最新考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 曲线221
x x y x +=-渐近线的条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C
【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞
=，b 为常数）、垂直渐近线（0
lim ()x x f x →=∞）和斜
渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞
-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果
（1）()
lim
x f x x
→∞不存在；
（2）()
lim x f x a x
→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221
x x y x +=-的间断点只有1x =±.
由于1
lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.
（而1
1(1)1
lim lim
(1)(1)2
x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.
又2
1
1lim lim
11
1x x x y x
→∞→∞+
==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x
x
nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1
(1)
(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
【答案】A
【考点】导数的概念 【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
00000()()()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x
→→+-'==V V V V V V . 在本题中，按定义
200()(0)(1)(2)()
(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-L
1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-??--=--L .故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.
在本题中，用乘积求导公式.含因子1x
e -项在0x =为0，故只留下一项.于是
20
(0)[(2)()]
x x nx x f e e e n ='=--L 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-??--=--L
故选（A ）.
(3) 设0(1,2,)n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件
（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B
【考点】数列极限 【难易度】★★★
【详解】因0(1,2,)n a n >=L ，所以123n n S a a a a =++++L 单调上升. 若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞
存在，于是
11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞
→∞
→∞
→∞
=-=-=
反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =L ，则n S n =是无界的.
因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2
0sin (1,2,3)k x K e xdx k π
==?I 则有 ( )
(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??.
在本题中，
2
10
sin x I e xdx π
=?，2
220
sin x I e xdx π
=?，2
330
sin x I e xdx π
=?
2
22121sin 0x I I e xdx I I π
π
-=
2
332322sin 0x I I e xdx I I π
π
-=>?>?，
2
2
2
323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π
π
π
π
π
π
-==+???
2
2
33()22sin()sin t x e
t dt e xdx π
π
ππ
π
π-=-+??22
3()312[]sin 0x x e e xdx I I π
ππ
-=->?>?
因此213I I I <<.故选D.
（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有
(,)
0f x y x
?>?，
(,)0f x y y ?
（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.
①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因
(,)
0f x y x
?>?，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因
(,)
0f x y y
?时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.
（6）设区域D 由曲线sin y x =，2
x π
=±，1y =围成，则5(1)D
x y dxdy -=??( )
（A ）π
（B ）2
（C ）-2
（D ）π-
【答案】D
【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
1
0,(,)(,)2(,),
(,)D
D f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ?
?
=?????
??对或为奇函数，对或为偶函数
在本题中，1
1
5
5
5222sin sin 221
(1)(1)()2x x D
x y dxdy dx x y dy x y y dx π
π
ππ--
-=-=-?????
52
2
222
1(1sin )(1sin )2x x dx x dx π
π
πππ--=---=-?? 其中
5
21(1sin )2
x x -，sin x 均为奇函数，所以 52
2
21(1sin )02x x dx π
π--=?，22sin 0xdx π
π-=? 故选（D ）
(7)设1100c α?? ?= ? ???,2201c α??
?= ? ?
??
,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量
组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
n 个n 维向量相关12,,,0n ααα?=L
在本题中，显然
1341
2
3
011,,0
110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.
(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ???
.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??
? ? ???
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有
12100110(1)001Q P PE ??
??==??
????
，
那么1111
12121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==
100110011101110100120012????????
????????=-=????????????????????????
故选B.
二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则22
x d y dx
== .
【答案】1
【考点】隐函数的微分 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：
1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意
谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。
2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然
后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。
对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。 在本题中，令0x =，得(0)0y =.等式两边同时对x 求导，得
2y x y e y ''-= （*）
令0x =，0y =得 (0)(0)y y ''-=， 于是(0)0y '=.再将（*）是对x 求导得
22y y y e y e y '''''-=+
令0x =，0y =，0y '=得 2(0)(0)y y ''''-= 于是(0)1y ''= （10）22222111lim 12n n n n n n →∞
??+++=
?+++??
L . 【答案】
4π
【考点】定积分的概念 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.
特别是对于n 项和数列的极限，应该注意到：101
1lim ()()n n i i
f f x dx n n →∞==∑?
在本题中，由积分定义，
22222221
111111lim lim 1212()1()1()1n n n n n n n n n n n n →∞→∞??
???+++=+++ ? ?+++?? ?
+++??
L L
110201arctan 14
dx x x π
===+? （11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y
??+=?? 【答案】0
【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数[(,)]z f u x y =（是一元函数()f u 与二元函数(,)u u x y =的复合函数），在变量替换
(,)u u x y =下，得到z 对x ，y 的偏导数为
()z u f u x x ??'=??，()z
u f u y
y ??'=??.
在本题中，根据题中条件可知，
()1z f u x x ?'=??，()21z f u y y ???'=- ????
，所以20z z
x y x y ??+=??
（12）微分方程2
(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为y =
【答案】2
x y =
（或y =
【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 方程
()()dy
P x y Q x dx
+=叫做一阶线性微分方程，其通解为()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -?
