高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试508

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。

高考模拟复习试卷试题模拟卷

一．基础题组

1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理3）设变量x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数

y x z +=2的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

【答案】B

考点：简单的线性规划

2.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理5）若441x

y

+=，则x y +的取值范围是（ ）

.[0,1]A .[1,0]B -.[1,)C -+∞.(,1]D -∞-

【答案】D 【解析】

试题分析： 由于1

244244++=?≥+y x y x y x ，所以得

0121201≤++?=≤++y x y x

即1-≤+y x 故选D.

考点：基本不等式.

3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理11）若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤??

+-≤??-≤?

则

2z x y =+的最大值是.

【答案】6

考点：线性规划.

4.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为． 【答案】4 【解析】

试题分析：因为：0,0x y >>，由均值不等式得：2

2x y x y xy +??

+=≤ ???

，令x y t +=，则

240,4t t t -≥≥.

考点：1.均值不等式求最值;2.还原法解不等式.

5.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理9）已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是． 【答案】6 【解析】

试题分析：由题根据xy=3可得

3

,

y

x

=然后根据

3

22

x y x

x

+=+运用均值不等式可得最小值.

由题可得

333

,222226

y x y x x

x x x

=∴+=+≥?=.当且仅当

6

x=时，等号成立.

考点：均值不等式二．能力题组

1.

（北京市东城区高三5月综合练习（二）理6）若实数y

x,满足不等式组

330

10

1

x y

x y

y

+-≤

?

?

-+≥

?

?≥-

?

，

，

，

则2||

z x y

=+的取值范围是（）

（A）[1,3]

-（B）[1,11]（C）]3,1[（D）]

11

,1

[-

【答案】D

考点：1.线性规划;2.最优解问题.

2.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理6）若,x y满足

0,

1,

0,

x y

x

x y

+≥

?

?

≥

?

?-≥

?

则下列不等式恒成立的是（）

（A）1

y≥（B）2

x≥（C）220

x y

++≥（D）210

x y

-+≥

【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得y

x2

+的取值范围为R，

故022≥++y x 不成立；y x -2在B 处取得最小，故02111212≥=+-?≥+-y x 考点：线性规划

3.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理7）若,x y 满足42400

kx y y x x y +≤??-≤?

?≥??≥?，且5z y x =-的最小值为

8-，则k 的值为（ ）

1

.2A -1

.2

B .2

C -.2D

【答案】B

考点：线性规划.

4.（北京市西城区高三一模考试理7）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定

【答案】A

考点：不等式比较大小

5.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理11）已知,4,m n 是等差数列，那么

(2)(2)m n ?=______；mn 的最大值为______．

【答案】16；16 【解析】

试题分析：由已知得8=+n m ，故(2)(2)m

n

?16224

2

===+n m ，1622

=??

?

??+≤n m mn

考点：等差数列的性质及基本不等式 三．拔高题组

1.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理7）某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：

产品名称 A B C

天

12

13 14

产值（单位：万

元）

4

72

2

则每周最高产值是（ ） (A) 30(B) 40(C) 47.5(D) 52.5 【答案】D 【解析】

试题分析：由题设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x ，y ，z 台，则x+y+z=15,111

5234

x y z ++= ,总产值为7422x y z +

+．本题可以从三个式子入手，通过消元将s=7

422

x y z ++变成关于z 的函数求0z ≥时的最大值．

设每周生产A 、B 、C 三种产品分别为x ，y ，z 吨，则x+y+z=15,

111

5234

x y z ++= , 总产值为7422x y z ++．令s=7422

x y z ++,联立x+y+z=15,1115234x y z ++=可得3

,1522z x y z ==-+，

所以s=5

52.5 4

z

-+ ,所以最高产值为52.5，故选D

考点：简单的线性规划

2.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理11）设不等式组

1,

0,

20

y

x y

x y

≤

?

?

+≥

?

?--≤

?

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆221

x y

+=内的概率为___________．

【答案】

8

π

考点：1.简单线性规划；2.几何概型；3.直线交点及距离公式.