2)(),5()()

1 5.122.12212,1-2)(12)1-2-3-45(),i i i i i a bi c di a b c d a b a bi c di i i c di i i c di i i a bi i i i a bi =++=+++==++=±±+=-++=+=++==+ 、证明在高斯整数环是素元

证：因为是主理想整环，则只要证是不可约元。

若（则则或对前者，必有是单位，从而或者实际上，或。若则

（，则而22252(12),1221-21-2[][]a bi i c di i

a b i i i i i i i i i +=±±+≠++=+=--+ 或。这是不可能的，同理当时，和以上讨论是一致的。

再注意到则和相伴。从而没有真因子则是中的不可约元，从而是中的素元

19[]||=117i a bi a bi ++ 、证明在高斯整数环中，是单位当且仅当证：必要性显然，充分性同题

222220[][]||)[]||||||||1|||||| 1.||1||,[] 1.[]i Z i p p i p p p p i i αααααεβαεβεβεβεβεααα∈========== 、证明在高斯整数环中，，且（是素数，则是素元。证明：因为是主理想整环，所以只要证是不可约元素，

设，则则，，或者，不妨设，而之前我们证明了，在中，一个元素是单位等价于模为则是单位，从而没有真因子，从而是中的不可约元，则是[]i 中的素元