高考数学新题集锦

高考数学新题集

锦2

一． 选择题

1. 按照以下规律：

那么，从2003到2005的顺序为 （ ）

.A →↑ .B ↑

→ .C ↓→ .D →↓

2. 设),(y x P 是曲线

2

2

1259

x y +≤上的点C ，F 1（－4，0）

，F

2（

4，0），则 （ ）

A ．10||||21<+P F P F

B.10||||21>+P F P F

C ．10||||21≤+P F P F D.10||||21≥+P F P F

3. 将n 2个正整数1，2，3…，n 2填入到n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上

的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方。如图就是一个3阶幻方，定义f (n)为n 阶幻方对角线上数的和，例如f (3)=15，那么f (4)= （ ）

A ．34 B.35

C ．32 D.33

4. 如果0>m ，[)+∞∈,,m y x 或(]m y x -∞-∈,,，且

()()

22222m m y y m x x =-+-+

，那么（ ）

A. x y =

B. x y >

C. x y <

D. x y ≤ 5. 设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图象如右 图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为 （ ）

A B C D

6. 若函数()x f 、()x g 的定义域和值域都是R ，则“()()R x x g x f ∈<,”成立的充要条

件是 （ ）

A ．存在R x ∈0，使得()()00x g x f <

B ．有无数多个实数x ，使得()()x g x f <

C ．对任意R x ∈，都有()()x g x f <+

2

1

D ．不存在实数x ，使得()()x g x f ≥ 7. 假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p ，且各引擎是否有故障是独立的，如

有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行。若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p 的取值范围是 （ ） A. （1,31） B. （32,

0） C. （1,32） D. （4

1,0） 8. 不等式2||(1)0x x ->的解集是 ( )

A (1,1)-

B (1,0)(0,1)-?

C (,1)(1,)-∞-?+∞

D (,1)(0,1)-∞-?

9. 过双曲线122

22=-b

y a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，

点M 、N 分→

PF 所成定比分别为1λ、2λ，则有21λλ+为定值.222

b

a 类比双曲线这一结

论，在椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，21λλ+为定值是（ ） A ．22

2b

a

B ．222b a -

C ．222a

b D ．22

2a

b -

10. 设x 、y 满足约束条件：??

?

??≥≤≤+01y x y y x 则y x z +=2的最大值为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11. 在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都以

3

1

的概率从一个顶点爬到另一个顶点。那么它爬行了4次又回到起点的概率是（ ） A.

276 B.277 C.278 D.3

1 12. 由方程1||||=+y y x x 确定的函数),()(+∞-∞=在x f y 上是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数

D ．减函数

二、填空题

13. 海面上，地球球心角1′所对的大圆弧长约为1海里，在

赤道上，东经140°与西经130°的海面上有两点A 、B 。则A 、B 两点的球面距离是________海里．

14. 如图，一球形广告气球被一束入射角为30°的平行光线

照射，其投影是一个长半轴为 5 米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是 米2（π取3.2）．

15. 已知函数f (x ) =?

??<--)2(2)

2 (2x x x ，则f (lg 20 + lg 5) = _____________________；

不等式xf (x – 1) < 10的解集是__________________________．

16. 由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失（以□代替），其表如下：

ξ 1 2 3 4 5 6 P

0.20

0.10

0.□5

0.10

0.1□

0.20

请你先将丢失的数据补充，再求随机变量ξ的数学期望，其期望值为 ．

三．解答题

17. 设c b a 、、分别为ABC ?的边AB CA BC 、、的长，且m mc b a (0222=-+为常

数），如果1tan cot cot =++C B A ，求m 的值．

18. （1）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222

()a b a b x y x y

++≥+，指出等号成立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+

-（1

(0,)2

x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．

19. 如图所示，平地上有一条水沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线

是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，

沟深m 5.1，沟中水深1m . （1） 求水面的宽；

（2） 现要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

20. 在)(n m f ，中，m 、n 、)(n m f ，均为非负整数，且对任何n m ，有： ①1)0(+=n n f ，；②)1()01(，，m f m f =+；

③)]1([)11

(n m f m f n m f ，，，+=++，试求： （1）)01

(，f 的值； （2）)1

(n f ，关于n 的表达式； （3）)3(n f ，关于n 的表达式．

21. 规定(1)(1),m x A x x x m =--+L 其中x R ∈，m 为正整数，且0

1,x A =这是排列数

(,m n A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广．

（1）求3

15A -的值；

（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=， ②11m m m

n n n A mA A -++=．(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到(,m

x A x R m ∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；

若不能，则说明理由；

（3）确定函数3

x A 的单调区间． 22. 已知数列}{n x 满足：1

4

1++=

+n n n x x x ，11=x . （1）问是否存在*

N m ∈，使2=m x ，并证明你的结论；

（2）试比较n x 与2的大小关系；

（3）设|2|-=n n x a ，求证：当2≥n 时，

∑=--≤n

i n n

a

1

122.

