立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)

立体几何

例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且

3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的

面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π

2.三视图

例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．164+π

B ．484π+

C ．4812π+

D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式

例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________.

例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，

过球心且

，是边

长为

等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且

，则三棱锥

体积的最大值为__________．

例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ，

四边形是正方形，，Q 是

的中点，且

，

．

求证：平面

； 求二面角的余弦值．

例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小.

例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.

例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，，

，E ，F 为AB 的三等分点，且

将

和

分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面平面PEF ；

若

，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．

一、选择题

1．（2020·福建高三月考（文））已知平面α⊥平面β，直线,m l ααβ?=，则“m l ⊥”是“m β⊥”

的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．（2020·湖北高三月考（文））某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）

A ．4

π B ．2π

C ．π

D ．2π

3．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）

A ．120°

B ．90°

C ．60°

D ．30°

4．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90° B ．60

C ．45°

D ．30°

5．（2020·湖北高三月考（理））鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．从外观上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ） A ．

65

B ．

66 C ．69 D ．17.

6．在三棱锥A-BCD 中，平面ABC 丄平面ADC, AD 丄AC,AD=AC, 3

ABC π

∠=，若此三棱锥的外接球

表面积为28π，则三棱锥A-BCD 体积的最大值为（ ）

A ．7

B ．12

C ．6

D ．

53

7．（2016·浙江高三学业考试）如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BD ==，

4AC BC ==，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平

行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（ ） A ．12 B ．2

2

C ．1

D ．2

8．（2020·浙江高三期末）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，且123AA AB =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γ

α<

D ．αβ<，γβ<

9．（2020·浙江高三学业考试）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，

M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的

平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ） A ．56

π B ．

23

π C ．

2π

D ．4

π 10．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为

γ，则（ ）

A ．,βγαγ<<

B ．,βαβγ<<

C ．,βαγα<<

D ．,αβγβ<<

二、填空题

11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件： ①m α；②m α⊥；③m α?；④αβ⊥；⑤αβ．

（1）当满足条件____ 时，有m β；

（2）当满足条件 ____ 时，有m β⊥．（填所选条件的序号） 12．（2020·浙江高三期末）某几何体的三视图如图所 示（单位：cm ），则该几何体的 体积为______3cm ，表面积为______2cm .

13．已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，3AB =，异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为

3

10

，则1AA =_______，球O 的表面积为_______. 14．已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，若这个三棱柱的体积为93，3AB =，则1AA =_______，球O 的表面积为_______.

15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且

3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的

面积的最小值为____.

16．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形

ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，

则1C P 长度的取值范围是_______．

17．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若π2π,33SAB ??

∠∈????

，则四棱锥S ABCD -的体积的取值范围为______.

三、解答题

18．（2020·浙江高三期末）已知斜三棱柱111ABC A B C -，

2

ABC π

∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，

1BC =，123AC =.

（1）求1AA 的长；

（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值.

19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC ，

1ACC △，均为正三角形，E 为AB 的中点. （1）证明:1//AC 平面1B CE ，

（2）求直线1AC 与平面11B BAA 所成角的正弦值.

20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13

BCC π

∠=，

1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点． （1）求证：1C B ⊥平面ABC ；

（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为

211

11

，若存在 ，求出CM

CA

的值；若不存在，请说明理由．

21．如图，三棱柱1l l ABC A B C -中，11,,60AC BC AB AA BAA ==∠=?.

（1）求证：1

11AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =， 求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.

22．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，

2EC =2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．

（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．