数字信号处理实验报告_五个实验

实验一 信号、系统及系统响应

一、 实验目的

1、熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解；

2、熟悉时域离散系统的时域特性；

3、利用卷积方法观察分析系统的时域特性；

4、掌握序列傅立叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅立叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。

二、 实验原理及方法

采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅立叶变换、Z 变换和序列傅立叶变换之间关系式的理解。

对一个连续信号)(t x a 进行理想采样的过程可用下式表示：

)()()(^

t p t t x

x a

a

=

其中)(^

t x a 为)(t x a 的理想采样，p(t)为周期脉冲，即

∑∞

-∞

=-=

m nT t t p )()(δ

)(^

t x a

的傅立叶变换为

)]([1)(^

s m a m j X T j a X

Ω-Ω=Ω∑∞

-∞

=

上式表明

^)(Ωj X

a

为

)(Ωj X

a

的周期延拓。其延拓周期为采样角频率

（T /2π=Ω）。只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。

在实验时可以用序列的傅立叶变换来计算^

)(Ωj X a 。公式如下：

T

w jw a

e X j X Ω==Ω|)()(^

离散信号和系统在时域均可用序列来表示。为了在实验中观察分析各种序列的频域特性，通常对)(jw e X 在[0，2π]上进行M 点采样来观察分析。对长度为N 的有限长序列x(n)，有：

n jw N n jw k k

e m x e

X

--=∑=)()(1

其中，k M

k π

ω2=

，k=0,1,……M-1 时域离散线性非移变系统的输入/输出关系为 ∑∞

-∞

=-=

=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(

上述卷积运算也可在频域实现

)()()(ωωω

j j j e H e X e

Y =

三、 实验程序

s=yesinput(Please Select The Step Of Experiment:\n 一.(1时域采样序列分析 s=str2num(s); close all;

Xb=impseq(0,0,1); Ha=stepseq(1,1,10);

Hb=impseq(0,0,3)+2.5*impseq(1,0,3)+2.2*impseq(2,0,3)+impseq(3,0,3); i=0;

while(s);

%时域采样序列分析 if(s==1) l=1; k=0;

while(1)

if(k==0)

A=yesinput('please input the Amplitude:\n',...444.128,[100,1000]); a=yesinput('please input the Attenuation Coefficient:\n',...222.144,[100,600]); w=yesinput('please input the Angle Frequence(rad/s):\n',...222.144,[100,600]); end k=k+1;

fs=yesinput('please input the sample frequence:\n',...1000,[100,1200]); Xa=FF(A,a,w,fs); i=i+1;

string+['fs=',num2str(fs)]; figure(i)

DFT(Xa,50,string); 1=yesinput 1=str2num(1); end

%系统和响应分析

else if(s==2)

kk=str2num(kk);

while(kk)

if(kk==1)

m=conv(Xb,Hb);

N=5;

i=i+1;

figure(i)

string=('hb(n)');

Hs=DFT(Hb,4,string);

i=i+1;

figure(i)

string('xb(n)');

DFT(Xb,2,string);

string=('y(n)=xb(n)*hb(n)');

else if (kk==2)

m=conv(Ha,Ha);

N=19;

string=('y(n)=ha(n)*(ha(n)');

else if (kk==3)

Xc=stepseq(1,1,5);

m=conv(Xc,Ha);

N=14;

string=('y(n)=xc(n)*ha(n)');

end

end

end

i=i+1;

figure(i)

DFT(m,N,string);

kk=yesinput

kk=str2num(kk);

end

卷积定理的验证

else if(s==3)

A=1;a=0.5;w=2,0734;fs=1;

Xal=FF(A,a,w,fs);

i=i+1;

figure(i)

string=('The xal(n)(A=1,a=0.4,T=1)'); [Xa,w]DFT(Xal,50,string);

i=i+1;

figure(i)

string =('hb(n)');

Hs=DFT(Hb,4,string);

Ys=Xs.*Hs;

y=conv(Xal,Hb);

N=53;

i=i+1;

figure(i)

string=('y(n)=xa(n)*hb(n)');

[yy,w]=DFT(y,N,string);

i=i+1;

figure(i)

subplot(2,2,1)

plot(w/pi,abs(yy));

axis([-2 2 0 2]);

xlabel('w/pi');

ylabel('|Ys(jw)|');

title(FT[x(n)*h(n)]');

subplot(2,2,3)

plot(w/pi,abs(Ys));

axis([-2 2 0 2]);

xlabel('w/pi');

ylabel('|Ys(jw)|');

title('FT[xs(n)].FT[h(n)]');

end

end

end

子函数:离散傅立叶变换及X(n),FT[x(n)]的绘图函数function[c,l]=DFT(x,N,str)

n=0:N-1;

k=-200:200;

w=(pi/100)*k;

l=w;

c=x*

Xc=stepseq(1,1,5);

