第01章 复数与复变函数-习题课
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数论第一章复数与复变函数
引言 复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为 5+525(15)40--=． 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的． 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 第一章 §1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时. 1． 复数域 形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的 实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位． 两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记
最新复变函数第二章答案
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z
第一章复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.
第一章-复数与复变函数
复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班
引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac 第一讲 复数及复变函数 1.复数的基本概念 R ∈+=y x y i x z , , ． 其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为： Im , Re z y z x ==． 设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定 212121 , y y x x z z ==?=． 当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示． a ．复数的运算 设222111 , y i x z y i x z +=+=，则 b ．复数的模与幅角 复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用． 容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合． 复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴． 设y i x z +=，称 为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为 π2 Arg k z +=θ， 其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ． 由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示 设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则 θθsin ,cos r y r x ==． 若记θθθsin cos e i i +=，则 θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3) 第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算 教学过程： 引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较. 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg 3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。 湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型：闭卷 试卷类型：D 卷 考试时量： 120 分钟 一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数） （ ） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 （ ） 3．函数在可去奇点处的留数为0。 （ ） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。 （ ） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 （ ） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 （ ） 二 、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。 （其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R = 5．0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ， 使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10< 第一章 复数与复变函数 §习题 2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1 1 ||||n n k k k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z = .由题2知， z a bi a b ≤+=+ 故22 22 2222 2 22||2 2 22 a a b b a b a b a b ab z +++++= = +≤+=， (Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2 2 2 21210.z z z z λ≠= 则2 2 2 2212122 121 112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=- 即有21212||z z z z λλ-=-成立. 5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则 11z a az -=-. 证明：由1z =得1zz = 故11z a z azz z az az -=-=-=- 即证之. 6．设|a |<1，|z|<1.证明： 11z a az -<-. 证明：提示：（ 11z a az -<-?2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+ 而2 2 2 2 2 2 1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->） 7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式： 2 2 2 2 1 1 1 1()(),n n n k j j j j j j k j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ 并由此推出Cauchy 不等式： 22 2 1 11 n n n j j j j j j j z z ω ω===???? = ??? ???? ??? ∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω?? = ??? ， 1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω?? ? ?? ? =≥ ? ??? ? ??? ， 2 det det ||j k j j j k k j j k k k z z z z z z ωωωωωω?? ??=- ? ? ? ????? ，则原式=2 10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2111 112 22212 11...det det .........n n j j j j j n n n n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====???? ? ??? ? ? = ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??∑∑∑∑ 2 2 2 1 1 1 ()()0n n n j j j j j j j z z ωω ====- ≥∑ ∑∑.（2） 由（1）=（2）可得证. 复变函数论 第一章 练习题 2014-03 一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。 1. 设(1)(2)(3)(3)(2) i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数2 3(cos5sin 5)(cos3sin 3) i i θθθθ+-和复数tan ()2z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式. 3. 设0,2x π <<试求复数1tan 1tan i x z i x -=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角. 5. 设3||),4z z i π=-= 求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值. 7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤ 8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥?≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a +=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+. 10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值. 11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值. 12. 一个向量顺时针旋转 3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程 二、复数在几何上的应用 1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 作业题及其解答（科目：复变函数与积分变换） 第一篇 复变函数 第一章 复数 1 、已知11,222 z -==-求,Argz.z 解：根据复数的模和辐角的计算公式得 1z == Arg arg 2arctan(22(0,1,2,)3z z k k k k π πππ=+=+=-+=±± 2 、已知12,z z i = =求1122.z z z z 及 解：整理得 41cos sin 2244i z i i e πππ==+=+= 62122cos()sin()2266i z i i i e πππ??- ??????==-=-+-=???????? 因此 64 121222i i i z z e e e πππ??- ???=?= 5 411226122i i i z e e z e π ππ??- ???== 3、设12z z 、是两个复数。求证：222 1212122Re().z z z z z z -=+- 证明： 212121212121112122222121212221212()()()()() 2Re()z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=--=--+=+-+=+- 4、证明：函数22,0()0,0xy z x y f z z ?≠?+=??=? 在原点不连续. 证明: 当点()z x,y 沿直线y kx =趋于点(0,0)时，有 22222220()(0,0)0lim ()lim lim 1z x,y x y kx xy kx k f z x y x k x k →→→====+++ 显然，它是随着k 的值的不同而改变的， 因此，当()(0,0)z x,y →时，函数()f z 的极限不存在。 所以()f z 在原点不连续。 5、证明：Z 平面上的直线方程可以写成az az c +=(a 是非零复常数，c 是常数). 证明： 设z x iy =+，直线方程为.,,,.ux vy d u v d R u v +=∈ 其中且不全为零 由共轭复数的性质，将,22z z z z x y i +-= =代入以上直线方程有22z z z z u v d i +-+= 化简整理有()()2u iv z u iv z d -++= 令(),2u iv a d c +== 则直线方程为.az az c += 即Z 平面上的直线方程可以写成az az c +=(a 是非零复常数，c 是常数). 证毕. 第一章 复数与复变函数 第一节 复数 1．复数域 每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。 复数111iy x z +=和2 22iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。 复数的四则运算定义为： )2 1()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1 221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222 a i b a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。 2．复平面 C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。 作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一 般称为z -平面，w -平面等。 3．复数的模与辐角 复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定 (,) x y 义为：||z 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： Arg arctan 2y z i x π=+（k Z ∈）。 复数的共轭定义为：z x iy =-； 复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+； 复数加法的几何表示： 设1z 、2 z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图： 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： （1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212 z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212 z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =； 例1．1试用复数表示圆的方程： 22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠） 其中a,b,c,d 是实常数。 解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2 b i c β=+。 2z 复变函数教案 2012—2013学年度 第二学期 任课教师 郭 城 课程名称 复 变 函 数 采用教材 高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统 学院 数学教育 专业 2010 年级1班 引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax 2+bx+x=O(a ≠o1时，如果判别式b 2-4 ac 系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。 直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。 在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。这就是着名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass) 第一章 复数与复变函数 1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +-- 解: (1)(32)(1)3223.i i i i i +--=+-+=-+ (2) ;(1)(2) i i i -- 解: 2 (13)3.(1)(2)22 1310 10 10 i i i i i i i i i i i i +-= = = = + ----+- (3) 1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 22 2 2 2 2 2 2 11(1)(1) 12.1 1 (1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y y i z x iy x y x y x y -+--++-+-=== ++++++++++ 1.2 将直线方程2 20(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=] 解: 由,22z z z z x y i +-= = 代入直线方程,得 ()()0, 2 2()20,()()20, 0,,2. a b z z z z c i az a z bi z z c a bi z a bi z c Az A z B A a ib B c ++-+=+--+=-+++=++==+=故其中 1.3 将圆周方程22 ()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中 z x iy =+). 解: 把22 ,,2 2z z z z x y x y z z i +-= =+=?代入圆周方程得: ()()0, 2 22()()20,0. b c az z z z z z d i az z b ic z b ic z d A z z B z B z C ?+++-+=?+-+++=?+++=故 其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.4 求下列复数的模与辐角主值.复数与复变函数
第一章复数复变函数
复变函数试题与答案
第1章复变函数习题-答案~习题详解
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