2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(1)完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(1)完整讲义（学
生版）
1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹
（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程：
①，焦点是，，且．
②，焦点是，，且．
3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：
⑴范围：，；
⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心
又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，
如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；
反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．
4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，
平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来
说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位
置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线：，由
消去（或消去）得：．
若，，相交；相离；相切．
若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛
物线，则与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的
必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐
标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，
则弦长公式为
1212
||
AB x y
=-=-．
两根差公式：
如果满足一元二次方程：，
则
12
x x
-=．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解
决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在
适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】直线与椭圆交于不同两点和，且（其中为坐标原点），求的值．
【例2】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
⑴求的取值范围；
⑵设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？
如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
【例4】已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求的值．
典例分析
【例5】 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且离心率满足：成等比数列．
⑴求椭圆方程；
⑵是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分，若存在，求出的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由． 【例6】 直线与椭圆交于、两点，记的面积为，
⑴求在的条件下，的最大值； ⑵当，时，求直线的方程．
【例7】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．
⑴求椭圆的方程；
⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
【例8】 如图，点是椭圆短轴的下端点．过作斜率为的直线交椭圆于，点在轴上，且轴，．
⑴若点坐标为，求椭圆方程； ⑵若点坐标为，求的取值范围．
【例9】 已知椭圆的焦点是，，点在椭圆上且满足．
⑴ 求椭圆的标准方程； ⑵ 设直线与椭圆的交点为，． ⅰ）求使的面积为的点的个数；
ⅱ）设为椭圆上任一点，为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，求的值．
【例10】 已知椭圆的离心率为．
⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．
i）当，求的值；
ii）对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．
【例12】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．
⑴求椭圆的方程；
⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方
程．
【例13】已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．
⑴求椭圆的方程；
⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直
线相切的圆的方程．
【例14】椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．
【例15】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【例16】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，右准线方程为．
⑴求椭圆的标准方程；（准线方程）
⑵过点的直线与该椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
【例17】设椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，、是直线：上的两个动点，且．
⑴若，求、的值．
⑵证明：当取最小值时，与共线．
【例18】已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、．
⑴若与轴相交于点，且是的中点，求直线的方程；
⑵设为椭圆上一点，且（为坐标原点），求当时，实数的取值范围．
【例19】已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若．
⑴求此椭圆的方程；
⑵点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于、两点（在第一象限内），又、是此椭圆上
两点，并且满足，求证：向量与共线．
【例20】一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点，
⑴求点关于直线的对称点的坐标；
⑵求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
⑶设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，且不为、，求点
到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
【例21】已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点．椭圆的右顶点为．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求线段的长度的最小值．
⑶当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确
定点的个数；若不存在，说明理由．
2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(I)完整讲义（学
生版）
1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹
（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程：
①，焦点是，，且．
②，焦点是，，且．
3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：
⑴范围：，；
⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心
又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，
如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；
反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．
4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，
平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来
说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位
置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线：，由
消去（或消去）得：．
若，，相交；相离；相切．
若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，
则弦长公式为
1212
||
AB x y
=-=-．
两根差公式：
如果满足一元二次方程：，
则
12
x x
-=．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解
决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在
适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
【例22】设椭圆过点，且左焦点为
⑴求椭圆的方程；
⑵当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在
某定直线上．
【例23】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆的方程；
⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直
线与轴相交于定点；
⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
【例24】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
⑴求椭圆的标准方程；
典例分析
⑵若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【例25】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，
不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．
【例26】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同
的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【例27】 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，且
过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． ⑶若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值．
【例28】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方
形．
⑴求椭圆的方程；
⑵若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点． 证明：为定值．
⑶在⑵的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【例29】 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭
圆于、两点，与共线．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R ，
，证明为定值．
【例30】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点且离心率．过定点的直线与椭圆
相交于，两点．
⑴求椭圆的方程； ⑵在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．