子函数：产生信号

function c=FF(A,a,w,fs)

n=o:50-1;

c=A*exp((-a)*n/fs).*sin(w*n/fs).*stepseq(0,0,49); 子函数：产生脉冲信号

function [x,n]=impseq(n0,n1,n2)

n=[n1:n2];

x=[(n-n0)==0];

子函数：产生矩形框信号

function [x,n]=stepseq(n0,n1,n2) n=[n1:n2];

x=[(n-n0>=0)];

四、 实验内容及步骤

1、认真复习采样理论，离散信号与系统，线性卷积，序列的傅立叶变换及性质等有关内容，阅读本实验原理与方法。

2、编制实验用主程序及相应子程序。

3、调通并运行实验程序，完成下列实验内容：

①分析采样序列的特性，产生采样信号序列)(n x a ，使A=444.128，

a=50π2,π2500=Ω。（)(t x a 的无失真采样频率约为1000Hz ）。

a.

取采样频率s f =1kHz ，即T=1ms 。观察所得采样)(n x a 的幅频特性|)(ω

j e

X |和

原图中的幅频特性曲线在折叠频率附近有无明显差别。应当注意，实验中所得频谱是用序列)(n x a 的傅立叶变换公式求得的，所以在频率度量上存在关系：

T Ω=ω，?为数字频率，Ω为模拟频率。

b.

改变采样频率，s f =300Hz ，观察 |)(ω

j e

X |的变化，并做记录（打印曲线）；进

一步降低采样频率，s f =200Hz ，观察频谱混叠是否明显存在，说明原因，并记录（打印）这时的 |)(ω

j e

X |曲线。

a 步实验结果如下图所示：

由图形可知，当采样频率为1000Hz 时，采样序列在折叠频率附近处，即?=π处无明显频谱混叠。

b 步实验结果如下图所示：

由图可知，当采样频率进一步降低时，主瓣宽度逐渐变宽，频率混叠现象也逐渐严重。存在较明显的失真现象。

②时域离散信号、系统和系统响应分析。

a. 观察信号)(n x b 和系统)(n h b 的时域和频域特性；利用线性卷积求信号)(n x b 通过

系统)(n h b 的响应y(n)，比较所求响应y(n)和)(n h b 的时域及频域特性，注意它们之间有无差别。绘图说明，并用所学理论解释所得结果。

实验结果如下图所示：

b.观察系统)(n h a 对信号)(n x c 的响应特性。利用线性卷积求系统响应y(n)，并判断y(n)图形及其非零值序列长度是否与理论结果一致，对)()()(10n R n h n x a c ==，说出一种定性判断y(n)图形正确与否的方法。调用序列傅立叶变换数值计算子程序，求得)(k

j e Y ω，

观察|)(k

j e

Y ω|特性曲线，定性判断结果的正确性。改变)(n x c 的长度，取N=5，重复该实验。

注意参数变化的影响，说明变化前后的差异，并解释所得结果。

实验结果如下图所示：

N=10：

N=5：

欲判断结果正确与否，可以先对其进行运算，算出其卷积，再与图形对照。

当N=10时，峰值较高，且峰值很窄，变换之后图形频带主值部分比较集中；N=5时情况与之相反。

③卷积定理的验证。将实验②中的信号换为)(n x a ，使a=0.4，

,0734,20=ΩA=1，T=1，重复实验②a ，打印|)(k j e Y ω|曲线；对主程序做简

单修改，按式（10.3.9）计算)()()(k k k j b j a j e H e X e Y ωωω?=，并绘出|)(k j e Y ω|曲线，与前面直接对y(n)进行傅立叶变换所得幅频特性曲线进行比较，验证时域卷积定理。

实验所得结果如下：

四、 思考题

1、在分析理想采样序列特性的实验中，采样频率不同，相应理想采样序列的傅立叶变换频谱的数字频率度量是否都相同？它们所对应的模拟频率是否相同？为什么？

答：由T Ω=ω可知，若采样频率不同，则其周期T 不同，相应的数字频率ω也不相同；而因为是同一信号，故其模拟频率Ω保持不变。

2、在卷积定理验证的实验中，如果选用不同的频域采样点数M 值，例如，选M=10和M=20，分别做序列的傅立叶变换，求得

)()()(k k k

j b j a j e H e X e

Y ωωω?=，k=0,1,…,M-1

所得结果之间有无差异？为什么？

答：有差异。因为所得)(k j e Y ω图形由其采样点数唯一确定，由频域采样定理可知，若M

小于采样序列的长度N ，则恢复原序列时会发生时域混叠现象。

实验二 用FFT 作谱分析

一、 实验目的

1、 进一步加深DFT 算法原理和基本性质的理解(因为FFT 只是DFT 的一 种快速算法，所以FFT 的运算结果必然满足DFT 的基本性质)。

2、熟悉FFT 算法原理和FFT 子程序的应用。

3、学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出 现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。