?=+?. 在本题中，方程可整理为
1
3dx x y dy y
+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11
313dy dy y y x e ye dy C y C y -
????=+=+ ? ???
?.又(1)1y =，得0C =，故2
x y =
（或y =所求解.
（13）曲线()2
0y x x x =+<
的点的坐标为 . 【答案】（-1，0） 【考点】曲率 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 曲率公式()
3
2
2
1y K y ''
=
'+.
在本题中，21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()
3
2
2
1y K y ''
=
'+
，得
3
222
21(21)x =??++??
，解
得1x =-或1x =.又0x <，故10x y =-?=.故坐标为(1,0)-.
（14）设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】-27.
【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
在本题中，设12010100001E ?? ?
= ? ???
则12B E A =，从而3
**
1227BA E AA A ==-=-.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11
sin x f x x x
+=- 记()0lim x a f x →=
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）当0x →时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，331sin ()6x x x o x =-
+?sin x x :，31
sin 6
x x x -:. （Ⅰ）()3
2
2
2200001sin sin 6lim lim lim 1lim 1sin x x x x x
x x x x x x a f x x x x
x →→→→+-+-====+=
（Ⅱ）1a =
方法一：利用泰勒公式
()()332
3
212000166sin sin lim lim lim 0sin k k k x x x x x x x x x x o x f x x x x x x x x x x ++→→→????+----+ ? ?-+--????==≠
解得1k =.
方法二：利用等价无穷小量代换
()()()21sin sin sin 1sin sin x x x x x x x x f x x x x x
+-+---==
当0x →时，()3
211
616
x
f x x x -=:，所以1k =.
（16）求函数22
2
(,)x y f x y xe
+-=的极值.
【考点】函数的极值 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又
00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yy f x y C ''=，
则
（1）当2
0AC B ->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值； （2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；
（3）当20AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点. 令
()()()()()2
2
22222
2
2
2
2
2
2
,10
,0
x y
x y x y x y f x y e xe
x e
x x
f x y xe y y
+
++--
-
+
-??=+-=-=??????=-=???
解得驻点为(1,0)-，(1,0)
又
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y A xe e x x x f x y B e x y x y
f x y C xe y y
++--+-+-
??==-+--??????
==--?
??????==-??? 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得1
2
2A e
-=-，0B =，12
C e
-
=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在
（1，0）取得极大值，极大值为12
e -；
代入（-1，0），得1
2
2A e
-=，0B =，12
C e
-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，
0）取得极小值，极小值为12
e
--.
（17）过点（0，1）作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率. 函数；
（ii ）函数()f y ，()g y 在[,]a b 连续，则由曲线()x f y =，()x g y =及直线y a =，y b =()a b <所围区域的面积()()b
a
S f y g y dy =
-?
；
（iii ）曲线()()y f x a x b =≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积2()b
a
V f x dx π=?
.
在本题中，设切点A 坐标为00(,ln )x x ，则切线斜率为
01x ，切线方程为000
1
ln ()y x x x x -=
-，代入（0，1）点，解得2
0x e =，从而切点A 坐标为2
(,2)e ，切线方程为2
1
1y x e =
+，B 点坐标
为(1,0)，所以区域D 的面积
2
22
2211
111ln (1)2ln (1)2e e e S xdx e x x x dx e x
=--?=-?--?
?2222(1)(1)2e e e =----=.
D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积
2
222
222
211114ln 2(1)ln 2ln (1)33
e e e V xdx e x x xdx e πππππ=-??-=---??
2
222214242ln 2(1)(1)(1)33
e e x x e e e πππππ=-+---=-
（18）计算二重积分D
xyd σ??，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.
【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
(,)(cos ,sin )D
D
f x y d f r r rdrd σθθθ=????
在本题中，作极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ=，则D 的极坐标表示是
0θπ≤≤，01cos r θ≤≤+，
于是
1cos 1cos 2
4
1
cos sin cos sin 4D
I xyd d r rdr r d θ
πθ
π
σθθθθθθ
++==?=?????
?
14
401
11cos (1cos )cos cos (1)44d t t t dt πθθθθ-=-+=-+??
1111455511111111
(1)(1)[(1)(1)]44520
t t dt td t t t t dt ----=+=?+=+-+???
1
61
1113216
[32(1)](32)20620315t -=-+=-= （19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=
（Ⅰ）求()f x 的表达式；
（Ⅱ）求曲线2
20
()
()x
y f x f t dt =-?
的拐点.
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程2
0r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r x
r x
y C e C e =+.