参考答案 一、选择题

1．C. 2．C. ３．A. ４．A. ５．C. ６．D. ７．C. ８．B. ９．B. １０．B. １１．B. １２． D. 二、填空题

１３．5400海里． １４．２４０． １５． 0,｛x | –5＜x ＜5｝．

１６．5.3,15.0,25.053===ξE P P ． 三、解答题

17. cotA+cotB+cotC, 得 (

cosA sinA +cosB sinB ) · sinC cosC = sin(A+B)sinC

sinAsinBsinC

= 1. ∵ A+B+C=180°.∴ sin(A+B)=sinC.∴ sinnC=sinAsinBsinC.

由正弦定理得 c 2=abcosC. 从而由余弦定理及a 2+b 2－mc 2=0 得 c 2=a 2+b 2－2abcosC=mc 2－2c 2. ∴ m=3. 18. （1）应用２元均值不等式，得

22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故 222()a b a b x y x y ++≥+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号． （2）由（1）222

23(23)()252122(12)

f x x x x x +=

+≥=-+-． 当且仅当

23212x x =-，即15

x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．

19. （1）建立直角坐标系，设抛物线的方程为得由抛物线过点),23

,1(,2

ax y =2

3=

a . 于是抛物线的方程为2

2

3x y =

.m x y 362,361可见水面宽为　时，当±==∴. （2）设作抛物线的切线，

上任意一点，过是抛物线弧P OB t t t P )10)(2

3

,(2

≤< OCDE

得直角梯形()2233

,3. 3.322

x t y x y x y t CD y t t x t ='=

∴=∴=-=-Q 故切线的方程为， 即2233t tx y -=.于是，则的面积为设梯形,),2

3

),1(21(),0,21(S OCDE t t D t C +

21S ＝)10)(21(4323)1(212

1

≤<+=???????++t t t t t t .

令22

,10.22,0)211(43,02=∴≤<±==-='t t t t

S 取又得

. 时，当22=

∴t S 最小，此时所挖土最少，这时.2

22)0,42(m OC C =，沟底宽为因此，当m 2

2

沟底宽为

时，所挖土最少. 20. （1）由已知)01(，f )10(，f =211＝＝+．

（2）由定义))11(0()1(-=n f f n f ，，，n n f (1)11(，，+-=≥)1

故数列{})11

(-n f ，（n ≥1）成等差数列，其中首项2)01(=，f ，公差11=d ． ∴ 2)01()1

(1+=+=?n d n f n f ，，． （3）再由))12(1()2(-=n f f n f ，，，n n f (2)12(+-=，≥)1， 故数列{}n n f ()12(-，≥)1也成等差数列，其中首项

)02(，f 312)11

(=+==，f ，公差22=d ， ∴ 322)02()2(+=+=?n n f n f ，，．

而))13(2()3(-=n f f n f ，，，n n f (3)13(2+-=?，≥)1， 可变形为n n f n f ](3)13([23)3(+-=+，，≥)1．

故数列{}3)13(+-n f ，n (≥)1成等比数列，其中首项为 8353)12(3)03(=+=+=+，，f f ，公比2=q ． 于是3

2

283)3(+==+?n n

n f ，，即32

)3(3

-=+n n f ，.

21.（1）3

15A -()()()1516174080=---=-； （2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：

①11m m x x A xA --=， ②()11,m m m

x x x A mA A x R m N -+++=∈∈.

事实上，在①中，当1m =时，左边1

x A x ==， 右边01x xA x -==，等式成立；

当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+L

()()()()()12111x x x x m ??=-----+??L

11m x xA --=， 因此，①1

1m m x x A xA --=成立； 在②中，当1m =时，左边101

11x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；

当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+L ()()()122mx x x x m +---+L

()()()()1221x x x x m x m m =---+-++????L ()()()()11211x x x x x m =+--+-+????L 1m x A +==右边，

因此 ②()1

1,m

m m x x

x A mA A x R m N -+++=∈∈成立.

（3）先求导数，得()/32362x

A

x x =-+.令2632+-x x 0>，解得x <

3

3

3-或 x >333+.因此，当???? ??-∞-∈333,x 时，函数为增函数， 当???

? ??+∞+∈,333x 时，函数也为增函数．令2632

+-x x <0，解得

333-

3

3+.因此，当???? ??+-∈333,333x 时，函数为减函数. 所以，函数3

x A

的增区间为?-∞ ??，

?+∞????，函数3

x A

的减区间为??

．

22. （1）假设存在*

N m ∈，使2=m x ，则21

4

2111=?++=

---m m m x x x ，同理可得22=-m x ，

以此类推有21=x ，这与11=x 矛盾。则不存在*

N m ∈，使2=m x .……4分

（2）∵当2≥n 时，1

2

1221421+--=++-=-++=

-+n n n n n n n x x x x x x x .

又1

3

1141++=++=

+n n n n x x x x ，11=x ，则0>n x , ∴21-+n x 与2-n x 相反，而211<=x ，则22>x .以此类推有：

212<-n x ，22>n x ;

（3）∵当2≥n 时，1

3

1141++=++=

+n n n n x x x x ，11=x ，则1>n x ∴|2|2

11|2||214||2|1-<+-=-++=-+n n n n n n x x x x x x ∴1111)2

1

()21(21---=<<<

n n n n a a a Λ （2≥n ） ∴∑=----=--=++++

i n n n n a 1

11

12222

11)21(1)21()21(211Λ.