二、 实验步骤

1、 复习DFT 的定义、性质和用DFT 作谱分析的有关内容。

2、 复习FFT 算法原理与编程思想，并对照DIT —FFT 运算流图和程序框图， 读懂本实验提供的FFT 子程序。

3、 编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析： ()()n R n x 41=

1+n ， 30≤≤n

()=n x 2 n -8， 74≤≤n 0 ， 其它n

n -4， 30≤≤n

()=n x 3 n -3， 74≤≤n

， 其它n

()n n x 4cos 4π

=

()n n x 8

sin

5π

=

()t t t t x πππ20cos 16cos 8cos 6++=

应当注意，如果给出的是连续信号()t x a ，则首先要根据其最高频率确定采样速率s f 以及由频率分辨率选择采样点数N ，然后对其进行软件采样(即计算

()()nT x n x a =，10-≤≤N n )，产生对应序列()n x 。对信号()t x 6，频率分辨率的

选择要以能分辨开其中的三个频率对应的谱线为准则。对周期序列，最好截取周期的整数倍进行谱分析，否则有可能产生较大的分析误差。

4、编写主程序

下图给出了主程序框图，供参考。本实验提供FFT子程序和通用绘图子程序。

主程序框图

三、 实验结果

直接运行程序，按照实验内容及程序提示键入1~8，分别对()n x 1~()n x 6及

()()()n x n x n x 547+=、()()()n jx n x n x 548+=进行谱分析。输出()()n x n x 51~的波形

及其8点DFT 和16点DFT ，()n x 6的16点、32点和64点采样序列及其DFT 。

1、()n x 1及其8点和16点DFT

2、()n x 2及其8点和16点DFT

3、()n x 3及其8点和16点DFT

4、()n x 4的8点和16点波形及其DFT

5、()n x 5的8点和16点波形及其DFT

6、()n x 6的16点、32点和64点采样序列波形及其DFT

选

7

时，①计算并图示()()()()n R n x n x n x 8547][*+=和

()()()()n R n x n x n x 16547][*+=及其DFT 。②程序自动计算并绘图验证DFT 的共轭

对称性。当N=16时，()()n N x n x -=44，()()n N x n x --=55。即()n x 4为()n x 7的共轭对称分量，而()n x 5是()n x 7的共轭反对称分量。根据DFT 的共轭对称性，应有以下结果：

()()()()]Im []Re[][771677k X j k X n x DFT k X +==点

()()()n x n x n x 547+=的8点和16点波形及其DFT

()()()]Re[][71644k X n x DFT k X ==点 ()()()]Im [][71655k X j n x DFT k X ==点

绘出()]Re[7k X 和()]Im[7k X j 的模。它们正是图中16点的()k X 4和()k X 5。

选

8

时，①计算并图示()()()()n R n jx n x n x 8548][*+=和

()()()()16][16548R n jx n x n x *+=及其DFT 。②程序自动计算并绘图验证DFT 的共

轭对称性的第二种形式：如果

()()()

n jx n x n x i r +=，()()()()

k X k X n x DFT k X op ep +==][，则

()()]

[n x DFT k X r ep =，()()]

[n jx DFT k X i op =。其

中

()()()]

[2

1

*k N X k X k X ep -+=，

()()()][2

1

*k N X k X k X op --=。

()n

x

的8点和16点DFT 8

程序计算结果如下：

()()()k N X k X k X e -+=*

8

8821及()()()][884k X IDFT n x n x e r ==，正好与图中()n x 4的16点()k X 4及()n x 4相同。

()()()k N X k X k jX o --=

*

8

882

1及()()()j k X IDFT n x n x o i /][885==，正好与图中16点的()k X 5及()n x 5相同。

四、 实验总结

本实验主要是求()n x 1、()n x 2、()n x 3、()n x 4、()n x 5、()n x 6、()n x 7、()n x 8的DFT 变换。其中()()n x n x 61~是直接给出了离散序列，而()n x 7、()n x 8则是经过()n x 4、()n x 5运算得到的()()()n x n x n x 547+=、()()()n jx n x n x 548+=。离散傅立叶变换可以看作是()z X 在k N

j e

z π2=时的Z 变换，即表明()n x 的N 点DFT 是()

n x 的Z 变换在单位圆上的N 点等间隔采样。离散傅立叶变换也可以看作()k X 在

k N

w π

2=

时的傅立叶变换，即表明()k X 可以看作()n x 的傅立叶变换()jw e X 在区间]2,0[π上的N 点等间隔采样。

五、 思考题

1、在N=8时，()n x 2和()n x 3的幅频特性会相同吗？为什么？N=16呢？ 答：N=8时两个的幅频特性相同，因为其不为0的区间长度正好是8。N=16时两个的幅频特性不相同。

2、如果周期信号的周期预先不知道，如何用FFT 进行谱分析？

答：可以先求出它的离散傅立叶变换，通过其DFT 的图形来确定出原始序列的周期。