（ii ）拐点的充分判别定理：设()f x 在(,)a b 内二阶可导，0(,)x a b ∈，则()0f x ''=，若在0x 两侧附近0()f x ''异号，则点00(,())x f x 为曲线的拐点. （Ⅰ）因()f x 满足
()()2()0f x f x f x '''+-= ① ()()2x f x f x e ''+= ②
由②得()2()x f x e f x ''=-，代入①得 ()3()2x
f x f x e '-=-， 两边乘3x
e
-得 32[()]2x
x e
f x e --'=-
积分得 32()x
x e
f x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+
代入②式得3392x
x
x
x
x e Ce e Ce
e +++=0C ?=，于是()x
f x e =
代入①式自然成立.因此求得()x
f x e = （Ⅱ）曲线方程为2
2
x
x t y e e dt -=?
为求拐点，先求出y ''.
2
2
21x
x t y xe e dt -'=+?
，
2
2
2
2
20
242x
x
x t x t y e
e dt x e
e dt x --''=++?
?
，
由于0,0,()0,0,0,0x y x >>??
''==??<
因此(0,(0))(0,0)y =是曲线的唯一拐点.
（20）证明：2
1ln cos 1,12
x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.
证明：令()2
1ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，
则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）
因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.
()111111ln
sin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++??'=++--=+--- ?-+---+??
， 22
1111()cos 111(1)(1)f x x x x x x ''=
+++--+--+， 2233
1122
()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)
f x x x x x x x '''=-
++-+>∈+--+， 其中
22110(1)(1)x x ->-+，
33
11
2[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)
()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''?在[0,1)Z ，()(0)20
f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1)Z ，()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ?在[0,1)Z ，
()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ?>∈-≠，(0)0f =.即原
不等式成立. （21）
（Ⅰ）证明：方程1
1n
n x x
x -+++=L （n 为大于1的整数）在区间1,12??
???
内有且仅有一个实根；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限. 【考点】闭区间上连续函数的性质 【难易度】★★★★
【证明】本题涉及到的主要知识点：
零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ?<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ=. （Ⅰ）转化为证明()1
1n
n f x x x
x -=+++-L 在1
(,1)2
有唯一零点.
由于()f x 在1(,1)2
连续，又
(1)10f n =->，
21
1111
2()1101222212
n f =+++-<-=-L ，
由连续函数的零点存在性定理可知()f x 在1(,1)2
至少存在一个零点.又
121
()(1)210(1)2
n n f x nx n x x x --'=+-+++>< 所以()f x 在1[,1]2Z ，()f x 在1(,1)2的零点唯一，即1 1n n x x x -+++=L 在1(,1)2 内只有一个 根. （Ⅱ）记1 ()1n n n f x x x x -=+++-L ，它的唯一零点记为1((,1))2 n n x x ∈.现证n x ].由于 111()1()n n n n n f x x x x x f x +++=+++-=+L ， 显然11()02n f +<，1 11()0()n n n n n f x x f x +++=>?在1(,)2 n x 有唯一零点，此零点必然是1n x +，且 11 2 n n x x +<< 因此n x 单调下降且有界，故必存在极限1lim ([,1))2 n n x a a →∞ ∈记 因11n n n n n x x x -+++=L ，即1 11n n n n x x x +-=-， 令n →∞011a a -?=-1 2 a ?= 即1lim 2 n n x →∞ = . （22）设10010 101 ,00100010a a A a a β???? ? ? - ? ?== ? ? ? ? ???? （I ）计算行列式A ； （II ）当实数a 取何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. 【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=L L ， 或1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=L L . （ii ）设A 是m n ?矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ?=< （I ）按第一列展开，即得 4141000101(1)101001 01a a A a a a a a +=?+-=- （Ⅱ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =- 当1a =时， 110011 10010 11010 1101()001100 01101001000002A β???? ??? ? --? ??? =→ ???? ??? ? ???????? ， 由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时， 110011 00100110101011()00110001101001000000A β?-??-? ???? ----???? =→???? --???? -???? ????， 由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为： (0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）. （23）已知1 10 11100 1A a a ?? ? ?= ? - ?-?? ，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2 （I ）求实数a 的值； （II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. 【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1 ()n ij i j ij ji i j f a x x a a ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形 222 1122n n f y y y λλλ=+++L ，其中12,,,n λλλL 是f 的矩阵()ij A a =的特征值. （I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2T r A A = 因为()()T r A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有 1 11 1011011100 01010 00A a a a ????????? ?? ?=→???? -+???? -???? ， 所以1a =-. （II ）当1a =-时，202022224T A A ????=?????? .由 2 02 02 2(2)(6)2 2 4 T E A A λλλλλλλ---= --=-----， 可知矩阵T A A 的特征值为0，2，6. 对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系(1,1,1)T --， 对2λ=，由(2)0T E A A x -=得基础解系(1,1,0)T -， 对6λ=，由(6)0T E A A x -=得基础解系(1,1,2)T . 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化. 11,1,1)T γ= -- ，21,1,0)T γ=- ，32)T γ=. 那么令 11 22 33 x y x y x y ?? ?? ?? ???? ?? ???? =?? ???? ?? ???? ???? ? ? ? ，就有22 23 ()26 T T T x A A x y y y y =Λ=+.